分段求和作比

解题套路

1. 分段：前 $2n$ 项和 $=$ 前 $n$ 项和 $+$ 后 $n$ 项和，后段是前段的 $q^{\,n}$ 倍。
2. 作比：$\dfrac{S_{2n}}{S_n}=1+q^{\,n}$。
3. 解 $q$：代数据解方程。$q^{\,n}$ 是偶次方时方程有多个实根，取舍要有依据——题面给了「各项为正」这类条件才扔得掉负根；没给就一根都不许扔。

用在本题

$\dfrac{S_8}{S_4}=1+q^4=17\Rightarrow q^4=16\Rightarrow q=\pm 2$。

本题题面只说「一个等比数列」，没有正项条件，所以两根都是答案（官方答案就是 $\pm2$）。两支各自回代都成立： $q=2$ 时 $a_1=\dfrac{4}{15}$（$S_4=15a_1=4$、$S_8=255a_1=68$）；$q=-2$ 时 $a_1=-\dfrac{4}{5}$（$S_4=-5a_1=4$、$S_8=-85a_1=68$）。