浙江 2025 · 数学 q07

冷启动：题目在问什么（两条路共用）

假设你刚学圆的方程。先把题面的每个符号读成一句人话。

是哪个圆。 把 $x^2+(y+2)^2=r^2$ 与标准式 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 对照，得圆心 $(0,-2)$、半径 $r$。注意 $r$ 是待求的未知量——这道题不是「已知圆问点」，而是反过来：已知合格的点恰好 2 个，问圆能有多大。

是哪条直线。 $y=\sqrt3x+2$ 要先化成一般式，才代得进距离公式：

$$\sqrt3x-y+2=0,\qquad A=\sqrt3,\ B=-1,\ C=2$$

「到直线距离为 1 的点有且仅有 2 个」是什么意思。 圆上有无穷多个点，每个点离直线 $l$ 有远有近。题目从里面挑出「离 $l$ 恰好等于 $1$」的那些点，要求它们的个数正好是 $2$。这个个数是随 $r$ 变的：$r$ 很小时圆缩在离 $l$ 很远的地方，一个够不着；$r$ 很大时圆铺得很开，够得着的点又太多。所以答案必然是一段区间，全部工作就是把两个端点找出来。

唯一必须先算的量：圆心到 $l$ 的距离。 用点到直线的距离公式，把圆心 $(0,-2)$ 代进去：

$$d=\frac{\left|\sqrt3\times 0+(-1)\times(-2)+2\right|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}}=\frac{|2+2|}{2}=2$$

这个 $d=2$ 是全题的枢轴，两条路都从它出发，但方向完全不同：解法一把「距离 $=1$」翻译成图形（两条平行线，然后数交点）；解法二把「距离」直接写成一个角的函数，把题目变成「一个方程有几个解」。

下文一律写 $d$，不写「那个 $2$」。 这道题的数字撞得很凶：$d=2$，而距离公式的分母 $\sqrt{A^2+B^2}$ 也恰好等于 $2$，两者毫无关系（见解法二 ②）。用同一个说法指两样东西，是这道题最容易落下的错概念。

解法一：平移直线数交点

怎么想到的。 先把圆放一边，单看「到 $l$ 的距离等于 $1$」这句话说的是哪些点。拿一把直尺贴住 $l$，往两侧各平推 $1$ 个单位——推出来的两条线上的点，离 $l$ 都恰好是 $1$；不在这两条线上的点，离 $l$ 就不是 $1$。于是：

到 $l$ 距离为 $1$ 的点，恰好铺满与 $l$ 平行、距离 $1$ 的那两条直线。

要数的东西就换了个身份：不再是「圆上的某些点」，而是圆与这两条平行线的交点。而「圆与一条直线有几个交点」是这一章唯一的判据——只比圆心到那条线的距离与半径 $r$ 谁大。这条路就叫平移直线数交点。

① 两条平行线离圆心多远。 $l$ 离圆心是 $d=2$。往圆心这一侧推 $1$，得到的近线离圆心 $d-1=1$；往另一侧推 $1$，远线离圆心 $d+1=3$。

② 一条线上有几个交点，只看半径。

$$r>\text{该线到圆心的距离}\Rightarrow 2\ \text{个};\qquad r=\text{该距离}\Rightarrow 1\ \text{个（相切）};\qquad r<\text{该距离}\Rightarrow 0\ \text{个}$$

③ 让 $r$ 从小到大走一遍，把两条线的交点数加起来。

$$\begin{aligned} &r<1:\ 0+0=0;\quad r=1:\ 1+0=1;\quad \mathbf{1<r<3:\ 2+0=2};\\ &r=3:\ 2+1=3;\quad r>3:\ 2+2=4. \end{aligned}$$

