浙江 2015 · 数学 q15

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2015 · 数学 q15 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

15．（6分）（2015•浙江）已知e1→\overrightarrow{e_{1}}，e2→\overrightarrow{e_{2}}是空间单位向量，e1→⋅e2→=12\overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} = \frac{1}{2}，若空间向量b→\overrightarrow{b}满足b→⋅e1→=2,b→⋅e2→=52\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e_{1}} = 2 , \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e_{2}} = \frac{5}{2}，且对于任意x，y∈Ry \in R，

∣b→−(xe1→+ye2→)∣⩾∣b→−(x0e1→+y0e2→)∣=1(x0,y0∈R)\left| \overrightarrow{b} - \left(x \overrightarrow{e_{1}} + y \overrightarrow{e_{2}}\right)\right| \geqslant \left| \overrightarrow{b} - \left(x_{0} \overrightarrow{e_{1}} + y_{0} \overrightarrow{e_{2}}\right)\right| = 1 \left(x_{0}, y_{0} \in R\right)

则 x0=，y0=，∣b→∣=\vert \overrightarrow{b} \vert =

答案

1；2；222 \sqrt{2}

解析

分析

由题意和数量积的运算可得<e1→⋅e2→>=π3< \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} > = \frac{\pi}{3}，不妨设e1→=(12,32,0),e2→=(1,0,0)\overrightarrow{e_{1}} = ( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} , 0 ) , \overrightarrow{e_{2}} = ( 1 , 0 , 0 )，由已知可解b→=(52,32,t)\overrightarrow{b} = ( \frac{5}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} , t )，可得∣b→−(xe1→+ye2→)∣2=(x+y−42)2+34(y−2)2+t2| \overrightarrow{b} - ( x \overrightarrow{e_{1}} + y \overrightarrow{e_{2}} ) |^{2} = ( x + \frac{y - 4}{2} )^{2} + \frac{3}{4} ( y - 2 )^{2} + t^{2}，由题意可得当x=x0=1,y=y0=2x = x_{0} = 1 , y = y_{0} = 2时，(x+y−42)2+34(y−2)2+t2( x + \frac{y - 4}{2} )^{2} + \frac{3}{4} ( y - 2 )^{2} + t^{2}取最小值1，由模长公式可得∣b→∣| \overrightarrow{b} |

解答

解：∵e1→⋅e2→=∣e1→∣∣e2→∣cos⁡<e1→⋅e2→>=cos⁡<e1→⋅e2→>=12\because \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} = | \overrightarrow{e_{1}} | | \overrightarrow{e_{2}} | \cos < \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} > = \cos < \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} > = \frac{1}{2}，

∴<e1→⋅e2→>=π3\therefore < \overrightarrow{e_{1}} \cdot \overrightarrow{e_{2}} > = \frac{\pi}{3}，不妨设e1→=(12,32,0),e2→=(1,0,0),b→=(m,n,t)\overrightarrow{e_{1}} = ( \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} , 0 ) , \overrightarrow{e_{2}} = ( 1 , 0 , 0 ) , \overrightarrow{b} = ( \mathrm{m} , \mathrm{n} , \mathrm{t} )，

则由题意可知b→⋅e1→=12m+32n=2,b→⋅e2→=m=52\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e_{1}} = \frac{1}{2} m + \frac{\sqrt{3}}{2} n = 2 , \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e_{2}} = m = \frac{5}{2}，解得m=52,n=32m = \frac{5}{2} , n = \frac{\sqrt{3}}{2}，∴b→=(52,32,t)\therefore \overrightarrow{b} = ( \frac{5}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} , t )，

∴b→−(xe1→+ye2→)=(52−12x−y, 32−32x, t)\therefore \overrightarrow{b} - ( x \overrightarrow{e_{1}} + y \overrightarrow{e_{2}} ) = ( \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x - y , \ \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x , \ t )，

∴∣b→−(xe1→+ye2→)∣2=(52−12x−y)2+(32−32x)2+t2\therefore | \overrightarrow{b} - ( x \overrightarrow{e_{1}} + y \overrightarrow{e_{2}} ) |^{2} = ( \frac{5}{2} - \frac{1}{2} x - y )^{2} + ( \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x )^{2} + t^{2}

=x2+xy+y2−4x−5y+t2+7=(x+y−42)2+34(y−2)2+t2= x^{2} + x y + y^{2} - 4 x - 5 y + t^{2} + 7 = ( x + \frac{y - 4}{2} )^{2} + \frac{3}{4} ( y - 2 )^{2} + t^{2}，

由题意当x=x0=1,y=y0=2x = x_{0} = 1 , y = y_{0} = 2时，(x+y−42)2+34(y−2)2+t2( \mathrm{x} + \frac{\mathrm{y} - 4}{2} )^{2} + \frac{3}{4} ( \mathrm{y} - 2 )^{2} + \mathrm{t}^{2}取最小值1，

此时t2=1\mathrm{t}^{2} = 1，故∣b→∣=(52)2+(32)2+t2=22\vert \overrightarrow{b} \vert = \sqrt{( \frac{5}{2} )^{2} + ( \frac{\sqrt{3}}{2} )^{2} + t^{2}} = 2 \sqrt{2}

故答案为：1；2；222 \sqrt{2}