数学知识图谱
全站真题与教材共用的一张图，共 658 个实体。知识（概念 / 公式 / 定理）说「是什么」，技艺（题型 / 套路 / 易错点）说「怎么解」。各类按标题拼音序排列。
概念
知识69 条公式
知识51 条- 并集的元素个数
- 补集的元素个数
- 常见函数的导数
- 等比数列的前 n 项和
- 等比中项
- 等差数列的前n项和
- 等差数列的通项公式
- 点到直线的距离公式
- 对数的运算性质
- 对数换底公式
- 多面体的表面积
- 二倍角公式
- 二项式定理
- 辅助角公式
- 复数的乘法
- 复数的加减运算
- 基本不等式
- 卡方统计量
- 柯西不等式
- 链式法则
- 两角和与差的余弦公式
- 两角和与差的正切公式
- 两角和与差的正弦
- 两角和与差的正弦公式
- 排列数公式
- 平面向量的数量积
- 期望的尾概率求和
- 期望的线性性质
- 球的体积
- 全概率公式
- 三角形面积公式
- 三斜求积公式
- 双曲线的 a、b、c 关系
- 双曲线的离心率（一步公式）
- 同角三角函数的基本关系
- 图象平移的左加右减
- 椭圆的 a、b、c 关系
- 椭圆的离心率
- 向量的坐标运算
- 虚数单位 i
- 诱导公式
- 余弦定理
- 圆的一般方程
- 圆锥的侧面积与体积
- 正切函数的对称中心
- 正弦定理
- 正弦相等的两族解
- 指数幂的运算性质
- 中线定理
- 柱体、锥体、台体的体积
- 组合数公式
定理
知识18 条题型
技艺135 条- 比较大小
- 边与圆的公共点个数
- 补集的元素个数
- 参数族里数合格函数的个数
- 充分必要条件的判断
- 从曲线上一点向圆引两条切线
- 存在外层函数使复合式成立
- 带二次约束的线性式最值
- 导数的切线问题
- 导数研究函数单调性与不等式
- 到多点的距离平方和
- 等比数列的基本量
- 等差数列的基本量
- 等差数列的绝对值和
- 等分点上的差分绝对值和
- 定区间上的最小值随参数分段
- 动点轨迹的方程与性质
- 独立性检验
- 多个二面角比大小
- 二次函数在闭区间上的最值
- 二项展开式的系数
- 翻折后的二面角与线段长
- 翻折后的角与二面角比大小
- 翻折后的体积最值
- 翻折后某长度的取值范围
- 翻折中判断哪对直线能垂直
- 反求使某量为定值的直线
- 方差随参数的变化
- 分段函数导数值的唯一配对求参数
- 分段函数的单调性
- 分段函数零点个数求参数
- 分段函数求值与范围
- 符号组合的向量模最值
- 复数的分类求参数
- 复数的运算（求值）
- 复数结论的真假判断
- 复数相等求参数
- 概率与期望的大小比较
- 给值求值
- 古典概型求概率
- 轨迹与已知曲线的交点
- 含参不等式的存在性问题
- 含参绝对值不等式恒成立
- 含量词命题的否定
- 函数的递推不等式
- 函数模型的实际应用
- 函数性质求值
- 函数性质综合判断
- 恒成立求参数范围
- 极小极大问题
- 集合的并集
- 集合的交集
- 集合的运算
- 几个数量积比大小
- 几何体放入正方体
- 阶梯计价求总费用
- 解三角形
- 空间三种角的大小比较
- 空间线面位置关系判断
- 棱上求点使二面角为直角
- 棱台与台体体积
- 棱台中的线面垂直与二面角
- 离散型随机变量的期望
- 立体几何中的角与外接球
- 立体几何中的线面角最值
- 联立对数式与指数式解方程组
- 两个方程实根个数的可能配对
