5.2 三角函数的概念

初中学过的锐角三角函数是”直角三角形里两条边的比”，它只能处理 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 的角。 这一节把它换一个定义，让任意角都能算：把角放到单位圆上，正弦就是交点的纵坐标、余弦就是横坐标。

换定义之后，两件事同时发生：适用范围从锐角扩到全体实数；而在锐角那一段， 新旧两套定义算出来的值完全一样（课本”探究”里问的正是这个）。所以这不是另起炉灶， 是把旧定义装进一个更大的框里。

一、定义：单位圆上一个点的两个坐标

在直角坐标系里画出单位圆（圆心在原点、半径为 $1$）。设 $\alpha$ 是任意角， 它的顶点在原点、始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P(x, y)$。规定：

这三个都是函数，因为角一旦给定，终边就定了，交点 $P$ 就定了，两个坐标也就定了—— “唯一确定”是它们能叫函数的全部理由。写成通常的样子：

正切的定义域为什么少一批点？ 当 $\alpha = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 时终边落在 $y$ 轴上， 交点的横坐标 $x = 0$，$\frac{y}{x}$ 没有意义。这是本节唯一一处”定义域不是全体实数”的地方， 也是后面每一道含 $\tan$ 的题都要先看一眼的地方。

记法上的一件小事：$\sin\alpha$ 是一个整体记号，$\sin$ 不是一个数、不能约掉； $\sin^2\alpha$ 表示 $(\sin\alpha)^2$，不是 $\sin(\alpha^2)$。

二、不在单位圆上怎么办：终边上任取一点

实际题目里给的常常不是单位圆上的点，而是终边上随便一个点 $P(x,y)$（不与原点重合）。 设它到原点的距离为

$r = |OP| = \sqrt{x^2+y^2} \ (r>0),$

则（课本例 2）

$\sin\alpha = \frac{y}{r}, \qquad \cos\alpha = \frac{x}{r}, \qquad \tan\alpha = \frac{y}{x}\ (x \neq 0).$

为什么可以随便取点？ 因为终边上不同的点与原点连成的直角三角形都相似， 对应边的比值不变。所以三角函数值只由角决定，与点取在终边上哪个位置无关—— 这一条是三角函数能成为”角的函数”的根基。

这组公式与单位圆定义是同一件事：单位圆上的点恰好 $r=1$，代进去就回到 $\sin\alpha = y$。 做题时用哪一套看给的是什么：给角用单位圆，给点用 $\frac yr$、$\frac xr$、$\frac yx$。

三、符号：一句口诀，一张图

三角函数值的正负只由终边落在哪个象限决定，因为 $r>0$ 恒成立，符号全看 $x$、$y$ 的正负：

口诀是”一全正、二正弦、三正切、四余弦”——第几象限里哪一个（哪些）为正。

反过来用更值钱：题目给两个函数值的符号，就能把终边锁进一个象限。 课本例 3 就是这个用法：$\sin\theta<0$ 把终边限制在第三、第四象限或 $y$ 轴负半轴， $\tan\theta>0$ 把它限制在第一或第三象限，两者一取交集，只剩第三象限。

四、公式一：终边相同的角，函数值相同

由定义直接可得：终边相同的角，同一个三角函数的值相等。写成公式（公式一）：

它的用处只有一个，但用得极频繁：把任意角的三角函数值化到 $0$ 到 $2\pi$（或 $0^\circ$ 到 $360^\circ$）这一圈里去算。做法是加减若干个 $2\pi$：