④ 读答案。 恰 $2$ 个只出现在「近线割圆、远线还没沾到」这一段，即 $1<r<3$，故选 B。

解法二：把距离写成角的函数

怎么想到的。 解法一赢在快，但它每一步都要「看出来」：看出合格的点铺成两条线、看出哪条近哪条远、盯着图把交点数对——看漏一条线，个数当场就错。有没有一条不依赖图的路？有。圆上的点可以用一个角完整地扫一遍，那就把「到 $l$ 的距离」写成这个角的式子，题目于是变成「一个方程在一圈里有几个解」。数解的个数是纯计算，不需要看图。

① 把圆上的点用一个角写出来。 这一步是整条解法二的地基，所以要推、不能背。圆上的点 $(x,y)$ 满足 $x^2+(y+2)^2=r^2$。因为 $r>0$，两边同除以 $r^2$：

$$\left(\frac{x}{r}\right)^2+\left(\frac{y+2}{r}\right)^2=1$$

这句话是说：点 $\left(\dfrac{x}{r},\ \dfrac{y+2}{r}\right)$ 落在单位圆上（以原点为心、半径 $1$ 的那个圆）。而「单位圆上的点长什么样」，正弦函数与余弦函数的定义已经答过了：任意角 $\theta$ 的终边与单位圆交于一点，这点的横坐标就叫做 $\cos\theta$、纵坐标就叫做 $\sin\theta$。

把这句定义反过来读，就得到「不重不漏」。 单位圆上任取一点 $Q$，射线 $OQ$ 是某一个 $\theta\in[0,2\pi)$ 的终边，而且只有一个（$[0,2\pi)$ 里两个不同的角，终边不同）。所以每个点被恰好一个 $\theta$ 表示——角与点一一对应，$\theta$ 转满一圈就把单位圆走一遍，不重不漏。

于是 $\dfrac{x}{r}=\cos\theta$、$\dfrac{y+2}{r}=\sin\theta$，即

$$P=(x,y)=(r\cos\theta,\ -2+r\sin\theta),\qquad \theta\in[0,2\pi)$$

回代验一遍（上面推的是「圆上的点都有这样的 $\theta$」，这里验的是反向的「每个 $\theta$ 给出的点都真在圆上」，两句合起来才是一一对应）：

$$(r\cos\theta)^2+\left[(-2+r\sin\theta)+2\right]^2=r^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)=r^2\ \checkmark$$

最后一步用的还是单位圆本身：$(\cos\theta,\sin\theta)$ 在单位圆上，横纵坐标的平方和就是 $1$。

这个写法常被叫做「圆的参数方程」，但现行人教A版五册里并没有这一节（「参数方程」一词只在选择性必修第一册 §2.2.3 后面那篇讲直线的「探究与发现」里出现过，连目录上那一行也是指向它）。所以上面一步都没拿这个名字当理由——用到的只有圆的方程与三角函数的定义，两样都在册子里。

② 把它到 $l$ 的距离算出来。 用点到直线的距离公式。先把分母说清楚：分母是

$$\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2$$

它只由直线的系数决定，与圆心在哪、半径多大都无关。它与前面算出的 $d=2$ 数值相同，纯属本题巧合——换成直线 $3x-4y+5=0$，分母是 $\sqrt{3^2+(-4)^2}=5$，而圆心到它的距离得另算，两个数一般对不上。

分子那边，代入时按「圆心 $+$ 偏移」拆开算，这样每一块是什么看得见：

$$\begin{aligned} \sqrt3\,x-y+2&=\sqrt3\,(0+r\cos\theta)-\left[(-2)+r\sin\theta\right]+2\\[2pt] &=\underbrace{\left[\sqrt3\times 0-(-2)+2\right]}_{\text{把圆心代进去的值}\ =\ 4}\ +\ \underbrace{\left[\sqrt3\,r\cos\theta-r\sin\theta\right]}_{\text{偏移带来的那截}} \end{aligned}$$

