数学题型

共 135 个题型， 按标题拼音序排列。

• 比较大小比较指数 / 对数式的大小，常引参数或作差。
• 边与圆的公共点个数给定三角形（或多边形）与一个半径确定的圆，问两者最多／最少有几个公共点；核心是把「圆心到各边的距离」与内切圆半径比一比，再区分「直线」与「线段」。
• 补集的元素个数给定全集与子集，求补集中元素的个数。
• 参数族里数合格函数的个数参数在一张有限的取值表里跑，问这族函数中满足某条件（过几个定点、有几个零点、单调……）的有几个——把条件翻译成参数必须满足的等式，再逐格数。
• 充分必要条件的判断给两个条件 $p$、$q$，判断 $p$ 是 $q$ 的充分不必要 / 必要不充分 / 充要 / 既不充分也不必要条件。
• 从曲线上一点向圆引两条切线动点 $P$ 在一条圆锥曲线上，从它向一个定圆引两条切线，两条切线又各自与原曲线交于第二个点 $A$、$B$；问的往往是 $AB$ 的斜率、或某条与 $AB$ 垂直（平行）的直线。核心是把「两条切线」写成同一个二次方程的两个根。
• 存在外层函数使复合式成立给出内层 $g(x)$ 与目标 $h(x)$，问「是否存在函数 $f$ 使得对任意 $x$ 都有 $f(g(x))=h(x)$」。判据只有一条：$g$ 把两个 $x$ 送到同一处时，$h$ 也必须把它们送到同一处。
• 带二次约束的线性式最值给一条二次曲线当约束（$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=D$ 之类），求一次式 $mx+ny$ 的最大 / 最小值——把一次式整体记成 $t$，问题就变成「这条直线什么时候还碰得到曲线」。
• 导数的切线问题由切线求参数：切点满足在曲线上、在切线上、斜率=导数。
• 导数研究函数单调性与不等式求导按参数分类讨论单调性，再用最值或放缩证不等式（恒成立）——导数解答题的典型两问。
• 到多点的距离平方和动点 $P$ 到一组定点的距离平方之和，求值或求范围；关键是把它压成只与 $|PO|$ 有关的一个式子。
• 等比数列的基本量由前 $n$ 项和等条件求首项、公比等基本量。
• 等差数列的基本量用 $a_n=a_1+(n-1)d$ 与 $S_n=n(a_1+a_n)/2$ 把条件列成 $a_1$、$d$ 的方程组求解。
• 等差数列的绝对值和已知等差数列 $\{a_n\}$，求 $|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_n|$——先定正负分界，再分段把 $S_n$ 拼出来。
• 等分点上的差分绝对值和把区间等分成 $N$ 份，比较几个函数的 $\sum|f(a_i)-f(a_{i-1})|$；它就是折线走过的总竖直路程，分段单调后望远镜相消。
• 定区间上的最小值随参数分段含参函数在一段**固定**的闭区间上求最值——最值点随参数在「左端点 / 区间内部 / 右端点」之间跳，于是最值作为参数的函数天然是分段的；写出分段式之后，常常还要反过来由它的取值范围求参数。
• 动点轨迹的方程与性质给出动点到定点、定直线的距离条件，先把条件坐标化成曲线方程，再逐项判断这条曲线的性质（是否过某点、纵坐标的界与最值）。
• 独立性检验据列联表算 $\chi^2$ 并与临界值比较下结论。
• 多个二面角比大小同一个几何体里问几个二面角谁大谁小——不必把每个角都求出来，把它们化成同一个可比的量（同一条高上的距离、或同一批余弦）即可。
• 二次函数在闭区间上的最值给一个开口已知的二次函数与一段闭区间，求区间上的最大值 / 最小值（或两者之差）——先定对称轴，再看它落在区间的哪一侧。
• 二项展开式的系数把一个乘积展开成 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$，求某一个指定的系数，或求某一组系数的和。
