数学概念

共 69 个概念， 按标题拼音序排列。

• 必要条件若 $p \Rightarrow q$，就说 $q$ 是 $p$ 的必要条件——没有 $q$ 就一定没有 $p$。
• 并集由所有属于 $A$ 或属于 $B$ 的元素组成的集合，记作 $A\cup B$（读作「$A$ 并 $B$」）。
• 补集全集 $U$ 中不属于 $A$ 的元素组成的集合，记作 $\complement_U A$。
• 超几何分布从含 $M$ 件次品的 $N$ 件产品中**不放回**地抽 $n$ 件，次品数 $X$ 的分布；$P(X=k)=\dfrac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$，期望 $E(X)=n\cdot\dfrac{M}{N}$——与二项分布同一个 $np$，但各次抽取并不独立。
• 程序框图用规定的图框、流向线和文字说明把一个算法画出来的图；顺序、条件、循环三种结构靠框怎么连来区分。
• 充分条件若 $p \Rightarrow q$（「若 $p$ 则 $q$」是真命题），就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件——有 $p$ 就够了。
• 充要条件$p \Leftrightarrow q$，即 $p$ 既是 $q$ 的充分条件又是它的必要条件，两者互为充要条件。
• 存在量词命题含有「存在一个」「至少有一个」这类存在量词的命题，记作 $\exists x \in M,\ p(x)$——只要 $M$ 里找得到一个 $x$ 让 $p(x)$ 成立，它就真。
• 导数函数在一点的瞬时变化率，$f'(x_0)=\lim \frac{\Delta y}{\Delta x}$。
• 导数的几何意义$f'(x_0)$ 等于曲线在该点切线的斜率。
• 等比数列相邻两项之比为常数 $q$ 的数列；正项等比数列各项同号且 $q>0$。
• 等差数列相邻两项之差为常数 $d$ 的数列；$a_n=a_1+(n-1)d$。
• 独立性检验用 $\chi^2$ 统计量判断两个分类变量是否相关的方法。
• 对称中心图象关于某点成中心对称的那个点；对该点作 $180^\circ$ 旋转后图象不变。
• 对数若 $a^x=N$，则 $x=\log_a N$；把乘除幂运算降级为加减乘。
• 对数函数形如 $y=\log_a x$ 的函数，$a>1$ 增、$0<a<1$ 减。
• 二面角从一条直线出发的两个半平面组成的图形；用平面角度量——在棱上取一点，两个半平面内各作棱的垂线，两射线的夹角，范围 $[0^\circ, 180^\circ]$。
• 二项分布$n$ 重伯努利试验里事件 $A$ 发生的次数 $X$ 的分布；$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$，记作 $X\sim B(n,p)$，$E(X)=np$、$D(X)=np(1-p)$。三个前提缺一不可：每次只有两种结果、每次的 $p$ 相同、各次相互独立。
• 分步乘法计数原理完成一件事需要连着做完若干个步骤，每步各有若干种方法且方法数不随前面的选择而变，则总方法数是各步方法数之**积**。
• 分段函数在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数。**它是一个函数，不是几个函数**——定义域、值域都是各段的并集；求值先判段、解方程或不等式则逐段解完再取并。
• 分类加法计数原理完成一件事有若干类互不重复的方案，每类各有若干种方法，则总方法数是各类方法数之**和**。
• 复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面：$x$ 轴为实轴、$y$ 轴为虚轴，复数 $a+bi$ ↔ 点 $(a,b)$。
• 复数形如 $a+bi$（$a,b\in\mathbb{R}$）的数，$i$ 为虚数单位。
• 复数的模复数 $z=a+bi$ 对应向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的长度，$|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$；$b=0$ 时退化成实数的绝对值。
• 古典概型样本点有限、且每个样本点等可能的试验模型；此时 $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega)}$，求概率就是数两个数。
• 函数的单调性区间 $I$ 上 $x_1<x_2$ 总有 $f(x_1)<f(x_2)$，称 $f$ 在 $I$ 上单调递增；全定义域上单调递增即增函数。
• 函数的零点使 $f(x)=0$ 的那个实数 $x$——它同时是方程 $f(x)=0$ 的解、也是图象与 $x$ 轴交点的横坐标，三种说法是同一件事。
• 极坐标用极径 $\rho$ 与极角 $\theta$ 定位平面上一点的坐标系。
• 集合一些确定的、互不相同的对象放在一起看成的整体；对象叫元素。
• 交集由所有属于 $A$ 且属于 $B$ 的元素组成的集合，记作 $A\cap B$（读作「$A$ 交 $B$」）。
• 可行域线性约束条件在坐标平面上确定的点集，线性规划的最优解只在它的顶点上取得。
• 棱台用平行于棱锥底面的平面截棱锥，底面与截面之间的那部分多面体。