- 两个向量模之和的最值
- 面面垂直的组合体中的线面平行与二面角
- 排列组合计数
- 判定给定点是不是极值点
- 判断两个集合的包含关系
- 判断数列是否等差
- 判断蕴含命题的真假
- 抛物线的焦半径
- 抛物线的焦点弦
- 抛物线切线与椭圆相交的参数最值
- 平面向量的应用
- 前n项和的递推求首项与指定和
- 前n项和的最大值
- 求函数在区间上的取值范围
- 取小函数的分段与最值
- 三个极值点补一个成等差
- 三角等式求值
- 三角函数的对称中心
- 三角函数的值域
- 三角函数的周期与单调区间
- 三角函数零点个数求参数
- 三角函数图象的平移
- 三角式化成单个正弦
- 三角形中三角式的取值范围
- 三视图还原求表面积
- 三视图还原求体积
- 数列的递推与综合
- 数列递推的放缩估值
- 四棱锥中的线面垂直与二面角
- 四棱锥中的线面平行与线面角
- 四面体中的线面平行与垂足存在性
- 四面体中的线面平行与二面角
- 投影和恒成立求数量积范围
- 图象交点的个数
- 椭圆的焦半径与焦点三角形
- 线性规划求最值
- 向量夹角与模的最值
- 斜基底下坐标与模之比的最值
- 新定义问题
- 旋转体的侧面积与体积
- 循环框图的输出值
- 样本数字特征的比较
- 已知分段函数值反求自变量
- 已知期望求方差
- 隐式递推数列的估界证明
- 由单调性求参数范围
- 由导函数图象选原函数图象
- 由几个等式推一般结论
- 由解析式选函数图象
- 由奇偶性求参数
- 由三视图还原直观图
- 由通项求前n项和
- 由线性规划的最值反求参数
- 由线性规划的最值反求约束中的参数
- 圆内接正多边形的面积
- 圆与圆锥曲线的公共点个数
- 圆锥曲线的离心率
- 圆锥曲线中的三角形面积
- 圆锥曲线中的最值
- 正棱柱中的线面角
- 正态分布的概率估读
- 直径圆含原点求直线的参数范围
- 直线与圆的位置关系
- 指定元素相对位置的排列计数
- 指对数恒等式的判断
- 指对数互化求值
- 中线张角的三角函数值
- 最小值型随机变量的分布与期望
套路
技艺200 条- 按层把概率推到下一层
- 按层拆开组合体的三视图
- 按分布型分类计数
- 按俯视图分区乘各自的高
- 按根号指数的奇偶筛有理项
- 按谁的幂展开就换谁作元
- 按位置竖读猜通项
- 把 ω 提到括号外
- 把递推看成函数迭代
- 把定点挪到原点再换元
- 把给定的常数当参数
- 把四面体补成长方体
- 把随机变量平移成计数变量
- 把相邻间隔取作变量
- 比对内外层的对称轴
- 比对值域定参数
- 比值代换
- 闭区间求最值
- 边角互化
- 边角互化只留边
- 边长写成向量差再平方
- 补角同正弦搬角
- 不动点造常数列
- 不建系的基底向量法
- 参变分离
- 插空法排不相邻元素
- 差商读成割线斜率
- 超额累进逐档累加
- 从最高次往下逐层定系数
- 存在性化成值域有交
- 代回验证
- 代特殊值挤必要条件
- 待求角拆成已知角的和差
- 单位根滤波抽隔项
- 导数递增就只比两个端点
- 导数因式分解判单调
- 倒过来看成新的等比数列
- 等半径两圆的内公切线过连心线中点
- 等差数列的归一化
- 等差数列改用中间项设元
- 等体积法求点面距
- 第三角化和角
- 点差法
- 定角对定弦定出一段圆弧
- 定住最小值再从更大的里挑
- 对称分布的期望落在对称中心
- 对称换元
- 对恒等式求导再代值
- 二次型配方后三角换元