• 翻折后的二面角与线段长平面图形沿一条线折起（常配一句「折起后两个平面互相垂直」），第一问求折起后的某个二面角，第二问再折一次、要求某两点重合，反求折痕的位置。
• 翻折后的角与二面角比大小把一个平面图形沿一条线折起，折成的二面角记作 $\alpha$；问折起后某个角与 $\alpha$ 的大小关系，答案要对所有形状、所有折角都成立。
• 翻折后的体积最值把平面图形的一块沿某条线折起（或等价地：一个点绕一条直线转出平面），折起角度与折痕位置都可变，问所得多面体体积的最大值。
• 翻折后某长度的取值范围平面图形沿一条含动点的折痕折起（常配一句「折起后两个平面互相垂直」），折痕随动点变化，问折后某条线段长度的取值范围。
• 翻折中判断哪对直线能垂直把一个平面图形沿某条线折起，四个选项各点出一对直线，问「存在某个位置使这一对垂直」；肯定一条只要交出一个位置，否定一条却要对整个翻折过程负责。
• 反求使某量为定值的直线「定值问题」反着问——不是给定直线去证某个量与动点无关，而是在一族直线里**挑出**那一条（那几条），使这个量对曲线上所有动点取同一个值。做法固定：先把目标量算成「只含直线参数的系数 × 只含动点参数的因子」，再逼那个因子变成常数。
• 方差随参数的变化分布列里带一个参数（取值或概率含 $a$），问 $D(X)$ 随 $a$ 增大怎么变——把 $D(X)$ 算成 $a$ 的函数（通常是二次函数），再看单调性。
• 分段函数导数值的唯一配对求参数一个分段函数的导函数在两侧各自严格单调，题目要求「任给一侧的一点，另一处恰好有唯一一点与它同值」，由此反求参数；条件的实质是两支的值域完全重合。
• 分段函数的单调性已知分段函数在 $\mathbb{R}$（或某区间）上单调，求参数的范围——每段各自单调 + 分界处不比邻居高（低）。
• 分段函数零点个数求参数给分段函数（常是它再减去一条直线）的零点个数，反求参数的范围或符号；按分界点把零点分给各支，各支单独数完再相加。
• 分段函数求值与范围给一个分段函数，求嵌套函数值 $f(f(x_0))$，或求满足 $m \le f(x) \le M$ 的 $x$ 的范围。
• 符号组合的向量模最值一堆固定向量各配一个只能取 $\pm1$（或 $0,\pm1$）的系数，问这个和的模能取到的最小值与最大值；系数是离散的，所以答案永远由**有限个**候选值里挑出来。
• 复数的分类求参数给一个含实参数的复数，由「它是实数 / 虚数 / 纯虚数」这句话定出参数。
• 复数的运算（求值）给定复数表达式，化为 $a+bi$ 后求实部/虚部/模/共轭等。
• 复数结论的真假判断给出若干条关于任意复数 $z=x+yi$ 的等式或不等式，判断哪一条对**所有** $z$ 都成立。
• 复数相等求参数给一个含实参数的复数等式，用「实部虚部分别相等」把它拆成实数方程组，解出参数。
• 概率与期望的大小比较同一组随机试验下，把两次（或两种方案）的概率与期望各比一次，四个选项按两个方向的组合给出。
• 给值求值已知某些三角函数（组合）的值，求另一个三角函数（组合）的值。
• 古典概型求概率把随机试验的样本空间写成一组等可能的样本点，事件概率 = 有利样本点数 ÷ 总样本点数；全部功夫都在「怎么数」。
• 轨迹与已知曲线的交点动点由一个距离条件定出自己的轨迹，同时又落在题面另给的一条曲线上；问它的坐标，或它到某个定点的距离。
• 含参不等式的存在性问题不等式只要**有一个**自变量使它成立（「存在 $t$ 使…」），反过来求参数的范围；主线是把它翻译成「值域与目标集合有交」，最常用的落点是最值条件。
• 含参绝对值不等式恒成立给一个含参数的绝对值不等式，要求它对所有 $x$ 成立，问参数必须满足什么。
• 含量词命题的否定给一个带全称 / 存在量词的命题，写出（或从选项中选出）它的否定。
• 函数的递推不等式由 $f(x)>f(x-1)+f(x-2)$ 型递推不等式（配合一段已知解析式），估计函数在某点的取值范围或判断不等式是否「一定正确」。
