冷启动：题目在问什么（两条路共用）
假设你刚学圆 的方程 。先把题面的每个符号读成一句人话。
是哪个圆 。 把 x 2 + ( y + 2 ) 2 = r 2 x^2+(y+2)^2=r^2 x 2 + ( y + 2 ) 2 = r 2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 圆 心 ( 0 , − 2 ) (0,-2) ( 0 , − 2 ) r r r r r r 待求的未知量 ——这道题不是「已知圆 问点」，而是反过来：已知合格的点恰好 2 个，问圆 能有多大 。
是哪条直线。 y = 3 x + 2 y=\sqrt3x+2 y = 3 x + 2
3 x − y + 2 = 0 , A = 3 , B = − 1 , C = 2 \sqrt3x-y+2=0,\qquad A=\sqrt3,\ B=-1,\ C=2 3 x − y + 2 = 0 , A = 3 , B = − 1 , C = 2 「到直线距离为 1 的点有且仅有 2 个」是什么意思。 圆 上有无穷多个点，每个点离直线 l l l l l l 1 1 1 2 2 2 r r r r r r 圆 缩在离 l l l r r r 圆 铺得很开，够得着的点又太多。所以答案必然是一段区间，全部工作就是把两个端点找出来。
唯一必须先算的量：圆 心到 l l l 用点到直线的距离公式 ，把圆 心 ( 0 , − 2 ) (0,-2) ( 0 , − 2 )
d = ∣ 3 × 0 + ( − 1 ) × ( − 2 ) + 2 ∣ ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = ∣ 2 + 2 ∣ 2 = 2 d=\frac{\left|\sqrt3\times 0+(-1)\times(-2)+2\right|}{\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}}=\frac{|2+2|}{2}=2 d = ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 3 × 0 + ( − 1 ) × ( − 2 ) + 2 = 2 ∣2 + 2∣ = 2 这个 d = 2 d=2 d = 2 解法一把「距离 = 1 =1 = 1 （两条平行线，然后数交点）；解法二把「距离」直接写成一个角的函数 ，把题目变成「一个方程有几个解」。
下文一律写 d d d 2 2 2 这道题的数字撞得很凶：d = 2 d=2 d = 2 A 2 + B 2 \sqrt{A^2+B^2} A 2 + B 2 2 2 2
怎么想到的。 先把圆 放一边，单看「到 l l l 1 1 1 l l l 1 1 1 l l l 1 1 1 l l l 1 1 1
到 l l l 1 1 1 l l l 1 1 1
要数的东西就换了个身份：不再是「圆 上的某些点」，而是圆 与这两条平行线的交点圆 与一条直线有几个交点」是这一章唯一的判据——只比圆 心到那条线的距离r r r 平移直线数交点 。
① 两条平行线离圆 心多远。 l l l 圆 心是 d = 2 d=2 d = 2 圆 心这一侧推 1 1 1 圆 心 d − 1 = 1 d-1=1 d − 1 = 1 1 1 1 圆 心 d + 1 = 3 d+1=3 d + 1 = 3
② 一条线上有几个交点，只看半径。
r > 该线到圆心的距离 ⇒ 2 个 ; r = 该距离 ⇒ 1 个（相切） ; r < 该距离 ⇒ 0 个 r>\text{该线到圆心的距离}\Rightarrow 2\ \text{个};\qquad r=\text{该距离}\Rightarrow 1\ \text{个（相切）};\qquad r<\text{该距离}\Rightarrow 0\ \text{个} r > 该线到圆心的距离 ⇒ 2 个 ; r = 该距离 ⇒ 1 个（相切） ; r < 该距离 ⇒ 0 个 ③ 让 r r r
r < 1 : 0 + 0 = 0 ; r = 1 : 1 + 0 = 1 ; 1 < r < 3 : 2 + 0 = 2 ; r = 3 : 2 + 1 = 3 ; r > 3 : 2 + 2 = 4. \begin{aligned}
&r<1:\ 0+0=0;\quad r=1:\ 1+0=1;\quad \mathbf{1<r<3:\ 2+0=2};\\
&r=3:\ 2+1=3;\quad r>3:\ 2+2=4.
