圆

教材原文

我们知道，圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合。在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。

如图 2.4-1，在平面直角坐标系中， $\odot A$ 的圆心 A 的坐标为 $(a, b)$ ，半径为 r，

$M(x, y)$ 为圆上任意一点， $\odot A$ 就是以下点的集合

$P = \{M \mid | M A | = r \}.$

根据两点间的距离公式，点 M 的坐标 $(x, y)$ 满足的条件可以表示为

$\sqrt {(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2}} = r,$

两边平方，得

$$(x - a) ^ {2} + (y - b) ^ {2} = r ^ {2}.\tag{1}$$

由上述过程可知，若点 $M(x, y)$ 在 $\odot A$ 上，点 $M$ 的坐标就满足方程(1)；反过来，若点 $M$ 的坐标 $(x, y)$ 满足方程(1)，就说明点 $M$ 与圆心 $A$ 间的距离为 $r$，点 $M$ 就在 $\odot A$ 上。这时，我们把方程(1)称为圆心为 $A(a, b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程（standard equation of circle）。

定义

平面内到定点距离等于定长的点的集合叫做圆，定点是圆心，定长是半径 $r$。

标准方程

圆心 $(a,b)$、半径 $r$ 的圆：

要点

• 判断直线与圆的关系，常比较圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$：$d<r$ 相交、$d=r$ 相切、$d>r$ 相离。