• 函数模型的实际应用把声压级/分贝、pH、震级、复利等对数或指数模型翻译回原量，再比较或求值。
• 函数性质求值用奇偶性、周期性把自变量化到已知区间再求值。
• 函数性质综合判断给一个具体函数（常为三次），逐项判断极值点、复合自变量的函数值比较、值域、大小关系等多选命题。
• 恒成立求参数范围不等式在给定区间上恒成立（或恰好在某个集合上成立），反过来求参数的取值范围；主线是把它翻译成一个最值条件。
• 极小极大问题求 $\min_p \max_x$ 形式的最优值：先固定参数求最大，再对参数求最小。
• 集合的并集给两个集合（多为列举法），求它们的并集或并集的元素个数。
• 集合的交集给两个集合（常为一个描述法、一个列举法），求它们的交集。
• 集合的运算给定若干集合（列举法或描述法），求它们的交集、并集、补集等。
• 几个数量积比大小同一张图里给出几个数量积，只问谁大谁小、不问值。先定符号（谁正谁负），再在同号的那几个里比模的乘积。
• 几何体放入正方体判断球 / 正四面体 / 圆柱等能否整体放进棱长给定的正方体，逐件比「能容纳它的关键尺寸」。
• 阶梯计价求总费用给一张按用量分档的价目表（电、水、燃气、个税、话费），再给一个用量，求应付的总费用。要点是「每一档只对落在这一档里的量收这一档的价」，而不是整笔按最高档的价算。
• 解三角形用正弦 / 余弦定理、面积公式求边、角或判断形状。
• 空间三种角的大小比较一个几何体里同时出现异面直线角、线面角、二面角，问三者的大小顺序（含动点，答案要对全部位置成立）。
• 空间线面位置关系判断判断线线 / 线面的平行、垂直，常用向量法。
• 棱上求点使二面角为直角在一条棱（线段）上找动点 $M$，使某个以 $M$ 为顶点的二面角成为直二面角——问的是「存不存在」，答的要包含三件事：位置、为什么够、以及有没有第二个。
• 棱台与台体体积台体体积 $V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$（$S_1$、$S_2$ 为上、下底面积）；正棱台常需先用侧棱与水平偏移求出高 $h$。
• 棱台中的线面垂直与二面角以三棱台为载体的立体几何解答题：先证一条棱垂直于某个侧面，再求以某条侧棱为棱的二面角；难点在于上底面「悬空」，位置要靠侧面的形状定出来。
• 离散型随机变量的期望求 $E(X)$，计数型常用指示变量拆分。
• 立体几何中的角与外接球求异面直线所成角、二面角，或外接球球心与半径。
• 立体几何中的线面角最值定点固定、动点沿一条直线（或曲线）跑，问这条动直线与某个平面所成角的最大值——把角落成「竖直高 / 水平射影」的比，或者一步认出它就是两平面的夹角。
• 联立对数式与指数式解方程组两个正数被一个对数条件（如 $\log_a b+\log_b a=\frac52$）和一个幂条件（如 $a^{b}=b^{a}$）同时锁住，求这两个数。
• 两个方程实根个数的可能配对给出两个互相关联的方程，问它们的实根个数 $(|S|,|T|)$ 有哪几种搭配可能、哪一种不可能——考的是两组根之间的结构联系，不是把根解出来。
• 两个向量模之和的最值两个向量的模固定，问 $|\vec a+\vec b|+|\vec a-\vec b|$（或类似的两个模之和）能取到多大、多小；关键是这两个模**不独立**——它们的平方和是定值。
• 面面垂直的组合体中的线面平行与二面角两个互相垂直的平面各放一个平面图形（常是一个矩形加一个直角梯形）拼成的组合体：第（Ⅰ）问证一条跨过两块的线段平行于另一块所在的平面，第（Ⅱ）问给一个二面角、反求矩形那条自由边的长。
• 排列组合计数用分类加法 / 分步乘法与组合数 $C$、排列数 $A$ 数方案数；常按「选几个 / 分几类」分类，或用间接法排除。
• 判定给定点是不是极值点题目直接把点 $x_{0}$ 摆出来，问 $f$ 在那里取极大值、极小值，还是根本没有极值——不必求出全部极值点，只要看 $x_{0}$ 附近的符号变化。