能这么拆，是因为 $\sqrt3x-y+2$ 对 $(x,y)$ 是一次式：把 $P$ 写成「圆心 $+$ 偏移」，一次式的值就跟着裂成两截。所以

$$h(\theta)=\frac{\left|4+\sqrt3\,r\cos\theta-r\sin\theta\right|}{2}$$

记住第一截那个 $4$ 是算 $d$ 时的分子（$d=\frac{4}{2}=2$），第 ③ 步末尾要用它。

③ 把两个三角量合成一个。 分子里现在有 $\sqrt3\cos\theta-\sin\theta$：两个不同的三角量各自摆动，合起来能摆多大看不出来。要把它变成一个三角量。这里有固定配方——就是课本里把 $a\sin x+b\cos x$ 化成一个 $A\sin(x+\alpha)$ 的那套变形，本题写成余弦形式更顺。振幅和相位都是算出来的，不是猜出来的。

第一步：把「振幅」提出来。 两个系数是 $\sqrt3$ 与 $-1$，提出它们的平方和的算术平方根 $\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2$：

$$\sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\frac12\sin\theta\right)$$

为什么偏偏提这个数：提完之后，括号里剩下的一对系数的平方和恰好是 $1$——

$$\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1$$

第二步：把这对系数认成一个角。 平方和为 $1$ 的两个数，正是 ① 里说的那件事：它是单位圆上的一个点，也就是某个角 $\alpha$ 的 $(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$。这里

$$\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\alpha=\frac12\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{6}$$

于是括号里正好是余弦的和角公式 $\cos(\theta+\alpha)=\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha$：

$$\sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right)$$

这是配方，不是本题的巧合。 换一组系数照做：$5\cos\theta-12\sin\theta$ 提 $\sqrt{5^2+12^2}=13$，括号里 $\cos\alpha=\dfrac{5}{13}$、$\sin\alpha=\dfrac{12}{13}$，得 $13\cos(\theta+\alpha)$。这个 $\alpha$ 不是特殊角、写不出漂亮的值，但它存在且唯一（那对系数照样落在单位圆上），而且后面数解只用得上振幅 $13$——$\alpha$ 具体是多少，完全不影响解的个数。

记 $\varphi=\theta+\dfrac{\pi}{6}$（$\theta$ 转一圈 $\varphi$ 也转一圈，解的个数不受这个平移影响），把 ③ 代回 ②：

$$h=\frac{|2r\cos\varphi+4|}{2}=\left|r\cos\varphi+2\right|$$

这一行值得多看一眼，而且里面那个常数 $2$ 不是又一次撞巧。 它是 ② 里「把圆心代进去的值」$4$ 除以分母得来的，而 $\dfrac{4}{2}$ 正是 $d$ 的算式本身。所以这一行真正的样子是

$$h=\left|\,d+r\cos\varphi\,\right|$$

「圆心离 $l$ 有 $d$，圆上的点在这个 $d$ 上下摆 $r$」这句直觉，到这里变成了一行代数。而且它与本题的数字无关：只要把 $P$ 拆成「圆心 $+$ 偏移」，圆心那截除以分母永远是 $d$（那就是 $d$ 的定义），偏移那截合角之后永远是 $r\cos\varphi$。（若圆心代进去的值是负的，得到的是 $|-d+r\cos\varphi|$；因为 $\cos$ 在一圈里取值正负对称，后面数解一模一样。）

④ 列方程。 令 $h=1$：

$$\left|r\cos\varphi+2\right|=1 \iff r\cos\varphi=-1\ \text{或}\ r\cos\varphi=-3 \iff \cos\varphi=-\frac1r\ \text{或}\ \cos\varphi=-\frac3r$$

⑤ 数解。 余弦函数的值域是 $[-1,1]$，而且转满一圈里 $\cos\varphi=c$ 的解的个数只由 $|c|$ 决定：

$$|c|<1\Rightarrow 2\ \text{个};\qquad |c|=1\Rightarrow 1\ \text{个（落在峰或谷上）};\qquad |c|>1\Rightarrow 0\ \text{个}$$

而 $r>0$，所以 $\left|-\dfrac1r\right|<1\iff r>1$，$\left|-\dfrac3r\right|<1\iff r>3$。两支加起来：

$$\begin{aligned} &r<1:\ 0+0=0;\quad r=1:\ 1+0=1;\quad \mathbf{1<r<3:\ 2+0=2};\\ &r=3:\ 2+1=3;\quad r>3:\ 2+2=4. \end{aligned}$$

恰 $2$ 个当且仅当 $r>1$ 且 $r<3$，即 $1<r<3$，故选 B。

这两条路差在哪

• 两张表逐格相同，而且能一格一格对上。 $\cos\varphi=-\dfrac1r$ 有没有解，问的就是近那条平行线有没有割到圆；$\cos\varphi=-\dfrac3r$ 那一支对应远那条线。式子里的 $1$ 与 $3$，正是解法一算出的两条平行线到圆心的距离——同一件事的两种语言。
• 解法一是几何的：考场上三十秒能算完，代价是正确性押在「看出来」上，漏一条平行线就全错。
• 解法二是配方式的：参数化（除以 $r$ 送上单位圆）→ 代距离公式（拆成「圆心 $+$ 偏移」）→ 合角（提 $\sqrt{a^2+b^2}$，把剩下的系数认成一个角）→ 数解。四步各有固定做法，换一组数字照做，代价是多写几行。
• 但解法二的可推广有边界，别把它记成「什么量都行」。 能照做下去的前提是：目标量本身、或它的平方，整理得成 $a\cos\theta+b\sin\theta+c$ 的形状。只有这个形状才提得出振幅、合得成一个 $\cos\varphi$，⑤ 那条「一圈里 $\cos\varphi=c$ 的解数只看 $|c|$ 与 $1$」的计数规则才用得上。

  • 边界之内的例子：到某个定点 $Q(q_x,q_y)$ 的距离。 注意不能直接照抄前三步——$|PQ|$ 本身是个根式，第 ③ 步的配方套不进去。先平方：记圆心为 $C$，

    $$|PQ|^2=r^2+|CQ|^2-2r\left[q_x\cos\theta+(q_y+2)\sin\theta\right]$$

    这才是那个形状，于是合角、数解照做。

  • 边界之外的例子：「到两个定点的距离之和等于 $m$」。 它是两个根式相加，平方一次还剩一个根式，合不成单个 $\cos\varphi$，⑤ 的计数规则用不上，只能改去看单调性、靠零点存在性去数——那正是要另外想办法的一类，不在解法二的射程内。

• 而解法一那套「合格的点铺成两条平行线」，只在「到直线的距离」这一种情形下才成立。

🕳️ 避坑

• 别只推一侧的平行线：到 $l$ 距离为 $1$ 的点分布在两条线上。只算近的那条，会以为 $r>3$ 时仍是 $2$ 个，得出 $(1,+\infty)$——它与四个选项都对不上，那正是漏了一条线的信号；只算远的那条，会以为非得 $r>3$ 才有交点，误选 C。
• 端点取不取：$r=1$ 时近线与圆相切、只有 $1$ 个点；$r=3$ 时近线割出 $2$ 个、远线相切再添 $1$ 个，共 $3$ 个。两个端点都不满足「恰 $2$ 个」，所以是开区间 $(1,3)$。
• 「圆与 $l$ 本身有没有交点」跟本题无关：$1<r<3$ 里 $r$ 可以超过 $d=2$，此时圆已经割穿 $l$，但要数的始终是圆与那两条平行线的交点，个数照样是 $2$。
• 别把「有这样的点」当成「恰好 2 个」：那样读会选 D $(0,+\infty)$。题目要的是有且仅有 $2$ 个，而 $r<1$ 时一个都没有、$r>3$ 时有 $4$ 个。
• 解法二里拆绝对值别丢支：$|r\cos\varphi+2|=1$ 给出的是两个方程，丢掉 $\cos\varphi=-\dfrac3r$ 那一支，右端点 $3$ 就没了，区间会错成 $(1,+\infty)$。