数学套路

共 200 个套路， 按标题拼音序排列。

• 按层把概率推到下一层一张从上往下走的图（树形图、管道图、状态转移图），不去逐条枚举路径，而是给每个节点记一个「走到这里的概率」，从入口的 $1$ 出发按层往下推：出边是分叉就把手里的数按比例分给各支，入边有几条就把它们加起来。
• 按层拆开组合体的三视图三张视图上若有一条高度对得齐的横向分界线，就沿它把三张图同时切成上下两段；每一段单独是一个基本几何体，各自认一次，再把结论拼回去。
• 按分布型分类计数把若干个元素放进若干个位置时，先按「各位置各装几个」的**数量型**（如 $3=1+1+1=2+1$）分类，型内部再分步数——型与型之间天然不重不漏。
• 按俯视图分区乘各自的高立体若处处「直上直下」（每条竖直线穿过它的那段料是连着的），就不必先把立体拼出来——把俯视图按料厚的突变线分成几块，每块面积乘它头顶的料厚，相加即可：$V=\sum S_i h_i$。
• 按根号指数的奇偶筛有理项通项里含 $(\sqrt{a})^{\,n-r}$ 时，这一项的系数是不是有理数只由 $n-r$ 的奇偶决定（偶则 $(\sqrt{a})^{2s}=a^{s}$ 有理，奇则留着一个 $\sqrt{a}$）；把满足奇偶的 $r$ 数一遍，就得到有理项的个数。
• 按谁的幂展开就换谁作元题目要把 $f(x)$ 写成 $\sum a_k(x-a)^{k}$ 的样子——那就令 $t=x-a$、回代 $x=t+a$。问题立刻变成「把一个关于 $t$ 的普通多项式展开」，$a_k$ 就是 $t^{k}$ 的系数，一个都不用猜。
• 按位置竖读猜通项几行同构的式子摆成一张表，把**同一个位置**上的数竖着抽出来成一列，每一列各猜各的通项，最后按原位置装回去——一般式就是这么拼出来的。
• 把 ω 提到括号外把 $A\sin(\omega x+\varphi)$ 改写成 $A\sin(\omega(x-x_0))$，括号里 $x$ 后面跟的那个数就是横向平移量，量与方向一起读出来。
• 把递推看成函数迭代把 $a_{n+1}=\varphi(a_{n})$ 里的 $\varphi$ 当成一个函数来研究——$\varphi$ 的单调性决定数列会不会单调，$\varphi(t)-t$ 的符号决定它往哪边走，$\varphi(t)=t$ 的根就是它顶向的那道墙。
• 把定点挪到原点再换元题目里有一个「碍事但不参与结论」的定点（常是一个字母常数），令新变量等于「原变量减去它」，把它挪到原点。相对位置、距离、比例这些量一个不变，而式子里那个字母当场消掉或缩成一个组合。
• 把给定的常数当参数题目给的那个具体数字（$\sqrt{5}$、$\frac{2}{3}$、$2$……）往往不是随手挑的。把它换成字母 $\lambda$ 重做一遍，看清 $\lambda$ 到底管住了哪个量；再回头问「$\lambda$ 取成题目那个值时，多出来了什么好性质」——那个性质通常就是出题人埋的捷径。
• 把四面体补成长方体一个四面体若有三条**首尾相接且两两垂直**的棱 $a$、$b$、$c$，就把它塞进 $a\times b\times c$ 的长方体——长方体恰好能切成 $3!=6$ 块**等体积**的四面体，本四面体就是其中一块，所以 $V=\frac{abc}{6}$，一步到位，不用挑底面也不用求高。
• 把随机变量平移成计数变量题面的随机变量常常是"每个个体记若干分再求和"。若各类分值只有两档，把整体减去一个常数，它就变成"某一类的个数"这种标准计数变量（二项分布或超几何分布），分布列与期望都能直接抄公式——$Y=X-c$ 时 $E(X)=E(Y)+c$，而分布列只是把取值整体挪 $c$，概率一个不变。
• 把相邻间隔取作变量从一列数里按大小取出几个，改用「首项左边空几个、相邻两项之间空几个、末项右边空几个」当变量；取法与一组非负整数解一一对应，「不相邻」就变成「某个间隔 $\geqslant1$」，几类情形可以用同一个动作一次全数清。
• 比对内外层的对称轴内层 $g$ 若绕直线 $x=m$ 对称（$g(2m-x)=g(x)$），它就把 $x$ 与 $2m-x$ 折到同一处；于是「存在 $f$ 使 $f(g(x))=h(x)$」要求 $h$ **绕同一条**直线对称。两条轴对不上，$f$ 立刻不存在。
• 比对值域定参数两个函数恒等，值域必然相同；把两边的最大值、最小值各自算出来配对，就能把待定的振幅与平移量解出来。
• 比值代换两个根 $x_1$、$x_2$ 满足同一个含 $\ln$ 的方程时，作差消去参数、再令 $k=x_1/x_2$，把双变量式子压成关于 $k$ 的一元函数。
• 闭区间求最值连续函数在 $[a,b]$ 的最值即端点值与内部驻点函数值中的最大 / 最小者。
• 边角互化用正弦定理在边与角之间转换，统一变量再解。
• 边角互化只留边解三角形时把余弦定理代进条件，把所有角都换成边，条件就变成一条纯粹的边的等式（如 $b+c=2a\cos B\Rightarrow a^{2}=b(b+c)$），之后全程只做代数。
• 边长写成向量差再平方把一条边的长写成两个同起点向量之差的模，平方展开成 $|\vec u|^2+|\vec v|^2-2\,\vec u\cdot\vec v$——题目给了数量积就原样代进去，中途一次夹角都不必出现。
• 补角同正弦搬角一点落在某条边上时，它两侧的两个角互补；由 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$，题目给在一个三角形里的角，可以原封不动地搬进相邻那个三角形去用正弦定理（余弦要变号）。