• 判断两个集合的包含关系给两个（多半由不等式描述的）集合，问 $A\subseteq B$、$B\subseteq A$、$A\subseteq\complement_U B$ 之类的包含式哪一条成立。
• 判断数列是否等差给一列由几何或代数背景产生的量，判断它（或它的平方、倒数……）是不是等差数列。
• 判断蕴含命题的真假四个选项各是一条「若 $P$ 则 $Q$」，判断哪一条对一切取值都成立。
• 抛物线的焦半径抛物线上一点到焦点的距离，与它到对称轴那一侧坐标之间的换算。
• 抛物线的焦点弦过焦点的弦，用定义把焦半径换成到准线距离。
• 抛物线切线与椭圆相交的参数最值抛物线 $y=x^{2}+h$ 上一点处的切线截椭圆得一条弦，再给一个把这条弦的中点与另一条线段的中点绑在一起的条件，求平移参数 $h$ 的最值；难点全在「这条弦真的存在」那一道回验上。
• 平面向量的应用把实际量或几何关系用向量（常用坐标）建模求解。
• 前n项和的递推求首项与指定和条件把某一项写成前面若干项之和的式子（如 $a_{n+1}=2S_n+1$），再补一个具体的和（如 $S_2=4$），问首项与某个指定的 $S_k$。
• 前n项和的最大值问「$S_n$ 在哪个 $n$ 处最大」。判据不在和的公式里，在项的符号里：$S_k$ 最大 $\iff$ 第 $k$ 项之前的项都非负、之后的项都非正。
• 求函数在区间上的取值范围给一个函数和一段区间，问它在这段上能取到哪些值。答案是**值域**而不是最值：先用导数把区间切成若干单调段，再把每一段的两个端点值排出来，并处理够不到的开口。
• 取小函数的分段与最值给出两个函数，令 $F=\min\{f,\ g\}$（或 $\max$），问 $F$ 在哪一段等于哪一支、$F$ 的最小值、$F$ 在某个闭区间上的最大值。
• 三个极值点补一个成等差含参函数恰有三个极值点，再补一个数，问四个数能否按某种顺序排成等差数列、参数取什么值——考的不是求极值点，而是「三个已知点 + 一个待补点排成等差」只有三种排法这件事。
• 三角等式求值给一个含两个角的三角等式（外加一条角之间的关系），求某个三角函数值。
• 三角函数的对称中心求 $y=A\cdot f(\omega x+\varphi)$ 型三角函数的对称中心，靠整体代换解内部表达式。
• 三角函数的值域给一个含多项三角式的函数（$\sin^{2}$、$\sin\cos$、不同相位混在一起），求它的值域或最值。核心动作只有一个：先化成 $y=A\sin(\omega x+\varphi)+b$ 这一条标准式，再读值域。
• 三角函数的周期与单调区间给一个三角式，问它的最小正周期、单调递增（递减）区间。化成 $y=A\sin(\omega x+\varphi)$ 之后，周期由 $\omega$ 一步读出（$T=2\pi/|\omega|$），单调区间由「整体代换」把已知的正弦单调区间搬过来解一个一次不等式。
• 三角函数零点个数求参数给 $\sin$/$\cos$ 型函数在区间上的零点（或极值点）个数，反求 $\omega$ 范围；把零点定位成 $k$ 倍周期再数 $k$。
• 三角函数图象的平移给两条三角函数曲线，问由一条得到另一条要向左/右平移多少个单位。
• 三角式化成单个正弦把含 $\sin$、$\cos$ 的式子整理成 $A\sin(\omega x+\varphi)+b$，读出振幅、频率、相位与平移。
• 三角形中三角式的取值范围先由一个边角条件定死一个角，再问某个关于三个角（或三边）的对称式的取值范围——内角和把三个角压成一个自由变量，「锐角」「钝角」之类的形状要求负责裁出那个变量的区间。
• 三视图还原求表面积给出组合体的三视图与尺寸，还原出它由哪几块拼成，再把**露在外面**的面逐个算出来相加。
• 三视图还原求体积给出一个组合体的三视图与尺寸，还原出它是由哪几块简单几何体拼成的，再分块算体积求和。