\end{aligned} r < 1 : 0 + 0 = 0 ; r = 1 : 1 + 0 = 1 ; 1 < r < 3 : 2 + 0 = 2 ; r = 3 : 2 + 1 = 3 ; r > 3 : 2 + 2 = 4.
④ 读答案。 恰 2 2 2 圆 、远线还没沾到」这一段，即 1 < r < 3 1<r<3 1 < r < 3 B 。
解法二：把距离写成角的函数
怎么想到的。 解法一赢在快，但它每一步都要「看出来」：看出合格的点铺成两条线、看出哪条近哪条远、盯着图把交点数对——看漏一条线，个数当场就错。有没有一条不依赖图的路？有。圆 上的点可以用一个角 完整地扫一遍，那就把「到 l l l
① 把圆 上的点用一个角写出来。 这一步是整条解法二的地基，所以要推、不能背。圆 上的点 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) x 2 + ( y + 2 ) 2 = r 2 x^2+(y+2)^2=r^2 x 2 + ( y + 2 ) 2 = r 2 r > 0 r>0 r > 0 r 2 r^2 r 2
( x r ) 2 + ( y + 2 r ) 2 = 1 \left(\frac{x}{r}\right)^2+\left(\frac{y+2}{r}\right)^2=1 ( r x ) 2 + ( r y + 2 ) 2 = 1 这句话是说：点 ( x r , y + 2 r ) \left(\dfrac{x}{r},\ \dfrac{y+2}{r}\right) ( r x , r y + 2 ) 圆 上 （以原点为心、半径 1 1 1 圆 ）。而「单位圆 上的点长什么样」，正弦函数 与余弦函数 的定义已经答过了：任意角 θ \theta θ 圆 交于一点，这点的横坐标就叫做 cos θ \cos\theta cos θ sin θ \sin\theta sin θ
把这句定义反过来读，就得到「不重不漏」。 单位圆 上任取一点 Q Q Q O Q OQ O Q 某一个 θ ∈ [ 0 , 2 π ) \theta\in[0,2\pi) θ ∈ [ 0 , 2 π ) 只有一个 （[ 0 , 2 π ) [0,2\pi) [ 0 , 2 π ) θ \theta θ θ \theta θ 圆 走一遍，不重不漏。
于是 x r = cos θ \dfrac{x}{r}=\cos\theta r x = cos θ y + 2 r = sin θ \dfrac{y+2}{r}=\sin\theta r y + 2 = sin θ
P = ( x , y ) = ( r cos θ , − 2 + r sin θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ) P=(x,y)=(r\cos\theta,\ -2+r\sin\theta),\qquad \theta\in[0,2\pi) P = ( x , y ) = ( r cos θ , − 2 + r sin θ ) , θ ∈ [ 0 , 2 π ) 回代验一遍 （上面推的是「圆 上的点都有这样的 θ \theta θ θ \theta θ 圆 上」，两句合起来才是一一对应）：
( r cos θ ) 2 + [ ( − 2 + r sin θ ) + 2 ] 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2 ✓ (r\cos\theta)^2+\left[(-2+r\sin\theta)+2\right]^2=r^2\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)=r^2\ \checkmark ( r cos θ ) 2 + [ ( − 2 + r sin θ ) + 2 ] 2 = r 2 ( cos 2 θ + sin 2 θ ) = r 2 ✓ 最后一步用的还是单位圆 本身：( cos θ , sin θ ) (\cos\theta,\sin\theta) ( cos θ , sin θ ) 圆 上，横纵坐标的平方和就是 1 1 1
这个写法常被叫做「圆 的参数方程」，但现行人教A版五册里并没有这一节（「参数方程」一词只在选择性必修第一册 §2.2.3 后面那篇讲直线 的「探究与发现」里出现过，连目录上那一行也是指向它）。所以上面一步都没拿这个名字当理由——用到的只有圆 的方程与三角函数的定义，两样都在册子里。
② 把它到 l l l 用点到直线的距离公式 。先把分母说清楚 ：分母是
A 2 + B 2 = ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 2 \sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2 A 2 + B 2 = ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 2 它只由直线的系数决定 ，与圆 心在哪、半径多大都无关。它与前面算出的 d = 2 d=2 d = 2 3 x − 4 y + 5 = 0 3x-4y+5=0 3 x − 4 y + 5 = 0 3 2 + ( − 4 ) 2 = 5 \sqrt{3^2+(-4)^2}=5 3 2 + ( − 4 ) 2 = 5 圆 心到它的距离得另算，两个数一般对不上。