• 不动点造常数列递推 $a_{n+1}=F(a_n)$ 里，解 $F(x)=x$ 得到的根就是「一步都不动」的起点——首项取它，整条数列恒等于它，这是造反例最省力的一招。
• 不建系的基底向量法不铺坐标系，直接取三条不共面的棱作基底，把要用的向量全写成它们的线性组合；只要三条棱两两之间的长度与夹角（也就是三个内积）已知，点积、模长、夹角就全能算——底面是菱形、正三角形这类"不方便建系"的图形上最省事。
• 参变分离把含参的方程或不等式整理成「参数（$=$ 或 $\geq$ 或 $\leq$）一个不含参的函数」，参数变成一条可上下滑动的水平线，用那个函数的最值与图象一次性读出参数的取值范围。
• 插空法排不相邻元素要求某几个元素两两不相邻时，先把**其余**元素排好，再把它们一个一个插进产生的空档里——$m$ 个元素排成一列有 $m+1$ 个空（含两端），一个空至多放一个，不相邻就自动成立。
• 差商读成割线斜率题目给的是「$f(x_{2})-f(x_{1})$ 与 $x_{2}-x_{1}$ 之间的大小关系」时，整条式子同除以 $x_{2}-x_{1}$，中间那一坨就是过两点的割线斜率——抽象条件当场变成一句看得见的几何话。
• 超额累进逐档累加分档计价的总量按档界切成几段，**每段只乘它自己那一档的单价**，再相加——涨价只对超出档界的那部分生效，不回头追已经算过的部分。
• 从最高次往下逐层定系数待定系数遇到「上三角」结构时不必解方程组——最高次那一项只有一个未知数供货，定下它；再看次高次，只多一个新未知数。一层一层往下，每层都是一元一次。
• 存在性化成值域有交「存在 $x\in D$ 使 $g(x)\in S$」等价于「$g$ 在 $D$ 上的值域与 $S$ 有公共点」；把存在量词换成两个集合相交，参数条件就一步读出来。
• 代回验证选择题的备选答案给得具体时，把它们逐个代回题设条件检验，符合的那个就是答案。
• 代特殊值挤必要条件「对任意 $x$ 都成立」蕴含「对我挑的那个 $x$ 也成立」——挑几个最要命的 $x$ 代进去，逼出参数必须满足的条件。
• 待求角拆成已知角的和差给值求值题里，待求的那个角往往不必单独解出来——它常常正好是两个已知角的和或差（多余的常数角自己抵消），凑出来直接代两角和差公式即可。
• 单位根滤波抽隔项要 $\sum_{k\equiv r\ (\mathrm{mod}\ m)}a_k$，就把 $f(x)=\sum a_kx^k$ 在 $m$ 次单位根 $1,\omega,\dots,\omega^{m-1}$ 上各取一次值再加权平均：$\dfrac1m\sum_{j}\omega^{-jr}f(\omega^{j})$ 恰好只剩下标 $\equiv r$ 的那些项。
• 导数递增就只比两个端点若 $f'$ 在 $[a,b]$ 上单调递增（例如 $f''\geqslant0$，或 $f'$ 本身就是一个显然递增的式子），则 $f$ 在 $[a,b]$ 上要么单调、要么先减后增，**最大值一定在端点取到**——只比 $f(a)$ 与 $f(b)$ 两个数，不必求驻点、不必分类。
• 导数因式分解判单调把 $f'$ 因式分解成「符号已知的因子 $\times$ 一个简单因子」，单调性就只由后者决定——把讨论从整个 $f'$ 缩到一个一次或二次式上。
• 倒过来看成新的等比数列有限项的等比数列 $a_{1},\dots,a_{n}$ 倒过来写成 $a_{n},\dots,a_{1}$，仍是等比数列——首项换成 $a_{n}$、公比换成 $\dfrac1q$。题目问的量围着**末项**转时，倒着看比正着算省一半力气。
• 等半径两圆的内公切线过连心线中点两圆半径相等时，两条外公切线平行连心线、两条内公切线都过连心线的中点——「相切」这个条件于是先换成一个过定点的结论。
• 等差数列的归一化「是不是等差数列」这件事在整体平移与非零倍伸缩下不变，所以研究一般等差数列的结构问题时，可以不妨设它就是 $1,2,3,\ldots$。
• 等差数列改用中间项设元等差数列的基本量默认是 $(a_{1},d)$，但条件若集中在中间某几项上，把设元中心挪到那几项的「中间那一项」，两侧写成 $a_{m}\pm td$，方程里的交叉项常常自己抵消。
• 等体积法求点面距同一个四面体换个底面再算一次体积：$d=3V/S$，绕开找垂足。
• 第三角化和角三角形里 $B=\pi-(A+C)$，于是 $\sin B=\sin(A+C)$、$\cos B=-\cos(A+C)$：第三个角永远能用前两个表示。
• 点差法把弦的两个端点分别代进曲线方程再相减，平方差一分解，弦的斜率与中点坐标就被一条式子捆在一起——不解方程也拿得到中点弦的斜率关系。
• 定角对定弦定出一段圆弧一个角的大小定死、它所对的那条边也定死，那么这个角的顶点只能在一段固定的圆弧上跑——弧所在圆的直径由正弦定理一步给出（$2R=\frac{\text{定弦}}{\sin\text{定角}}$），从顶点出发的线段于是成了这个圆的弦，最长就是直径。
• 定住最小值再从更大的里挑数「最小值恰为 $k$」的取法：先保证至少取到一个 $k$，其余一律从严格大于 $k$ 的里面挑。
• 对称分布的期望落在对称中心若随机变量 $X$ 与 $c-X$ 同分布（分布列关于 $\frac{c}{2}$ 左右对称），则 $E X=\frac{c}{2}$——一行就出来，不必列分布列、更不必逐项去乘。
• 对称换元两个量的**和**已知（$x+y=2m$）时，把它们写成 $m\pm t$——和自动满足，只剩一个 $t$，而且原式对 $x$、$y$ 对称的话会变成 $t$ 的偶函数，最值必在 $t=0$ 或区间端点。