- 翻折重合化成到两点等距
- 反证法
- 仿射把椭圆压成圆
- 放缩证不等式
- 分步时按前一步的结果分类
- 分段求和作比
- 分类讨论
- 分离出对勾函数看值域
- 分式分离常数判单调
- 负指数提到括号外
- 复合函数同增异减
- 赋值法求系数和
- 割补求三角形面积
- 给定值取在最值处
- 根式换元去掉根号
- 跟踪特征点定平移
- 共线点到定直线的距离成比例
- 共线定比求另一点坐标
- 构造反例
- 构造辅助数列
- 构造函数证不等式
- 和式先猜后验
- 和与差反解两根
- 恒定差额单独提成一项
- 化到同一条垂线段上比
- 化归为解集的包含关系
- 化为标准代数形式再读所求
- 换参数消掉斜率不存在
- 换个面当底面算体积
- 换主元把参数当自变量
- 基本量法
- 极化恒等式
- 集合的交并补摆到数轴上
- 集合运算读成条件的且或非
- 夹在两条水平线之间先看极差
- 减掉沿棱的分量再算二面角
- 焦半径化准线距离
- 焦点三角形列式
- 较大者写成半和加半差
- 借面面垂直找垂足
- 距离和差认圆锥曲线
- 距离化为平行线相切
- 距离条件坐标化
- 绝对值化为两支取大
- 绝对值之和换成和差的较大者
- 卡方对照临界值
- 卡上界再造例子
- 空间向量法
- 累乘法
- 累加法
- 棱的垂面里量二面角
- 棱台补成棱锥
- 两点设参数角再和差化积
- 两个绝对值之和先加减消元
- 两个中点连成中位线
- 两根之比用和方比积
- 两数之积已定就设成一对倒数
- 两条曲线的上下关系
- 裂项相消
- 令通项的指数等于目标
- 面积化成数量积乘正切
- 描述法化列举法
- 排除法
- 判别式定有解
- 抛物线上的点用参数表示
- 配成同一个函数在两点的值
- 配成已知不等式的线性组合
- 配方读顶点
- 平方项换元化成线性方程组
- 平面图形的割与补
- 平行投影保长
- 平移目标直线
- 平移直线数交点
- 齐次二次式因式分解定比例
- 齐次方程同除降成离心率
- 齐次化构造斜率方程
- 齐次式化正切
- 齐次式设比降元
- 奇偶周期化归
- 前缀和之差化连续项再取中项
- 切点三方程
- 切线条数化为方程根的个数
- 取倒数化递推
- 取任一元素证集合包含
- 全部化到一组基上
- 三垂线法作二面角
- 三视图定顶点坐标
- 设线联立用韦达定理
- 射影面积求二面角
- 数量积化成四条距离的平方
- 数尾事件代替恰好等于
- 数学归纳法
- 数轴标根定符号
- 特殊值代入
- 特值定候选再回代验证
- 同底两个等腰三角形比顶角
- 同类元素当成相同先数图案
- 同形条件相减消常数
- 同一个面积算两遍
- 同值两点关于对称轴对称
- 统一底数
- 投影长化成数量积
- 图上量两次反解同一个参数
- 图象法数交点
- 椭圆参数方程求最值
- 系数反序的多项式根互为倒数
- 先按统一价算再补差价
- 先粗后精的两次放缩
- 先取模再运算
- 先散开再扣粘合面
- 先选后排
- 线面角化点面距
- 相切化为距离等于半径
- 向量共面判线面平行
- 向量坐标化
- 斜基底的坐标投到另一条的垂线上
- 压缩变换把椭圆化为圆
- 沿定轴做正交分解
- 沿对称轴建系
- 一个量与它的倒数同时出现就换元
- 一条边垂直于另一面就是直二面角
- 引入参数比较
- 用平方非负卡住交叉项
- 元素个数两头夹
- 展开式回到每个括号各取一项
- 展开图圆心角定母线与半径之比