分子那边，代入时按「圆 心 + + + ，这样每一块是什么看得见：
3 x − y + 2 = 3 ( 0 + r cos θ ) − [ ( − 2 ) + r sin θ ] + 2 = [ 3 × 0 − ( − 2 ) + 2 ] ⏟ 把圆心代进去的值 = 4 + [ 3 r cos θ − r sin θ ] ⏟ 偏移带来的那截 \begin{aligned}
\sqrt3\,x-y+2&=\sqrt3\,(0+r\cos\theta)-\left[(-2)+r\sin\theta\right]+2\\[2pt]
&=\underbrace{\left[\sqrt3\times 0-(-2)+2\right]}_{\text{把圆心代进去的值}\ =\ 4}\ +\ \underbrace{\left[\sqrt3\,r\cos\theta-r\sin\theta\right]}_{\text{偏移带来的那截}}
\end{aligned} 3 x − y + 2 = 3 ( 0 + r cos θ ) − [ ( − 2 ) + r sin θ ] + 2 = 把圆心代进去的值 = 4 [ 3 × 0 − ( − 2 ) + 2 ] + 偏移带来的那截 [ 3 r cos θ − r sin θ ] 能这么拆，是因为 3 x − y + 2 \sqrt3x-y+2 3 x − y + 2 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) 一次式 ：把 P P P 圆 心 + + +
h ( θ ) = ∣ 4 + 3 r cos θ − r sin θ ∣ 2 h(\theta)=\frac{\left|4+\sqrt3\,r\cos\theta-r\sin\theta\right|}{2} h ( θ ) = 2 4 + 3 r cos θ − r sin θ 记住第一截那个 4 4 4 d d d （d = 4 2 = 2 d=\frac{4}{2}=2 d = 2 4 = 2
③ 把两个三角量合成一个。 分子里现在有 3 cos θ − sin θ \sqrt3\cos\theta-\sin\theta 3 cos θ − sin θ 一个 三角量。这里有固定配方——就是课本里把 a sin x + b cos x a\sin x+b\cos x a sin x + b cos x A sin ( x + α ) A\sin(x+\alpha) A sin ( x + α ) 振幅和相位都是算出来的，不是猜出来的。
第一步：把「振幅」提出来。 两个系数是 3 \sqrt3 3 − 1 -1 − 1 ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 2 \sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=2 ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 2
3 cos θ − sin θ = 2 ( 3 2 cos θ − 1 2 sin θ ) \sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\theta-\frac12\sin\theta\right) 3 cos θ − sin θ = 2 ( 2 3 cos θ − 2 1 sin θ ) 为什么偏偏提这个数 ：提完之后，括号里剩下的一对系数的平方和恰好是 1 1 1
( 3 2 ) 2 + ( − 1 2 ) 2 = 3 4 + 1 4 = 1 \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(-\frac12\right)^2=\frac34+\frac14=1 ( 2 3 ) 2 + ( − 2 1 ) 2 = 4 3 + 4 1 = 1 第二步：把这对系数认成一个角。 平方和为 1 1 1 单位圆 上的一个点 ，也就是某个角 α \alpha α ( cos α , sin α ) (\cos\alpha,\ \sin\alpha) ( cos α , sin α )
cos α = 3 2 , sin α = 1 2 ⟹ α = π 6 \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \sin\alpha=\frac12\ \Longrightarrow\ \alpha=\frac{\pi}{6} cos α = 2 3 , sin α = 2 1 ⟹ α = 6 π 于是括号里正好是余弦的和角公式 cos ( θ + α ) = cos θ cos α − sin θ sin α \cos(\theta+\alpha)=\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha cos ( θ + α ) = cos θ cos α − sin θ sin α