• 对恒等式求导再代值恒等式对每一个 $x$ 都成立，所以两边可以一起求导；求完再代一个能让大部分项塌掉的值。求 $k$ 次导再代 $x=a$，恰好把 $(x-a)^{k}$ 那一项单独拎出来。
• 二次型配方后三角换元把约束 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$ 配成两个平方之和 $u^{2}+v^{2}=1$，再令 $u=\cos\varphi$、$v=\sin\varphi$，两个变量就被一个角接管。
• 翻折重合化成到两点等距沿直线 $\ell$ 翻折使 $P$ 与 $Q$ 重合，等价于 $\ell$ 上每个点到 $P$、到 $Q$ 的距离都相等——$\ell$ 整条躺在线段 $PQ$ 的中垂面里。于是「重合」这句话就是两个距离方程。
• 反证法要证命题 $P$，先假设非 $P$，推出矛盾，从而 $P$ 成立。
• 仿射把椭圆压成圆令 $X=\dfrac{x}{a}$、$Y=\dfrac{y}{b}$，椭圆当场变成单位圆；平行、中点、定比、面积之比、共线全都被这个变换保住，于是"圆里显然"的结论可以原样搬回椭圆，只有长度与角度会变。
• 放缩证不等式要证 $A>c$ 时，把 $A$ 换成一个更小但更好算的量 $B$，只要 $B=c$（或 $B\geq c$）就够；关键是每一步都朝同一个方向放，且不能放过头。
• 分步时按前一步的结果分类分步乘法要求「每一步的方法数与前面怎么选无关」。一旦某一步的方法数随前面而变，就在变化处按前面的结果分成几类，类内各步才重新是常数，最后把各类相加。
• 分段求和作比用 $S_{2n}=S_n(1+q^n)$ 把两段和作比解公比。
• 分类讨论把一个判不了的量按大小/符号切成互不重叠且穷尽的几种情形，逐一判定。
• 分离出对勾函数看值域把方程整理成 $t+k/t=m$，「有没有解」就是「$m$ 落不落在对勾函数的值域里」。
• 分式分离常数判单调「一次比一次」的分式 $\frac{p+qt}{r+st}$ 恒等变形成「一个常数加上 $\dfrac{c}{r+st}$」，单调方向一眼可读，最值必在区间端点，一次求导都不必。
• 负指数提到括号外括号里出现 $\frac{1}{x^{b}}$（即 $x^{-b}$）时，先把整个括号通分再把公因式提出去：$\left(x^{a}\pm x^{-b}\right)^{n}=x^{-nb}\left(x^{a+b}\pm 1\right)^{n}$。从此括号里只剩非负整数次幂，展开、比指数、数项数全变成整数运算。
• 复合函数同增异减复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性：内外层同增或同减则复合增，一增一减则复合减。
• 赋值法求系数和多项式恒等式两边都是函数，给 $x$ 代具体值（$0$、$1$、$-1$……），一次就得到一整组系数的和。
• 割补求三角形面积用一条竖直（或水平）的辅助线把三角形切成两块，$S=\frac{1}{2}\times$ 分割段长 $\times$ 另两顶点的横坐标之差——不必算弦长、也不必算点到直线的距离。
• 给定值取在最值处列出的方程解出来是重根（判别式为零、化简成完全平方），那多半不是算错——题目给的那个数恰好是相应表达式的最大或最小值，图形因此被唯一定死。认出这一点，可以不解方程，直接读均值不等式的取等条件。
• 根式换元去掉根号令 $t=\sqrt{\text{根号里那一块}}$，把原变量反解成 $t$ 的多项式，整个式子就变成没有根号的形式——代价是必须把 $t$ 的取值范围一并搬过去。
• 跟踪特征点定平移两条曲线各挑同一个特征点（如相位为零的上升零点、或最高点），量它从哪儿挪到哪儿——位移就是整条曲线的平移量。
• 共线点到定直线的距离成比例一条直线上的点到另一条定直线的距离是线性变化的：谁离交点近，距离就按同样的比例小。
• 共线定比求另一点坐标已知一点与一个长度比，且三点共线：沿同一条直线按比例走过去，坐标一次算完。
• 构造反例要否掉「对一切都成立」的论断，造一个满足全部条件、却使命题失败的实例——一个就够。
• 构造辅助数列把递推整理成新数列（如 $\{na_n\}$）的等差 / 等比结构。
• 构造函数证不等式把要证的不等式移项成 $h(\cdot)>0$（或 $\geq 0$），构造 $h$ 求导、看单调性/最值来定号。
• 和式先猜后验求 $S_n$ 时先按次数与几个特殊值猜一个封闭式 $F(n)$，再用 $F(1)=a_1$ 与 $F(n)-F(n-1)=a_n$ 验证——两条验过，$S_n=F(n)$ 就是证完了，不是「看着像」。
• 和与差反解两根一元二次方程的两根，和由韦达给出、差的绝对值等于 $\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$；知道和与差就等于知道两根，$x_{1,2}=\frac{(\text{和})\mp(\text{差})}{2}$——不必套求根公式，也不必把根解出来再代。
• 恒定差额单独提成一项两张表（两个函数）若在**每一处**都相差同一个常数 $d$，就把 $d$ 乘以数量单独提成一项，剩下的部分两边共用一张表——两件事于是合成一件。
• 化到同一条垂线段上比空间几种角要比大小时，先作一条公共垂线段，让每个角的正切都写成「同一条垂线段 $\div$ 某条水平线段」，比角就变成比线段。
• 化归为解集的包含关系判充分必要关系时，把 $p$、$q$ 各自的解集 $A$、$B$ 写出来，用「$A\subseteq B\iff p\Rightarrow q$」把逻辑判断换成集合包含。
• 化为标准代数形式再读所求复数运算求实部/虚部/模时，先展开、把 $i^2$ 换成 $-1$、合并为 $a+bi$，再直接读出所求。
• 换参数消掉斜率不存在过定点的动直线不设斜率 $k$，改设倾斜角、方向向量，或「某个定点到它的距离」——参数一换，竖直那一档就不再是例外，「斜率不存在」这句补充说明整个消失。
• 换个面当底面算体积锥体的体积 $\frac13Sh$ 里，「底」可以是四个面中的任意一个——挑那个**已经有现成垂线**的面当底，高就直接是某条棱，不用再去求垂足、解垂线。
• 换主元把参数当自变量一个式子里既有变量 $x$ 又有参数 $b$，而它对 $b$ 的依赖比对 $x$ 的简单（一次、分段一次、二次）时，就把 $x$ 冻住、**改把 $b$ 当自变量**：对 $b$ 求最值往往一步到底，原来要按参数分的那几类当场消失。
• 基本量法选定一组基本量（圆锥曲线的 $a,b,c$；数列的 $a_1$、$d/q$；三角的 $\cos\cdot\sin$ 乘积），把题目的条件与目标统一翻译成它们的关系再求解。
• 极化恒等式要算 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$，取 $AB$ 的中点 $M$，把两个向量写成 $\overrightarrow{PM}$ 与 $\overrightarrow{MA}$ 的和与差——交叉项自己抵消，数量积当场变成两条长度的平方差 $\lvert PM\rvert^{2}-\lvert MA\rvert^{2}$。夹角随之消失，所以只要「中线长 + 底边长」两个数就够。
• 集合的交并补摆到数轴上描述法给的集合多半是一段（或几段）区间；把它们一行一行摆到同一条数轴上，交、并、补就变成了「看重叠 / 看覆盖 / 看空档」，不必在脑子里同时拧几个不等号。
• 集合运算读成条件的且或非$x\in A\cap B$ 就是「$x$ 满足 $A$ 的条件**且**满足 $B$ 的条件」，$x\in A\cup B$ 是「**或**」，$x\in\complement_U A$ 是「**不**满足」。把运算符号换成逻辑词，描述法集合的交并补一步就写成一串不等式，连图都不用画。
• 夹在两条水平线之间先看极差要 $-r\leq g(x)+b\leq r$ 在区间上恒成立，先看 $g$ 的极差 $M-m$：极差 $>2r$ 时怎么上下平移都塞不进去；极差 $\leq 2r$ 时，可行的 $b$ 恰好填满一个长度为 $2r-(M-m)$ 的闭区间。
• 减掉沿棱的分量再算二面角按定义算二面角：在棱上取一点，把指向两个半平面的向量各自减掉**沿棱的分量**，剩下的两段就是垂直于棱的两条边，它们的夹角正是平面角——不必判断法向量夹角该取它本身还是补角。
• 焦半径化准线距离用抛物线定义把到焦点距离换成到准线距离。
• 焦点三角形列式把曲线上一点与两个焦点连成三角形，两条焦半径 + 焦距 $2c$ 在同一个三角形里用勾股定理或余弦定理列式，直接凑出 $a$、$c$ 的关系。
• 较大者写成半和加半差$\max\{p,q\}=\dfrac{p+q}{2}+\dfrac{|p-q|}{2}$（相应地 $\min\{p,q\}=\dfrac{p+q}{2}-\dfrac{|p-q|}{2}$）。把「两个数取大」换成一个**不带分段**的式子，分类讨论就地消失。
• 借面面垂直找垂足要作点到平面的垂线，先找一个过该点且与目标平面垂直的平面，再在这个平面内朝交线作垂线——垂足就是点在目标平面上的射影，线面角、点面距随之落进一个具体的直角三角形。
• 距离和差认圆锥曲线到两定点的距离之**和**（或**差**）为常数时，别设点硬算——直接认出椭圆 / 双曲线：那个常数就是 $2a$，两定点之间的距离就是 $2c$，$b^2$ 由 $a$、$c$ 的关系补出来。
• 距离化为平行线相切「曲线到直线 $l$ 的距离等于 $d$」等价于「与 $l$ 平行、相距 $d$ 的那条直线与曲线相切，且曲线整体落在它的外侧」——最值问题就变成一个判别式。
• 距离条件坐标化设动点 $(x,y)$，把「到定点的距离」「到定直线的距离」逐段写成坐标式，按题面给的范围去绝对值，化简成曲线方程。
• 绝对值化为两支取大$|u|=\max\left(u,\,-u\right)$，于是含一个绝对值的表达式就是两条曲线的**上包络**；两支都是直线时，它在任一闭区间上的最大值一定落在**区间端点**上，只需比两个数。
• 绝对值之和换成和差的较大者$|a|+|b|=\max\{|a+b|,\ |a-b|\}$——同号那一侧由 $|a+b|$ 取到、异号那一侧由 $|a-b|$ 取到。于是「$a$ 与 $b$ 各自多大」这种难拿到的信息，可以整个换成「两个线性组合各自多大」这种题目常常直接给的信息。
• 卡方对照临界值算 $\chi^2$ 后与小概率值临界值比较下结论。
• 卡上界再造例子「最多能有几个／最大值是多少」要答两句话才算答完——先证明不可能超过 $M$（上界），再真造一个把 $M$ 取到的例子（下界）。只做一句，答案就只是猜的。
• 空间向量法建立坐标系，用向量点积判断平行垂直、求夹角。
• 累乘法由 $\dfrac{b_{n+1}}{b_n}=f(n)$ 把相邻两项的比从 $1$ 一路乘到 $n-1$，中间项全部约掉，只剩 $\dfrac{b_n}{b_1}=\prod f(k)$。
• 累加法由 $b_{n+1}-b_n=f(n)$ 把相邻两项的差从 $1$ 一路加到 $n-1$，中间项全部对消，只剩 $b_n-b_1=\sum f(k)$。