公式一还说明了一件事：三角函数值”周而复始”——角的终边每绕原点转一周，函数值就重复一次。 这正是下一章”周期函数”的来源。

五、几个必须记熟的值

单位圆上几个特殊位置的坐标要闭着眼睛写出来：

记的办法不是背表，是记单位圆上那几个点的坐标——坐标一写出来，三个函数值同时得到。

六、易错清单

按失分频率排：

1. $\tan\frac{\pi}{2}$、$\tan\frac{3\pi}{2}$ 写成 $\infty$ 或 $0$。 它们不存在（无意义）， 要写”无意义”或”不存在”。
2. 用终边上一点求值时忘了 $r>0$。 $r = \sqrt{x^2+y^2}$ 永远取正， 不因点在第几象限而变号——变号的是 $x$、$y$。
3. 象限符号记反。 用口诀”一全正、二正弦、三正切、四余弦”，或干脆现推： 看 $x$、$y$ 的正负比背口诀更稳。
4. 把负角或大角直接查表。 先用公式一化到 $[0, 2\pi)$ 里。
5. 把 $\sin\alpha$ 当成 $\sin$ 乘 $\alpha$。 它是一个整体记号。
6. 点不在单位圆上却直接用 $\sin\alpha = y$。 那一条只对 $r=1$ 成立，一般要除以 $r$。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先看 2022 年第 4 题（判断 $\sin x = 1$ 与 $\cos x = 0$ 的充分必要关系）： 它把本节的定义与第 1 章的逻辑用语接在了一起——单位圆上 $\sin x = 1$ 只有一个位置 $(0,1)$， 而 $\cos x = 0$ 有 $(0,1)$ 与 $(0,-1)$ 两个。把两个条件各画成单位圆上的一组点，包含关系一目了然；
• 再看 2022 年第 13 题（互余角的三角等式求值）与 2025 年第 7 题 （圆上到直线距离为 $1$ 的点恰有 $2$ 个）：这两道都要把三角函数当成单位圆上的坐标来用， 正是本节的定义在几何题里的形态；
• 然后是 2023 年第 15 题、2024 年第 7 题、2025 年第 5 题：它们考的是周期与零点， 根子在公式一”终边相同则函数值相同”；
• 最后是 2025 年第 11 题（解三角形）与 2025 年第 19 题（三角压轴）： 它们已经走到很远的地方，但每一步的合法性仍要回到本节的定义域—— 凡是出现 $\tan$，先问一句”这个角的终边会不会落在 $y$ 轴上”。

本节课本习题共 4 道，都在第 186–187 页的「练习」里（第 1 题印在第 186 页，第 2–4 题印在第 187 页）， 逐题全做。本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

四道题都只用本节的定义：设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则 $\sin\alpha = y$、$\cos\alpha = x$、$\tan\alpha = \frac{y}{x}\ (x \neq 0)$； 若给的点 $P(x,y)$ 只在终边上（不一定在单位圆上），设 $r = \sqrt{x^2+y^2} > 0$，则 $\sin\alpha = \frac{y}{r}$、$\cos\alpha = \frac{x}{r}$、$\tan\alpha = \frac{y}{x}$。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 186 页）第 1 题

1. 利用三角函数定义，求 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ 的三个三角函数值.

四个角的终边分别落在 $x$ 轴正半轴、$y$ 轴正半轴、$x$ 轴负半轴、$y$ 轴负半轴上， 与单位圆的交点就是四个坐标轴上的单位点。逐个写出交点坐标，再照定义读值。

$\alpha = 0$。 终边是 $x$ 轴非负半轴，与单位圆交于 $P(1, 0)$，故

$\sin 0 = 0, \qquad \cos 0 = 1, \qquad \tan 0 = \frac{0}{1} = 0.$

$\alpha = \frac{\pi}{2}$。 终边是 $y$ 轴正半轴，交点 $P(0, 1)$，故

$\sin \frac{\pi}{2} = 1, \qquad \cos \frac{\pi}{2} = 0.$

而 $\tan\frac{\pi}{2} = \frac{1}{0}$，分母为零，无意义——$\frac{\pi}{2}$ 正是 $\frac{\pi}{2} + k\pi$（取 $k=0$）中的一个，不在正切函数的定义域里。

$\alpha = \pi$。 终边是 $x$ 轴负半轴，交点 $P(-1, 0)$，故

$\sin \pi = 0, \qquad \cos \pi = -1, \qquad \tan \pi = \frac{0}{-1} = 0.$

$\alpha = \frac{3\pi}{2}$。 终边是 $y$ 轴负半轴，交点 $P(0, -1)$，故

$\sin \frac{3\pi}{2} = -1, \qquad \cos \frac{3\pi}{2} = 0.$

而 $\tan\frac{3\pi}{2}$ 无意义（$\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi$，取 $k=1$）。

这道题最该带走的一句：$\tan$ 在终边落到 $y$ 轴上时不存在， 既不能写成 $0$，也不能写成 $\infty$——要写”无意义”。

练习（第 187 页）第 2 题

2. 利用三角函数定义，求 $\frac{7\pi}{6}$ 的三个三角函数值.