3 cos θ − sin θ = 2 ( cos θ cos π 6 − sin θ sin π 6 ) = 2 cos ( θ + π 6 ) \sqrt3\cos\theta-\sin\theta=2\left(\cos\theta\cos\frac{\pi}{6}-\sin\theta\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\theta+\frac{\pi}{6}\right) 3 cos θ − sin θ = 2 ( cos θ cos 6 π − sin θ sin 6 π ) = 2 cos ( θ + 6 π ) 这是配方，不是本题的巧合。 换一组系数照做：5 cos θ − 12 sin θ 5\cos\theta-12\sin\theta 5 cos θ − 12 sin θ 5 2 + 12 2 = 13 \sqrt{5^2+12^2}=13 5 2 + 1 2 2 = 13 cos α = 5 13 \cos\alpha=\dfrac{5}{13} cos α = 13 5 sin α = 12 13 \sin\alpha=\dfrac{12}{13} sin α = 13 12 13 cos ( θ + α ) 13\cos(\theta+\alpha) 13 cos ( θ + α ) α \alpha α 存在且唯一 （那对系数照样落在单位圆 上），而且后面数解只用得上振幅 13 13 13 α \alpha α
记 φ = θ + π 6 \varphi=\theta+\dfrac{\pi}{6} φ = θ + 6 π θ \theta θ φ \varphi φ
h = ∣ 2 r cos φ + 4 ∣ 2 = ∣ r cos φ + 2 ∣ h=\frac{|2r\cos\varphi+4|}{2}=\left|r\cos\varphi+2\right| h = 2 ∣2 r cos φ + 4∣ = ∣ r cos φ + 2 ∣ 这一行值得多看一眼，而且里面那个常数 2 2 2 它是 ② 里「把圆 心代进去的值」4 4 4 4 2 \dfrac{4}{2} 2 4 d d d
h = ∣ d + r cos φ ∣ h=\left|\,d+r\cos\varphi\,\right| h = ∣ d + r cos φ ∣ 「圆 心离 l l l d d d 圆 上的点在这个 d d d r r r P P P 圆 心 + + + 圆 心那截除以分母永远是 d d d d d d r cos φ r\cos\varphi r cos φ 圆 心代进去的值是负的，得到的是 ∣ − d + r cos φ ∣ |-d+r\cos\varphi| ∣ − d + r cos φ ∣ cos \cos cos
④ 列方程。 令 h = 1 h=1 h = 1
∣ r cos φ + 2 ∣ = 1 ⟺ r cos φ = − 1 或 r cos φ = − 3 ⟺ cos φ = − 1 r 或 cos φ = − 3 r \left|r\cos\varphi+2\right|=1
\iff r\cos\varphi=-1\ \text{或}\ r\cos\varphi=-3
\iff \cos\varphi=-\frac1r\ \text{或}\ \cos\varphi=-\frac3r ∣ r cos φ + 2 ∣ = 1 ⟺ r cos φ = − 1 或 r cos φ = − 3 ⟺ cos φ = − r 1 或 cos φ = − r 3 ⑤ 数解。 余弦函数 的值域是 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] cos φ = c \cos\varphi=c cos φ = c ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣
∣ c ∣ < 1 ⇒ 2 个 ; ∣ c ∣ = 1 ⇒ 1 个（落在峰或谷上） ; ∣ c ∣ > 1 ⇒ 0 个 |c|<1\Rightarrow 2\ \text{个};\qquad |c|=1\Rightarrow 1\ \text{个（落在峰或谷上）};\qquad |c|>1\Rightarrow 0\ \text{个} ∣ c ∣ < 1 ⇒ 2 个 ; ∣ c ∣ = 1 ⇒ 1 个（落在峰或谷上） ; ∣ c ∣ > 1 ⇒ 0 个 而 r > 0 r>0 r > 0 ∣ − 1 r ∣ < 1 ⟺ r > 1 \left|-\dfrac1r\right|<1\iff r>1 − r 1 < 1 ⟺ r > 1 ∣ − 3 r ∣ < 1 ⟺ r > 3 \left|-\dfrac3r\right|<1\iff r>3 − r 3 < 1 ⟺ r > 3
r < 1 : 0 + 0 = 0 ; r = 1 : 1 + 0 = 1 ; 1 < r < 3 : 2 + 0 = 2 ; r = 3 : 2 + 1 = 3 ; r > 3 : 2 + 2 = 4. \begin{aligned}
&r<1:\ 0+0=0;\quad r=1:\ 1+0=1;\quad \mathbf{1<r<3:\ 2+0=2};\\
&r=3:\ 2+1=3;\quad r>3:\ 2+2=4.