• 棱的垂面里量二面角二面角的棱如果垂直于某个平面 $\pi$，那么 $\pi$ 与两个半平面各交出一条从同一点出发、且都垂直于棱的射线——它们的夹角就是平面角。整个二面角当场搬进 $\pi$ 这张平面图里，立体题降成平面题。
• 棱台补成棱锥把棱台的侧棱全部延长交于一点，还原成原来的棱锥；台的等腰梯形侧面补完常常变成正三角形或等腰三角形，垂直关系随之现形。
• 两点设参数角再和差化积弦的两端写成 $(a\cos\alpha,b\sin\alpha)$、$(a\cos\beta,b\sin\beta)$，令 $u=\frac{\alpha+\beta}{2}$、$v=\frac{\alpha-\beta}{2}$；凡是关于两点对称的条件（中点、和、面积）都会被和差化积整理成只含 $u$、$v$ 的式子，常常一步定出 $u$，问题当场降到一个变量。
• 两个绝对值之和先加减消元前提形如 $|e_1|+|e_2|\leq k$ 时，先把 $e_1\pm e_2$ 里能消掉某个变量的那一个挑出来，用 $|e_1|+|e_2|\geq|e_1\pm e_2|$ 得到一个少一个变量的不等式。
• 两个中点连成中位线图里出现两个中点（含隐含的中点：原点是两焦点连线的中点、对角线交点是对角线的中点……），把它们连起来就是一条中位线，第三边的长度立刻变成它的两倍。
• 两根之比用和方比积两根之比 $r=\frac{x_{2}}{x_{1}}$ 给定时，不必解方程：$\frac{(x_{1}+x_{2})^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(1+r)^{2}}{r}$，左边是韦达的现成货、右边只含 $r$，两边一接就是关于参数的方程。这个量对 $r$ 与 $\frac{1}{r}$ 取同一个值。
• 两数之积已定就设成一对倒数两个正数的**积**已知（$xy=m^{2}$）时，把它们写成 $mk$ 与 $\dfrac{m}{k}$——积自动满足，只剩一个 $k>0$；原式对 $x$、$y$ 对称的话会变成 $k+\dfrac1k$ 的函数，一步接上基本不等式。
• 两条曲线的上下关系把 $f(x)\geq g(x)$ 恒成立读成「$f$ 的图象恒在 $g$ 的上方（可重合）」，画两条曲线，从图上读参数的约束。
• 裂项相消把通项写成 $A_n-A_{n+1}$ 的形状，求和时中间项两两抵消，只剩头尾——分母是两个等差项之积时，裂项的系数由公差定。
• 令通项的指数等于目标要展开式里某一项（常数项、含 $x^{k}$ 的项、有理项……），不必把整个展开式写出来：把通项里那个字母的指数写成一个关于序号 $r$ 的方程或条件，解出 $r$，再回代算这一项。
• 面积化成数量积乘正切$S=\frac12bc\sin A=\frac12\,(bc\cos A)\tan A=\frac12\,(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC})\tan A$——题面直接给了数量积时，面积只差一个正切，$b$、$c$ 各是多少都不必知道。
• 描述法化列举法把用公共属性给出的集合逐个列出，让抽象条件变成可数的元素清单。
• 排除法选择题不正面算答案，而是找一条正确选项**必须**满足的性质，拿它把通不过的选项逐个刷掉。
• 判别式定有解「存在实数使 …… 成立」化成一个一元二次方程，$\Delta\geq 0$ 就是它有解的充要条件。
• 抛物线上的点用参数表示$y^{2}=2px$ 上的点一律写成 $\left(\frac{t^{2}}{2p},\,t\right)$（对 $y^{2}=4x$ 就是 $(m^{2},2m)$）——一个参数就把点定死，弦的斜率、焦点弦条件、面积全变成参数的有理式，不必再讨论「斜率存不存在」。
• 配成同一个函数在两点的值等式（或不等式）两边结构几乎一样、只差一小截，就把那一截移出去，让两边变成**同一个** $f$ 在两个点处的值；剩下的交给 $f$ 的单调性。
• 配成已知不等式的线性组合要证「目标式 $\leq$ 某个数」，就把目标式凑成若干已知不等式的**非负系数**组合再放缩——一步得界，且等号条件同时读出。
• 配方读顶点把二次式写成 $A(x-h)^2+k$——开口看 $A$ 的符号、极值点看 $h$、极值看 $k$；「在某区间上怎么变」只需比一次 $h$ 与区间的位置。
• 平方项换元化成线性方程组两条曲线的方程里 $x$、$y$ 只以 $x^2$、$y^2$ 出现时，令 $u=x^2$、$v=y^2$，联立就成了二元一次方程组；目标若也只关于 $u+v$、$u-v$ 之类，连 $u$、$v$ 都不必解出来——把目标配成两式的线性组合，右边直接给答案。
• 平面图形的割与补求一个不规则平面图形的面积，两条路：**割**成几块会算的图形相加，或**补**成一个会算的大图形再把多出来的减掉。
• 平行投影保长把一条线段正投影到与它平行的直线上，长度不变——投影前后差一个平移。于是「求某段在某直线上的影子」可以直接换成「量那一段本身」。
• 平移目标直线把 $z=ax+by$ 看成一族斜率固定的平行线，沿法向平移，最后离开可行域的那个顶点给出最值。
• 平移直线数交点把「到直线距离为 $t$ 的点」看成两条平行线，与圆求交计数。
• 齐次二次式因式分解定比例关于 $x,y$ 的方程每一项都是二次（$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=0$）时，它锁的不是 $x,y$ 本身而是比 $\frac xy$——按一元二次分解成两个一次因式，每个因式给一条比例。
• 齐次方程同除降成离心率圆锥曲线里列出的只含 $a$、$c$（或 $a$、$b$、$c$）的**齐次**方程，两边同除以 $a$ 的相应次数，方程立刻只剩 $e=\dfrac{c}{a}$ 一个未知数。
• 齐次化构造斜率方程把曲线上的定点平移到原点，用过定点之外那条动直线的方程把曲线方程配成二次齐次式，除以 $x^2$ 后两根就是定点到两交点的两条连线的斜率。
• 齐次式化正切关于 sinθ、cosθ 的同次齐次式，上下同除 cos^nθ 就只剩 tanθ；不齐次的先用 1=sin²θ+cos²θ 补齐次。
• 齐次式设比降元目标是两个变量的**零次齐次式**（把 $a$、$c$ 同时放大 $k$ 倍值不变）时，令 $u=\dfrac ac$，二元最值立刻塌成一元函数 $f(u)$ 的值域。
• 奇偶周期化归先用周期平移、再用奇偶变号，把自变量化到已知区间。
• 前缀和之差化连续项再取中项$S_q-S_p$ 是一段**连续项**之和（$p<q$ 时为 $a_{p+1}+\cdots+a_q$）；等差数列里项数为奇数的一段连续项之和又等于「项数 × 中间项」，于是带 $n$ 的两个和之差能一步压成一项。
• 切点三方程设切点 $x_0$，联立斜率、在曲线上、在切线上三条件。
• 切线条数化为方程根的个数「过定点 $(a,b)$ 能作几条切线」= 以切点横坐标为未知量的方程有几个根；把切点设出来列方程，再用导数数零点。
• 取倒数化递推形如 $a_{n+1}=a_n(1-ka_n)$ 或 $a_{n+1}=a_n/(1+ka_n)$ 的递推，取倒数后往往变成「每步涨一个几乎固定的量」，即近似等差。
• 取任一元素证集合包含要证 $X\subseteq Y$，就写「设 $x\in X$」，再一路推到 $x\in Y$——把集合之间的关系降到**一个元素**上判，是集合恒等式与包含式最省事的通法；要证 $X=Y$ 就把这件事做两遍。
• 全部化到一组基上题面给了一堆向量时，先挑两个（平面）作基，把其余每一个都写成基的线性组合；此后所有条件与目标都只关于那两个系数，向量就此退场。
• 三垂线法作二面角作两条垂线把二面角的平面角「造」出来：先从一个半平面内的点作棱所在另一半平面的垂线，再从垂足作棱的垂线，连线所得的角就是平面角。
• 三视图定顶点坐标三张视图各是一次正投影，各钉住三个坐标里的两个——正视图钉 $(x,z)$、侧视图钉 $(y,z)$、俯视图钉 $(x,y)$。把每个顶点在三张图上的位置对起来，坐标就唯一定下来了，立体不用在脑子里转。
• 设线联立用韦达定理把动直线设成 $y=kx+m$ 与圆锥曲线联立成一元二次方程，两交点的坐标不单独求，只用韦达定理的和与积整体代入所求。
• 射影面积求二面角一个平面图形在另一个平面上的正射影，面积等于原面积乘二面角的余弦：$S'=S\cos\theta$。于是求二面角不必作平面角——只要射影是现成的（某个顶点的射影已经被题目里的垂直关系钉死），算两个三角形的面积就行。
• 数量积化成四条距离的平方四个点 $A$、$B$、$C$、$D$ 的数量积 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac12\left(AD^{2}+BC^{2}-AC^{2}-BD^{2}\right)$——右边只有六条连线中的四条长度，夹角、坐标、位置全部消失。
• 数尾事件代替恰好等于「恰好等于 $k$」难数就先数「不小于 $k$」，再作差：$P(\xi=k)=P(\xi\geq k)-P(\xi\geq k+1)$。
• 数学归纳法要证一句对每个正整数都成立的话，只证两件事：起点 $n=n_{0}$ 成立；以及「$n=k$ 成立」能推出「$n=k+1$ 成立」。两条一起，命题就沿着正整数一路成立下去。
• 数轴标根定符号把因式分解后的零点按大小标在数轴上，最右一段是正号，往左每过一个**奇重**零点变一次号、过**偶重**零点不变号——一张图给出全轴的符号。
• 特殊值代入答案对一切满足条件的取值都成立时，挑一组最好算的特殊值代进去，直接读出答案。
• 特值定候选再回代验证「求参数使某式对所有 $x$ 成立」可以反着走——先代几个好算的特值把参数缩到有限个候选（这一步只是**必要条件**），再把每个候选代回原式做一次完整验证（这一步才是**充分性**）。两步都写出来，解答才完整。
• 同底两个等腰三角形比顶角两个等腰三角形共用一条底边时，腰短的那个顶角大——把「比角」换成「比腰长」。
• 同类元素当成相同先数图案元素分成几类、同类之间互换**不影响**所问的性质时，先把同类当成相同、只数「图案」（不尽相异元素的排列 $\dfrac{n!}{n_{1}!n_{2}!\cdots}$），再乘回各类内部的 $\prod n_{i}!$；求**概率**时这个乘数在分子分母上原样约掉，干脆不必乘。
• 同形条件相减消常数题面给的两个条件长得一模一样、只有下标（或某个参数）不同时，别急着各自展开——**先相减**。同形的那一部分（尤其是那个碍事的常数项）整段对消，剩下的关系比原来低一个层次。
• 同一个面积算两遍同一块图形的面积用两套不同的公式各写一遍，令二者相等，就凭空得到一个方程。最常用的一对是「底乘高」和「两边夹一角」，前者吃的是长度，后者吃的是角。
• 同值两点关于对称轴对称条件长成 $f(x_1)=f(x_2)$、$x_1\neq x_2$ 时，两点必关于图象的某条对称轴对称，于是 $\frac{x_1+x_2}{2}$ 就是那条轴——一个"两处取同值"的条件立刻变成一个关于 $x_1+x_2$ 的等式。
