向量共面判线面平行

解题套路

设要证 $l\parallel\alpha$，$l$ 上取两点得方向向量 $\boldsymbol{v}$，在 $\alpha$ 内取两个不共线向量 $\boldsymbol{e}_{1}$、$\boldsymbol{e}_{2}$。

1. 选基底。取一个顶点当原点，取三条从它出发、两两不共面的棱作基底 $\{\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_{1},\boldsymbol{e}_{2}\}$， 其中 $\boldsymbol{e}_{1}$、$\boldsymbol{e}_{2}$ 落在 $\alpha$ 内，$\boldsymbol{a}$ 不在。不建坐标系，也不必知道任何长度与夹角。
2. 把每个点写成基底的组合。中点给 $\frac12$，定比分点 $AQ=\lambda\,QC$ 给 $\frac{\lambda}{1+\lambda}$，逐个代。
3. 算 $\boldsymbol{v}$，看 $\boldsymbol{a}$ 的系数。系数是 $0$ $\Rightarrow$ $\boldsymbol{v}=x\boldsymbol{e}_{1}+y\boldsymbol{e}_{2}$ $\Rightarrow$ $\boldsymbol{v}$ 与 $\alpha$ 平行或 $l\subset\alpha$。
4. 补一句 $l\not\subset\alpha$（在 $l$ 上找一个明显不在 $\alpha$ 里的点即可），结论成立。

为什么值得单独记

• 它把「作辅助线」这一步整个删掉了。 平行四边形法、中位线法都要先猜出 $\alpha$ 内那条平行线在哪； 这里不用猜，算完系数自己说话。
• 它顺带回答「题目给的那个定比为什么是这个数」。 把定比设成未知的 $t$， 「$\boldsymbol{a}$ 的系数为 $0$」是一个关于 $t$ 的一次方程——解出来的那个 $t$ 正是题面给的数。 于是这个看着突兀的比例不再是天上掉下来的：它是被前面那些中点逼出来的唯一取值。
• 与建系法比，它省掉了建系与开根号；与纯几何法比，它省掉了辅助线。三条路里通常最短。

自检

• 基底必须三个向量两两不共面（即不共面），否则表示不唯一，系数为 $0$ 说明不了任何事。
• 系数为 $0$ 只给到「共面」。「$l\not\subset\alpha$」那一句不能省——省了就把「$l$ 在平面内」也一起证进去了。
• 若 $\boldsymbol{a}$ 的系数不为 $0$，不等于「不平行」：可能是基底没选好（$\boldsymbol{e}_{1}$、$\boldsymbol{e}_{2}$ 没有落在 $\alpha$ 内）。