\end{aligned} r < 1 : 0 + 0 = 0 ; r = 1 : 1 + 0 = 1 ; 1 < r < 3 : 2 + 0 = 2 ; r = 3 : 2 + 1 = 3 ; r > 3 : 2 + 2 = 4. 恰 2 2 2 r > 1 r>1 r > 1 r < 3 r<3 r < 3 1 < r < 3 1<r<3 1 < r < 3 B 。
这两条路差在哪
两张表逐格相同，而且能一格一格对上。 cos φ = − 1 r \cos\varphi=-\dfrac1r cos φ = − r 1 近 那条平行线有没有割到圆 ；cos φ = − 3 r \cos\varphi=-\dfrac3r cos φ = − r 3 远 那条线。式子里的 1 1 1 3 3 3 圆 心的距离——同一件事的两种语言。解法一是几何的 ：考场上三十秒能算完，代价是正确性押在「看出来」上，漏一条平行线就全错。解法二是配方式的 ：参数化（除以 r r r 圆 ）→ 代距离公式（拆成「圆 心 + + + a 2 + b 2 \sqrt{a^2+b^2} a 2 + b 2 但解法二的可推广有边界，别把它记成「什么量都行」。 能照做下去的前提是：目标量本身、或它的平方，整理得成 a cos θ + b sin θ + c a\cos\theta+b\sin\theta+c a cos θ + b sin θ + c 。只有这个形状才提得出振幅、合得成一个 cos φ \cos\varphi cos φ cos φ = c \cos\varphi=c cos φ = c ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣ 1 1 1
边界之内的例子：到某个定点 Q ( q x , q y ) Q(q_x,q_y) Q ( q x , q y ) 注意不能直接照抄前三步——∣ P Q ∣ |PQ| ∣ P Q ∣ 圆 心为 C C C
∣ P Q ∣ 2 = r 2 + ∣ C Q ∣ 2 − 2 r [ q x cos θ + ( q y + 2 ) sin θ ] |PQ|^2=r^2+|CQ|^2-2r\left[q_x\cos\theta+(q_y+2)\sin\theta\right] ∣ P Q ∣ 2 = r 2 + ∣ C Q ∣ 2 − 2 r [ q x cos θ + ( q y + 2 ) sin θ ] 这才是那个形状，于是合角、数解照做。
边界之外的例子：「到两个定点的距离之和等于 m m m 它是两个根式相加，平方一次还剩一个根式，合不成单个 cos φ \cos\varphi cos φ
而解法一那套「合格的点铺成两条平行线」，只在「到直线的距离」这一种情形下才成立。
🕳️ 避坑
别只推一侧的平行线 ：到 l l l 1 1 1 两条 线上。只算近的那条，会以为 r > 3 r>3 r > 3 2 2 2 ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ ) r > 3 r>3 r > 3 C 。端点取不取 ：r = 1 r=1 r = 1 圆 相切、只有 1 1 1 r = 3 r=3 r = 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3 2 2 2 ( 1 , 3 ) (1,3) ( 1 , 3 ) 「圆 与 l l l ：1 < r < 3 1<r<3 1 < r < 3 r r r d = 2 d=2 d = 2 圆 已经割穿 l l l 圆 与那两条平行线 的交点，个数照样是 2 2 2 别把「有这样的点」当成「恰好 2 个」 ：那样读会选 D ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) 有且仅有 2 2 2 r < 1 r<1 r < 1 r > 3 r>3 r > 3 4 4 4 解法二里拆绝对值别丢支 ：∣ r cos φ + 2 ∣ = 1 |r\cos\varphi+2|=1 ∣ r cos φ + 2∣ = 1 两个 方程，丢掉 cos φ = − 3 r \cos\varphi=-\dfrac3r cos φ = − r 3 3 3 3 ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ )
