直线与平面垂直

教材原文

一般地，如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 互相垂直，记作 $l \perp \alpha$。直线 $l$ 叫做平面 $\alpha$ 的垂线，平面 $\alpha$ 叫做直线 $l$ 的垂面。直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 $P$ 叫做垂足。

定义能拿来干什么

「$l\perp\alpha$」是一个打包好的承诺：它打包了 $l$ 与 $\alpha$ 内每一条直线的垂直关系。所以这条定义有两个方向的用法：

• 正着读（定义）：证出 $l$ 与 $\alpha$ 内任意一条线都垂直，才能说 $l\perp\alpha$——实操中没人逐条验，走的是判定定理（两条相交线）。
• 反着读（性质）：一旦知道 $l\perp\alpha$，就免费得到「$l$ 垂直于 $\alpha$ 内的每一条直线」——不必管那条线与 $l$ 相交还是异面（空间里两条异面直线也可以说垂直，按异面直线所成角为 $90^{\circ}$ 计）。证明「$l\perp$ 面内某线」的最后一步，几乎全是这一条。

怎么证「直线垂直于平面」

一条线要垂直于一个平面，只有两条路：

1. 判定定理：证它垂直于面内两条相交直线——多数题的入口。
2. 性质定理：证它平行于另一条已知垂直于该平面的直线。

反过来，「平面垂直于平面」不能直接推出「一个面内的线垂直于另一个面」——还得加上「垂直于交线」这一条（面面垂直的性质定理）。少了这一条就动手，是最常见的翻车点。

常见失手

• 把「$l$ 与 $\alpha$ 内某一条线垂直」当成 $l\perp\alpha$——那只能说明 $l$ 与那条线垂直，别的线一概不知。
• 证线线垂直时，忘了异面也可以垂直：$A_1E\perp BC$ 这种结论，$A_1E$ 与 $BC$ 根本没有公共点，凭的正是「$A_1E\perp$ 平面、$BC$ 在平面内」。
• 面面垂直里没验「垂直于交线」就推线面垂直——见易错点「面面垂直直接当成线面垂直」。