• 数列的递推与综合由递推构造新数列证等差 / 等比，再与函数、导数综合。
• 数列递推的放缩估值递推式求不出通项，但要判断某一项（如 $a_{100}$）落在哪个区间——靠把每步的增量夹住再累加。
• 四棱锥中的线面垂直与二面角以四棱锥为载体的立体几何解答题：底面是个直角梯形或矩形，先证一条底面上的棱垂直于某个侧面，再求以一条侧棱（常是那条斜棱）为棱的二面角；难点在于顶点的位置要靠「侧面 $\perp$ 底面」先钉死。
• 四棱锥中的线面平行与线面角以四棱锥为载体的立体几何解答题：底面是直角梯形，第一问证一条连着中点的线段平行于某个侧面，第二问求这条线段与另一个侧面所成的角；难点在于顶点的位置得靠**三个**条件一起钉死，少用一条就会歪。
• 四面体中的线面平行与垂足存在性以四面体为载体的立体几何解答题：一个侧面垂直于底面、底面是个等腰直角三角形，第 (Ⅰ) 问证一条由三个中点确定的线段平行于某个过底边的平面，第 (Ⅱ) 问证底面的某个三角形内部存在一点，使它到某顶点的连线垂直于那个平面，并求这点到两条边的距离。
• 四面体中的线面平行与二面角以四面体（三棱锥）为载体的立体几何解答题：一条侧棱垂直于底面、底面又是个直角三角形，第 (1) 问证一条由中点与定比分点确定的线段平行于底面，第 (2) 问给出一个二面角、反求底面的一个角。
• 投影和恒成立求数量积范围条件形如「对**任意**单位向量 $\vec e$ 都有 $|\vec a\cdot\vec e|+|\vec b\cdot\vec e|\leqslant k$」，两个模长已知，问 $\vec a\cdot\vec b$ 能取到的范围或最值。
• 图象交点的个数求两条曲线（至少一条常是三角函数）在给定区间上的交点个数——转成方程根的个数，画图数。
• 椭圆的焦半径与焦点三角形题目给的是椭圆上一点到焦点的距离（或它与两焦点组成的三角形里的某个量），要求点的坐标、直线的斜率、角度或面积；主力工具是「两条焦半径之和为 $2a$」。
• 线性规划求最值给一组二元一次不等式约束，求线性目标函数 $z=ax+by$ 的最大值或最小值。
• 向量夹角与模的最值几个向量由同一组基向量线性组合而成、基之间的夹角又受一个不等式约束，问某个夹角（或模）的最值——把基的夹角余弦设成一个字母，一切化成它的函数。
• 斜基底下坐标与模之比的最值两个夹角已知的（多半是单位）向量当基底，把另一个向量写成它们的线性组合，问某个系数的绝对值与该向量模之比的最值——答案与那个向量是谁无关，只等于 $\dfrac{1}{\sin\theta}$。
• 新定义问题题目现场给出一个课本上没有的新概念，全部功夫在「严格照定义验证」与「照定义构造」上；用不到课本外的任何知识。
• 旋转体的侧面积与体积给圆柱、圆锥（圆台、球）的几何条件，求侧面积 / 体积，或由面积、体积反求半径、高等参数。
• 循环框图的输出值给一张带循环的程序框图和一个输入，问输出多少；把循环体读成递推、把判断框读成退出条件，再决定是手推还是解通项。
• 样本数字特征的比较比较两组样本（如全体与去掉首尾的子组）的平均数/中位数/标准差/极差，逐项按定义判或举反例。
• 已知分段函数值反求自变量给一个分段函数与一个函数值 $c$，问 $f(a)=c$ 的 $a$ 是多少。反着走时「$a$ 落在哪一段」恰恰是未知的，于是每一段都要各解一次、各与自己那一段的区间取交。
• 已知期望求方差分布列里留着未知概率、只给了期望，要求方差；先用「概率和为 $1$」与「期望已知」两个方程补齐分布列，再按定义或简算式收口。
• 隐式递推数列的估界证明递推式把 $a_{n+1}$ 与 $a_{n}$ 绑在同一个方程里、通项写不出来；单调性、前 $n$ 项和的下界、连乘和的上界这三类结论，全靠把那个方程**改写**成差、比或界的形状再叠缩。
• 由单调性求参数范围已知函数在某区间上单调（增或减），反求其中参数的取值范围。