第一步：定出终边的位置。 $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$， 即从 $x$ 轴负半轴再逆时针转 $\frac{\pi}{6}$，所以终边在第三象限， 与 $x$ 轴负半轴的夹角是 $\frac{\pi}{6}$。

第二步：写出终边与单位圆的交点。 与 $x$ 轴正半轴夹角为 $\frac{\pi}{6}$ 的点是 $\left(\frac{\sqrt3}{2}, \frac12\right)$；本题的终边与它关于原点对称（差 $\pi$）， 所以交点是

$P\left(-\frac{\sqrt3}{2},\ -\frac12\right).$

核一下它确实在单位圆上：$\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 + \left(-\frac12\right)^2 = \frac34 + \frac14 = 1$ ✓；且横、纵坐标都为负，落在第三象限 ✓。

第三步：照定义读值。

核符号：第三象限里 $\sin<0$、$\cos<0$、$\tan>0$（口诀”三正切”）， 与算出来的三个值一致 ✓。

练习（第 187 页）第 3 题

3. 已知角 $\theta$ 的终边过点 $P(-12, 5)$，求角 $\theta$ 的三角函数值.

点 $P(-12,5)$ 在终边上但不在单位圆上，所以要用 $r$ 那一套公式。

先算 $r$（它是 $P$ 到原点的距离，恒为正）：

$r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13.$

再照公式写三个值：

核符号：$P(-12,5)$ 的横坐标为负、纵坐标为正，落在第二象限； 第二象限里 $\sin>0$、$\cos<0$、$\tan<0$（口诀”二正弦”），与上面三个值的正负一致 ✓。

再核一遍”与取点无关”：若在同一条终边上取另一点 $P'(-24, 10)$（把 $P$ 的坐标翻倍）， 则 $r' = \sqrt{576+100} = \sqrt{676} = 26$，于是 $\sin\theta = \frac{10}{26} = \frac{5}{13}$、$\cos\theta = \frac{-24}{26} = -\frac{12}{13}$、 $\tan\theta = \frac{10}{-24} = -\frac{5}{12}$——与上面完全相同 ✓。 这正是”三角函数值只由角决定”那条性质。

练习（第 187 页）第 4 题

4. 已知点 P 在半径为 2 的圆上按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为 $1 \, rad/s$ . 求 2 s 时点 P 所在的位置.

题面没有给坐标系，也没有说 $P$ 从哪里出发，所以先把这两件事按最自然的方式约定下来 （这是这类题的标准处理，答案的形式依赖于这个约定）：

约定：以圆心为原点建立直角坐标系，并取 $P$ 的初始位置在 $x$ 轴正半轴上，即起点为 $(2, 0)$。

第一步：把”转了多久”翻译成”转了多大的角”。 角速度是 $1\ \mathrm{rad/s}$， 经过 $2\ \mathrm{s}$ 转过的角的大小是

$1 \times 2 = 2\ (\mathrm{rad}).$

第二步：定符号。 按任意角的规定，逆时针为正、顺时针为负。本题是顺时针，所以 $2\ \mathrm{s}$ 时 $P$ 对应的角是

$\alpha = -2\ (\mathrm{rad}).$

第三步：由角求坐标。 圆的半径 $r = 2$（不是单位圆），由终边上一点的公式反过来用： 终边与该圆交于点 $P(x,y)$ 时 $\cos\alpha = \frac{x}{r}$、$\sin\alpha = \frac{y}{r}$，故

$x = r\cos\alpha = 2\cos(-2), \qquad y = r\sin\alpha = 2\sin(-2).$

由 $\cos(-2) = \cos 2$、$\sin(-2) = -\sin 2$（终边关于 $x$ 轴对称，横坐标相同、纵坐标相反），

$P\left(2\cos 2,\ -2\sin 2\right).$

第四步：算出近似位置并判象限。 $2\ \mathrm{rad}$ 落在 $\frac{\pi}{2} \approx 1.571$ 与 $\pi \approx 3.142$ 之间，是第二象限角，故 $\cos 2 < 0$、$\sin 2 > 0$。用计算工具，

$\cos 2 \approx -0.4161, \qquad \sin 2 \approx 0.9093,$

于是

$x = 2\cos 2 \approx -0.83, \qquad y = -2\sin 2 \approx -1.82,$

即 $P$ 大约在 $(-0.83,\ -1.82)$ 处，落在第三象限。

核一遍：$x^2 + y^2 \approx 0.69 + 3.31 = 4.00 = 2^2$ ✓，点确实在半径为 $2$ 的圆上。 再核象限：顺时针转 $2\ \mathrm{rad} \approx 114.6^\circ$，从 $(2,0)$ 出发往下转一百多度， 正好落到第三象限 ✓。

这道题的关键动作有两个：一是顺时针要取负角（这是任意角的规定，漏了符号答案会落到第二象限）； 二是半径不是 $1$ 时要乘回 $r$（$x = r\cos\alpha$，不是 $\cos\alpha$）。