- 找循环不变式
- 折叠的不变长度列成距离方程
- 折起点的投影锁在一条垂线上
- 整数上把严格不等号收紧
- 整体代换
- 正方体剖成三个全等棱锥
- 正难则反用补集
- 正数比大小先平方
- 直径圆的内外看数量积的符号
- 只看关键元素的相对次序
- 只看几个元素的相对次序
- 只数循环用到的因子
- 指对函数的切线放缩
- 指示变量拆分
- 中线平分面积
- 中心对称点两两配对
- 重心坐标取三顶点的平均
- 逐次求导定符号
- 逐段求解再取并
- 组合恒等式抽出因子
- 组合体分块求和
- 最值给定拆成不等式组加取等
- 作差定号
- 作差验证渐近线
- 作高拆成直角三角形
易错点
技艺185 条- 按路径条数当成等可能
- 把导函数的图象当成原函数本身
- 把递增当成恒正
- 把视图的斜边当成棱的实长
- 把无解硬凑成有解
- 把异面直线误判为相交直线
- 倍角正切分母的相减顺序写反
- 必要条件当成充要条件
- 补集端点的开闭忘了翻
- 不等式求最值漏验等号
- 不放回当独立重复试验
- 参变分离时定义域还含着参数
- 常数项当成某点的函数值
- 常数项当成有理项
- 乘积判单调漏验因子正负
- 充分与必要说反
- 抽到即停漏掉较长的抽取序列
- 抽象函数极值点的恒成立误判
- 垂直于面内一条线就断线面垂直
- 垂直与平行的坐标条件记混
- 当且仅当只证一半
- 导数为零就当成极值点
- 到定点最远的点当成顶点
- 到直线的距离漏判曲线与直线相交
- 到准线的距离当成横坐标
- 等比数列的项不能为零
- 等比数列通项的指数少减一
- 等分点当成一定踩得到极值点
- 递推不等式只给单边界
- 点差法算完不验中点在曲线内
- 点到棱的距离与二面角的大小方向记反
- 定义给的是下一项时下标代错
- 动点的活动范围照示意图截短
- 动点取到端点时平面退化
- 动点在弦上不在圆上
- 端点同号就断定区间里没有零点
- 对数尺度倍数与加分贝的换算记错
- 对数图象漏了平移
- 二倍角余弦的三种形式选错
- 二面角的平面角没找对
- 二面角与法向量夹角互补漏判
- 二项展开式漏带交错符号
- 法向量夹角与二面角混用
- 翻折时把旋转半径取错
- 方差简算式漏掉期望的平方
- 放入正方体只试平行截面忘了斜截面
- 放缩过头
- 分段单调漏验分界点
- 分段解析式越界代入
- 分类计数重复或遗漏
- 分配的容量上限漏当成限制
- 分式不等式直接交叉相乘
- 否定时只翻量词没翻结论
- 负余弦下模越大数量积反而越小
- 复合单调性漏看外层的增减
- 复合函数求导漏乘内层导数
- 复数相除硬约分母
- 赋值语句右边取的是旧值
- 个数变多就当成占比变大
- 公比为正当成各项都正
- 公切线漏数内公切线
- 公切线只对斜率不对截距
- 共轭运算的符号记混
- 归纳猜想只对上前几项就当证完
- 过定点设直线漏斜率不存在
- 过某点的切线与在某点处的切线混同
- 含参导数漏掉参数非正的一支
- 含参二次方程没先判二次项系数为零
- 含参目标函数把最优顶点当固定
- 和差余弦符号记反
- 和的对数拆成对数的和
- 和的下界拿每项上界去凑
- 和函数的周期取成了其中一项的
- 互余角的诱导公式用错
- 换基底后系数认错次数
- 换元后漏掉新变量的取值范围
- 极值点与极值混用
- 交点落在直线上却不在线段内
- 交集与并集记反
- 焦点在哪个轴上未讨论
- 阶梯计价按最高档单价全算
