由线性规划的最值反求参数

题型说明

• 常见问法：「设 $z=kx+y$，其中 $x,y$ 满足 $\{\dots\}$，若 $z$ 的最大值为 $M$，则 $k=$ ____」。
• 与线性规划求最值是同一张图、反着问：那类题里目标直线的斜率已知， 这类题里斜率恰恰是未知数。
• 可行域不含参数，所以顶点是死的、算一次就够；变的只有「哪个顶点最优」。

三个入口

• 按参数分类（原卷常走）：把目标直线的斜率与可行域各边的斜率比大小，定出最优顶点归谁， 分段各解一次。稳，但最长。
• 顶点值的上包络：设顶点为 $P_1,\dots,P_m$，则 $\max z$ 就是 $\max_i z(P_i)$—— $m$ 条关于参数的直线取上包络。画出这条折线，与水平线 $z=M$ 求交即可，顺带看出解的个数。
• 不等式组加取等：$\max z=M$ 等价于「每个顶点都 $\leqslant M$」且「有一个 $=M$」， 一组不等式加一次筛选，全程不分类，见最值给定拆成不等式组加取等。

这类题的关口

• 别凭一张图指定最优顶点。图上画的是参数取某个值时的样子；参数一变，最优顶点就换人， 见含参目标函数把最优顶点当固定。
• 解出来必须回代验。令某个顶点的值等于 $M$ 解出参数，还要确认在这个参数下别的顶点没有超过 $M$—— 这一步删掉的往往正好是那个”看起来很对”的增根。
• 顶点要列全。原卷有时只写它用得上的那两个角点，读的时候容易以为可行域只有两个顶点。
• 可行域无界时先看方向。目标函数在无界区域上可能没有最大值； 见可行域无界当成目标函数没有最值。