• 离散型随机变量的方差$D(X)=\sum\limits_{i}\left(x_i-E(X)\right)^2p_i$——取值与均值的「偏差平方」按概率加权，越小越集中、越大越分散；简算式 $D(X)=E\left(X^2\right)-\left[E(X)\right]^2$。
• 离散型随机变量的分布列把 $X$ 的每个可能取值 $x_i$ 与它的概率 $p_i$ 一一列出的表，简称分布列；诸 $p_i$ 非负且和为 1。
• 离心率圆锥曲线的形状指标 $e=\frac{c}{a}$；双曲线 $e>1$，越大开口越阔。
• 幂函数形如 $y=x^{\alpha}$ 的函数——**底数是自变量、指数是常数**。$\alpha>0$ 时过原点且在 $[0,+\infty)$ 上递增，恒过 $(1,1)$；$\alpha>1$ 下凸、$0<\alpha<1$ 上凸。
• 偶函数满足 $f(-x)=f(x)$ 的函数，图象关于 $y$ 轴对称。
• 抛物线到定点(焦点)与定直线(准线)距离相等的点的轨迹；$y^2=2px$。
• 平面向量既有大小又有方向的量，可用坐标 $(x,y)$ 表示，按坐标运算。
• 奇函数满足 $f(-x)=-f(x)$ 的函数，图象关于原点对称。
• 全称量词命题含有「所有的」「任意一个」这类全称量词的命题，记作 $\forall x \in M,\ p(x)$——要它真，$M$ 里每一个 $x$ 都得让 $p(x)$ 成立。
• 全集在某个研究范围内，包含所有要考虑的元素的集合，记作 $U$。
• 三角形三边三角满足内角和 $\pi$、正弦/余弦定理的基本图形。
• 三视图把立体图形向三个互相垂直的方向正投影得到的正视图 / 侧视图 / 俯视图。
• 实轴双曲线两顶点之间的线段，长 $2a$；半实轴长为 $a$。
• 数列按照确定的顺序排列的一列数；其中每个数叫做项，第 $n$ 项记作 $a_n$，整个数列简记为 $\{a_n\}$。它就是定义在 $\mathbf{N}^*$（或它的有限子集）上的函数。
• 数列的前n项和数列 $\{a_n\}$ 从第 $1$ 项起到第 $n$ 项止的各项之和，记作 $S_n$；反过来 $a_1=S_1$、$a_n=S_n-S_{n-1}\,(n\geqslant2)$。
• 数学期望离散型随机变量取值以概率为权的加权平均 $E(X)=\Sigma x_i p_i$。
• 双曲线到两定点距离之差绝对值为常数（$<$ 两定点距离）的点的轨迹，标准方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
• 双曲线的渐近线双曲线两支向外延伸时无限接近、却永不相交的两条直线：$\frac{x}{a}\pm\frac{y}{b}=0$，即 $y=\pm\frac{b}{a}x$。
• 椭圆到两定点距离之和为常数的点的轨迹；$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$。
• 线性规划在线性约束（二元一次不等式组）下求线性目标函数最值的问题。
• 虚部复数 $a+bi$ 中 $i$ 的系数 $b$，是一个实数（不含 $i$）。
• 虚轴双曲线虚轴端点 $(0,\pm b)$ 之间的线段，长 $2b$；端点不在曲线上。
• 异面直线不同在任何一个平面内的两条直线；所成角取锐角或直角。
• 余弦函数$y=\cos x$：周期 $2\pi$ 的偶函数，在每个 $2k\pi$ 处取最大值 1。
• 圆到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合；标准方程 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$。
• 正切函数$y=\tan x$，周期 $\pi$ 的奇函数，在每个 $(-\frac{\pi}{2}+k\pi, \frac{\pi}{2}+k\pi)$ 上递增。
• 正三棱柱底面为正三角形、侧棱垂直于底面的直棱柱。
• 正四棱柱底面为正方形、侧棱垂直于底面的直四棱柱（高与底边不一定相等）。
• 正态分布钟形曲线的概率模型，记作 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$：$\mu$ 定位置（对称轴），$\sigma$ 定胖瘦；第二参数是方差。
• 正弦函数$y=\sin x$：周期 $2\pi$ 的奇函数，$(\sin x)'=\cos x$。
• 直线与平面垂直直线与平面内任意一条直线都垂直，记作 $l\perp\alpha$；由此立刻可得「线面垂直 $\Rightarrow$ 与面内每一条线都垂直」——证明线线垂直的两大出口之一。
• 直线与平面所成的角平面的斜线与它在该平面上的射影所成的角；线面垂直取 $90^\circ$、线在面内或平行取 $0^\circ$，范围 $[0^\circ, 90^\circ]$。
• 指数函数形如 $y=a^x\ (a>0,\ a\neq 1)$ 的函数，恒过 $(0,1)$、值域 $(0,+\infty)$；$a>1$ 增、$0<a<1$ 减。
• 周期函数存在非零常数 $T$ 使 $f(x+T)=f(x)$ 的函数；$T$ 为周期。
• 驻点导数为零的点：$f'(x_0)=0$，是可导函数取极值的必要不充分条件。
• 准线抛物线定义里到动点距离与焦半径相等的那条定直线。
• 子集集合 $A$ 里任意一个元素都是集合 $B$ 的元素时，称 $A$ 是 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$。