• 由导函数图象选原函数图象给出 $y=f'(x)$ 的图象，从四个候选图象里挑出 $y=f(x)$ 可能的那一个——靠的是「$f'$ 的正负决定 $f$ 的升降、$f'$ 的变号零点就是 $f$ 的极值点」。
• 由几个等式推一般结论题面列出几行**结构完全相同**的等式（下标、指数、符号逐行变化），要求填出对一般 $n$ 成立的那一行。考的不是算，是**把同一个位置竖着读成一列数**。
• 由解析式选函数图象给一个函数的解析式与四张图，挑出它的图象。考的是「用函数的性质逐条刷选项」，而不是把曲线画准。
• 由奇偶性求参数含参函数被声明为奇函数或偶函数，反过来求参数——把奇偶性写成对**每一个** $x$ 都成立的恒等式，再从恒等式里逼出参数。
• 由三视图还原直观图给出一个几何体的三视图，问它的直观图是四个立体图形里的哪一个。不求任何数，只判形状——把三张视图按层切开，每层各套一次「几个三角形 / 几个矩形 / 几个梯形」的对照，认出锥、柱、台。
• 由通项求前n项和给出数列的通项公式，求它的前 $n$ 项和（或某个具体的 $S_k$）。
• 由线性规划的最值反求参数约束条件固定、目标函数 $z=ax+by$ 里带一个参数，题目给出 $z$ 的最大值（或最小值），反过来求参数。
• 由线性规划的最值反求约束中的参数目标函数是死的，参数藏在**某一条约束**里；题目给出目标函数的最大值（或最小值），反过来求那个参数。参数一动，可行域整个换形状——这是它与「参数在目标函数里」那一类的分水岭。
• 圆内接正多边形的面积已知外接圆半径 $R$ 与边数 $n$，求正 $n$ 边形的面积——连 $n$ 条半径切成 $n$ 个全等的等腰三角形，$S_n=\dfrac n2R^2\sin\dfrac{360^\circ}{n}$。
• 圆与圆锥曲线的公共点个数圆心固定在圆锥曲线的对称轴上，问「任意这样的圆与曲线至多几个公共点」，答案取决于「点到曲线上动点的距离」这个函数在参数区间上单不单调。
• 圆锥曲线的离心率由几何条件求 $e$，核心是把条件翻译成 $a$、$b$、$c$ 之间的比例关系。
• 圆锥曲线中的三角形面积直线与圆锥曲线相交，围出的三角形（或四边形）面积已知或待求；核心是把面积写成一个参数的函数，再解方程或求最值。
• 圆锥曲线中的最值求曲线上（或相关轨迹上）点间距离等的最大 / 最小值。
• 正棱柱中的线面角以正棱柱（底面是正多边形、侧棱垂直于底面）为载体，问某条对角线或顶点到某个特殊点的连线与某个面所成的角；条件通常只有「各棱长相等」一句，所有长度都由棱长 $a$ 表出，角与 $a$ 无关。
• 正态分布的概率估读给正态分布与一两个基准概率（$P(X<\mu+\sigma)\approx0.8413$ 或 $3\sigma$ 数值），估计尾部 / 区间概率并比较大小。
• 直径圆含原点求直线的参数范围含参直线与圆锥曲线交于 $A$、$B$，题面给一句「原点（或某定点）在以 $AB$（或由 $A$、$B$ 派生出的某条线段）为直径的圆内」，求参数的取值范围。
• 直线与圆的位置关系由交点 / 距离条件确定半径或位置参数。
• 指定元素相对位置的排列计数若干个不同元素排成一排，条件只约束其中**几个指定元素之间的相对位置**（谁在谁前、在谁的哪一侧、夹不夹在中间），求排法数。
• 指对数恒等式的判断给四个含指数、对数的等式，问哪一个对定义域内的所有取值都成立。
• 指对数互化求值给几个指数式 / 对数式条件（如 $2^a=5$、$\log_8 3=b$），求某个含 $a$、$b$ 的幂或对数的值。
• 中线张角的三角函数值三角形里作一条中线（或任一条定比分点的连线），它把顶角劈成两块；题目给出其中一块的三角函数值，反求另一块或整个顶角。核心是把「一个角被劈成两块」翻译成边的关系。
• 最小值型随机变量的分布与期望从一堆编号里抽若干个，随机变量取「抽到的最小（最大）者」，求某个概率与期望。