浙江 2023 · 数学 q15

冷启动：零点就是 cos ωx = 1 的地方

$f(x)=\cos\omega x-1$ 的零点满足 $\cos\omega x=1$。余弦函数等于 $1$ 只在 $\omega x=0,\,2\pi,\,4\pi,\dots$ 这些点上，所以零点是一个个等间距排开的，间距由周期 $T=\dfrac{2\pi}{\omega}$ 决定。「在 $[0,2\pi]$ 上恰有 $3$ 个」就是把这条等间距的序列往区间里一摆，数出 $3$ 个、第 $4$ 个刚好挤不进去——由此卡出 $\omega$ 的范围。两条路，一条在 $x$ 轴上数，一条换到 $\theta=\omega x$ 轴上数。

解法一：解出零点通式再数 k

怎么想到的。 把零点写成通式 $x_k$，再让 $k=0,1,2$ 落在区间里、$k=3$ 落在外面。

由 $\cos\omega x=1$ 得 $\omega x=2k\pi$，即

$$x_k=\frac{2k\pi}{\omega}\qquad(k=0,1,2,\dots)$$

（注意 $k=0$ 给出 $x_0=0$，这个零点别漏。）恰有 $3$ 个零点 $\Leftrightarrow$ $x_2\le 2\pi$ 且 $x_3>2\pi$：

$$\frac{4\pi}{\omega}\le 2\pi\ \Rightarrow\ \omega\ge 2,\qquad \frac{6\pi}{\omega}>2\pi\ \Rightarrow\ \omega<3$$

回代验端点（见区间端点处的零点计数漏判开闭）：$\omega=2$ 时零点 $0,\pi,2\pi$ 正好 $3$ 个（第 $3$ 个落在右端点，算数）→ 左端闭；$\omega=3$ 时零点 $0,\tfrac{2\pi}{3},\tfrac{4\pi}{3},2\pi$ 有 $4$ 个 → 右端开。故 $\omega\in[2,3)$。

解法二：换元 θ=ωx 在 θ 轴上数

怎么想到的。 不写 $x_k$，直接看自变量 $\omega x$ 整体扫过多长。令 $\theta=\omega x$，当 $x\in[0,2\pi]$ 时 $\theta\in[0,\,2\pi\omega]$，而 $\cos\theta=1$ 的根是 $\theta=0,2\pi,4\pi,\dots$。数这几个根有几个落进 $[0,2\pi\omega]$：要 $3$ 个，即 $4\pi\le 2\pi\omega<6\pi$，

$$2\le\omega<3$$

一步到位，且开闭号同样由「$4\pi$ 能取等（第 $3$ 个根落在右端）、$6\pi$ 不能取等（否则多第 $4$ 个根）」定出。

这两条路差在哪。 解法一在 $x$ 轴上把零点 $x_k=\tfrac{2k\pi}{\omega}$ 一个个写出来，再去比区间端点，最稳、最不容易想错。解法二把眼睛移到 $\theta$ 轴：$\cos\theta=1$ 的根是固定的 $0,2\pi,4\pi,\dots$，变化的只是区间右端 $2\pi\omega$ 伸到哪里，于是「恰有 $3$ 个」变成「右端落在 $[4\pi,6\pi)$」，几乎不用算。前者赢在踏实，后者赢在一眼看穿——两者在 $[2,3)$ 上完全一致。

🕳️ 避坑

• 端点开闭是这题唯一的坑：第 $3$ 个零点能落在 $2\pi$ 上（左闭），第 $4$ 个不能（右开）。写成 $(2,3)$ 或 $[2,3]$ 都错（见区间端点处的零点计数漏判开闭）。
• 别漏 $x=0$：$k=0$ 那一个零点就在左端点，少数它就全错。

故 $\omega$ 的取值范围是 $\boxed{[2,\,3)}$。