• 统一底数指对数混合的式子，先把所有幂与对数改写成同一个底，运算性质才用得上。
• 投影长化成数量积一点到某条直线的垂足所截出的那段长（投影长），乘上同一条直线上另一段长，等于两个向量数量积的绝对值——于是垂足根本不用求出来。
• 图上量两次反解同一个参数一幅草图上能量出好几个数（最高点、周期、零点间距、截距……）；若解析式里只有一个待定参数，就用其中两个数各反解它一次——两次解出的值必须相同，对不上的那幅图就是不可能的那一幅。
• 图象法数交点把方程 $f(x)=g(x)$ 根的个数看成两条曲线的交点个数，各自画图（三角函数用五点法）后逐段数。
• 椭圆参数方程求最值用 $(a\cos\varphi,b\sin\varphi)$ 把距离化为三角函数再求最值。
• 系数反序的多项式根互为倒数把一个多项式的系数**从后往前重写一遍**，得到的新多项式 $x^{n}f\!\left(\frac{1}{x}\right)$ 的根，恰是原来那些**非零根的倒数**；$0$ 这个根在反序后会凭空消失。
• 先按统一价算再补差价分档计价的另一种算法——**整笔先按第一档的价算一遍**，再对每一级超出的量补上那一级的**差价**。与逐档累加恒等，但档数多时手上要记的数少得多。
• 先粗后精的两次放缩第一次放缩只求一个粗糙的界，把这个界**回代**进原式，第二次放缩就能得到紧得多的界。
• 先取模再运算求乘、除、幂的模时不必先把复数算出来——模对乘除是可分配的，$|z_1z_2|=|z_1||z_2|$、$\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$，先把每一块的模算出来再运算。
• 先散开再扣粘合面组合体的表面积 $=$ 各块单独的表面积之和 $-$ $2\times$（粘合处的面积），因为每处粘合同时盖住两块各一个面。
• 先选后排一堆人（物）里既要「挑出哪些」又要「谁担任什么」时，把两件事分成两层：先用组合数挑出集合，再用排列数在集合内部安排位置；位置那一层的种数常与「挑出的是谁」无关，于是它是一个公因子。
• 线面角化点面距斜线段的一端落在平面上时，$\sin\theta=$ 另一端到平面的距离 $\div$ 斜线段长——线面角问题变成一段距离。
• 相切化为距离等于半径直线与圆相切的代数出口：圆心到直线的距离等于半径（$d=r$），把「只有一个公共点」换成一个不含交点坐标的方程。
• 向量共面判线面平行要证 $l\parallel\alpha$，不必去找 $\alpha$ 内那条与 $l$ 平行的线——把 $l$ 的方向向量用 $\alpha$ 内两个不共线向量线性表示出来即可；表示得出来（第三个基向量的系数恰为 $0$）就共面，再补一句「$l$ 不在 $\alpha$ 内」就完。
• 向量坐标化把几何 / 物理向量放进坐标系，一切化为坐标算术。
• 斜基底的坐标投到另一条的垂线上基向量不垂直时，「点乘 $\boldsymbol{e}_1$」得到的是两个坐标的混合；要单独抓出 $x$，得点乘一个与**另一个**基向量垂直的单位向量，再除以 $\sin\theta$。
• 压缩变换把椭圆化为圆作 $x'=\frac{x}{a},\ y'=\frac{y}{b}$ 把椭圆变成单位圆，在圆里用「半径垂直切线」「弦心距」这些圆独有的性质把点定出来，再逆变换回去；代价是长度与角度不保，只能用来定位置、不能直接搬距离。
• 沿定轴做正交分解绕定轴 $\ell$ 翻折或旋转时，把每个向量拆成「沿 $\ell$」与「垂直 $\ell$」两段；交叉项的数量积恒为零，于是任意两个向量的数量积 $=$ 一个与运动无关的常数 $+$ 一个只带 $\cos\theta$ 的项。
• 沿对称轴建系图形有一条对称轴时，把它取作坐标轴——一对对称的元素坐标只差一个符号，一半的字母当场消失。
• 一个量与它的倒数同时出现就换元式子里同时出现 $u$ 与 $\frac1u$（$\log_a b$ 与 $\log_b a$、$x$ 与 $\frac1x$、$\tan\theta$ 与 $\cot\theta$）时，设 $t=u$ 把它并成一个字母；代价是新方程对 $t\leftrightarrow\frac1t$ 对称，必须另用范围取舍。
• 一条边垂直于另一面就是直二面角要让二面角 $\alpha\text{-}\ell\text{-}\beta$ 成直角，最省事的做法不是去量那个角，而是在一个半平面里找出一条垂直于**另一个半平面**的直线——由面面垂直的判定定理，两个面当场垂直，平面角自动是 $90^\circ$。
• 引入参数比较令连等式等于参数 $k$，把各量统一表示后比较。
• 用平方非负卡住交叉项式子里同时有平方项和交叉项 $xy$ 时，用 $(ax\pm by)^{2}\geq 0$ 把 $xy$ 换成平方项的上界或下界，交叉项就被卡死了。
• 元素个数两头夹要定一个集合能有多大，就把它的元素个数估两次：一边用构造（列出一串互不相同的元素）给下界，一边用约束（每个元素都由某个更小的集合派生）给上界；两界一撞，规模就被夹死。
• 展开式回到每个括号各取一项$(A+B)^{n}$ 就是 $n$ 个 $(A+B)$ 相乘；乘开之后的每一项，都是「在每个括号里各挑一个加数，再把挑出来的 $n$ 个因子乘起来」的一种挑法。挑了 $r$ 个 $B$ 的挑法共 $\binom{n}{r}$ 种——这正是二项式系数的来处。要某一项的系数，就数「有多少种挑法凑出它」。
