三角函数零点个数求参数

题型说明

• 典型形如「$f(x)=\cos\omega x-1$ 在 $[0,2\pi]$ 恰有 $3$ 个零点，求 $\omega$」。
• 直接法：解出零点的通式。如 $\cos\omega x=1\Leftrightarrow \omega x=2k\pi\Leftrightarrow x=\dfrac{2k\pi}{\omega}$，再数 $k=0,1,2,\dots$ 里有几个落在区间内。
• 换元法：令 $\theta=\omega x$，$\theta$ 扫过 $[0,\,2\pi\omega]$，数 $\cos\theta=1$ 的根 $\theta=0,2\pi,4\pi,\dots$ 有几个落进去。
• 列不等式的模板：「第 $n$ 个零点 $\le$ 右端点 $<$ 第 $n+1$ 个零点」，解出 $\omega$ 的区间。

常见陷阱

• 区间端点处的零点算不算，决定 $\omega$ 区间开还是闭（见对应易错点）。
• 漏掉 $x=0$ 这个零点（$k=0$），导致个数少数一个。