- 界只从某项起成立却从头用
- 举反例只验结论没验前提
- 卡方临界值查错列
- 开方丢绝对值
- 可行域无界当成目标函数没有最值
- 空间点没定死就写坐标
- 棱柱错认成棱锥
- 两处的同一个参数分开取范围
- 两点分布的方差当成随p单调
- 两个动量当成互相独立
- 两个范围相减界要相加
- 两个数量积定不住空间向量
- 两两相交的三条直线未必共面
- 两条渐近线没挑对
- 两直线平行漏排重合
- 裂项相消后剩下的项数错
- 邻补角当成同一个角
- 没验单调就由函数值反推自变量
- 幂的底数换了指数没跟着变
- 幂互换相等就当成两数相等
- 面积公式用错夹角
- 面面垂直直接当成线面垂直
- 模拆到加减上
- 目标直线平移方向弄反
- 内角和换角丢符号
- 内接与外切多边形弄反
- 抛物线的p与2p记混
- 平移常数当成会影响最值之差
- 平移改的是 x 不是相位
- 齐次化除以的量可能为零
- 奇偶函数的对称性记反
- 恰好几个当成至少几个
- 前n项和与第n项混同
- 求参范围漏掉图形存在性
- 求出公差后漏用范围取舍
- 球心当成底面外心
- 区间端点处的零点计数漏判开闭
- 区间上的恒成立直接用判别式
- 区域的投影端点没按投影方向定
- 取到相等时把另一支排除在外
- 去极端值后数字特征的变化记反
- 任意与存在的量词读反
- 锐角三角形漏掉第三个角的范围
- 三个零点的极值条件写反
- 三视图的深度错当成高
- 设斜率漏判斜率不存在
- 实轴长与半实轴混用
- 试几个位置都不成立就断定不存在
- 首尾相接的向量比读成同起点的比
- 双曲线定义漏判所在分支
- 四数成等差只想到补在两端
- 台体套成锥体
- 特例成立当成恒成立
- 特殊构型下成立就当成一般成立
- 条件的解集没解全就断充要
- 通解代整数时漏取区间内的解
- 同乘含参因子不分符号
- 同一位置上的人还去排顺序
- 韦达的两根里混着定点自己
- 尾概率求和漏掉第一项
- 系数和漏掉常数项
- 系数下标与次数错位
- 下界当成准确值
- 线面角用法向量算成余弦
- 相位平移忘提系数
- 向量共线不分同向反向
- 向量夹角当成三角形内角
- 虚部不带虚数单位
- 循环次数和计数器读岔一步
- 延长线的方向记反
- 验了前几项就当成对所有n成立
- 异面直线角忘取绝对值
- 隐式递推的方向搞反
- 用后一问才给的条件做前一问
- 由前n项和求通项漏验首项
- 由正弦反求余弦漏判符号
- 由正弦值定角漏解
- 有实根写成判别式严格大于零
- 圆锥曲线的abc关系记混
- 圆锥体积漏乘三分之一
- 粘合面把整张面都扣掉
- 展开图的半径与弧长对应错
- 长度比没定方向
- 振幅和周期当成两个独立的参数
- 整点最优直接取角点
- 正棱台求高时水平偏移用错
- 正切对称中心只记零点
- 正态第二参数当标准差
- 证严格不等式漏判等号可行性
- 只比极值忘了端点
- 只用相切漏掉切点条件
- 指数相加当成幂相加
- 至少一次漏用对立事件
- 中位线对应的那条边搞错
- 重复号码的对象当成同一个
- 逐项都小就断定和也小
- 状态转移概率把命中与未中填反
- 准线间距漏算成一半
- 子集关系的方向读反
- 组合数上标数错一位
- 组合体分块后错用总高
- 最小值为k当成含有k
- 左右焦半径的符号搞混
- i 的平方漏取负号
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