• 展开图圆心角定母线与半径之比「展开图是半圆 / 圆心角 120°」这类形状条件，等价于母线与底面半径的一个固定比例：θl = 2πr。
• 找循环不变式别一轮一轮往下跑——找一句「每次走到判断框时都成立」的话（例如 $T=\frac{1}{(i-1)!}$），用一步归纳证掉，然后把退出时的计数器代进去，答案一次出来。循环跑一万轮和跑五轮，用的是同一句话。
• 折叠的不变长度列成距离方程沿折痕把一块图形折起时，折痕两侧各自的长度与角度**一个都不变**；把这些「不变的长度」写进折后的坐标里，就是一组距离方程，折起后的位置由它们钉死。
• 折起点的投影锁在一条垂线上点 $P$ 绕折痕 $\ell$ 转出平面时，它在原平面上的**投影**始终落在「过 $P$ 且垂直于 $\ell$」的那条直线上——这条线在折叠**之前**就能画出来，投影点往往被别的条件当场定死。
• 整数上把严格不等号收紧当式子两边都取整数时，$A>B$ 与 $A\geq B+1$ 是同一件事；把每条严格不等号都换成非严格的，开区域立刻变成闭区域，凭「闭」才成立的工具（角点定理、最值存在性）这才能用。
• 整体代换把复合三角函数的内部表达式当一个整体 $u$，套基本函数的性质通式，再解回 $x$。
• 正方体剖成三个全等棱锥在正方体上取一个顶点，把不含它的三个面各当一次底、这个顶点当顶，得到三个四棱锥；它们两两全等且恰好拼满正方体，于是每个的体积是正方体的 $\frac13$——锥体公式里那个 $\frac13$ 就是这么来的。
• 正难则反用补集「至少 / 不全 / 不都」这类条件正面数要分好几类，反面往往只有一类；先数无限制的总数，再减去不合条件的那一小块，一步到位。
• 正数比大小先平方两个正数（或正数与 $1$）比大小，先平方把根号、分式里的根号一并抹掉，再比。
• 直径圆的内外看数量积的符号点 $P$ 与以 $AB$ 为直径的圆的位置关系，只看 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的符号——负在圆内、零在圆上、正在圆外。于是「某点在以某段为直径的圆内」这句话不必求圆心与半径，直接变成一个数量积不等式。
• 只看关键元素的相对次序不放回抽取就是一个随机排列；若结果只由其中几个「关键元素」的先后决定，就把其余元素删掉——那几个元素的各种相对次序等可能，概率与期望一步读出来。
• 只看几个元素的相对次序全排列里，指定的 $k$ 个元素之间的 $k!$ 种先后次序把所有排法**均分**成 $k!$ 等份；于是「这几个元素排成某种次序」的排法数 $=$ 总排法数 $\times\dfrac{\text{合格次序数}}{k!}$，一步得数，不必分类。
• 只数循环用到的因子循环体里累积量只被同一种运算反复作用（一路乘、一路除、一路加），那输出就是这种运算把「计数器取过的那些值」折起来的结果。于是不必逐轮跑，只要定出**哪些值真的被用过**这个集合。
• 指对函数的切线放缩用 $e^x\geq x+1$ 与 $\ln x\leq x-1$ 把指数/对数项换成多项式，做不等式放缩。
• 指示变量拆分把计数随机变量拆成 0-1 指示变量之和，用期望线性性。
• 中线平分面积$M$ 是 $AB$ 的中点 $\Rightarrow$ $S_{\triangle ABP}=2S_{\triangle APM}$；若 $P$ 与 $M$ 恰好在同一条直线 $\ell$ 上，面积就化成 $\lvert PM\rvert\cdot d(A,\ell)$——不必再算 $\lvert AB\rvert$，也不必再用点到直线的距离公式。
• 中心对称点两两配对一堆关于同一点对称的定点，别一个个算——配成过中心的对，交叉项当场抵消。
• 重心坐标取三顶点的平均三角形的重心就是三个顶点的算术平均：$G=\frac{A+B+C}{3}$。于是「重心」这个词在坐标题里几乎总能当场消掉——尤其当其中两个顶点关于某点对称时，重心退化成第三个顶点按 $\frac13$ 缩向那个点。
• 逐次求导定符号要证 $F\geqslant0$ 而 $F(0)=0$ 时，改看 $F'$；$F'(0)$ 又是 $0$ 就再看 $F''$——一层层往下求导，直到符号一眼可判，再一层层回推上来。
• 逐段求解再取并分段函数上的方程/不等式，在每一段里各解一次、各与该段的定义域取交，最后把结果并起来。
• 组合恒等式抽出因子求 $\sum k\,C_{n}^{k}\cdots$ 这类"带 $k$ 的组合数和"时，先用 $k\,C_{n}^{k}=n\,C_{n-1}^{k-1}$ 把 $k$ 吸进组合数、常数因子提到求和号外，剩下的和往往就是范德蒙德恒等式 $\sum_{i}C_{a}^{i}C_{b}^{m-i}=C_{a+b}^{m}$ 的形状，整个求和一步坍成一个组合数。
• 组合体分块求和把复杂几何体沿轮廓变化处切成几块简单几何体，逐块套公式再相加（或对挖空的部分相减）。
• 最值给定拆成不等式组加取等「$f$ 的最大值是 $M$」等价于两句话——**所有点都满足 $f\leqslant M$**，且**至少有一个点取到 $M$**。把它拆开写，含参问题就从「先判最值在哪取到」变成「解一组不等式再挑取等的那一支」，不必分类、不必看图。
• 作差定号比较两个量的大小或证明不等式：作差、因式分解（常为配方），逐因子定号后读出差的符号。
• 作差验证渐近线把曲线解成 $y=f(x)$，与候选直线 $y=kx$ 作差并分子有理化，差趋于 $0$ 就证明了它是渐近线。
• 作高拆成直角三角形从一个顶点向对边作高，把斜三角形切成两个直角三角形，边角关系全部退化成初中的三角比与勾股定理。