浙江 2011 · 数学 q20

题面

20、（2011•浙江）如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，AB=AC，D 为 BC 的中点，PO⊥平面 ABC，垂足 O 落在线段 AD 上，已知

BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：$A P \bot B C .$；

（Ⅱ）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角$A^{\mathrm{-}} M C^{\mathrm{-}} \beta$为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由

BC=8，PO=4，AO=3，OD=2

（Ⅰ）证明：$A P \bot B C .$

（Ⅱ）在线段 AP 上是否存在点 M，使得二面角$A^{\mathrm{-}} M C^{\mathrm{-}} \beta$为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由

解析

分析

以 O 为原点，以 AD 方向为 Y 轴正方向，以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向，建立空间坐标系，我们易求出几何体中各个顶点的坐标

（I）我们易求出$\vec{A P} , \vec{B C}$的坐标，要证明$A P \bot B C$，即证明$\stackrel{}{A P} . \stackrel{}{B C} = 0$；

（II）要求满足条件使得二面角$A^{\mathrm{-}} M C^{\mathrm{-}} \beta$为直二面角的点M，即求平面BMC和平面APC的法向量互相垂直，由此求出M点的坐标，然后根据空间两点之间的距离公式，即可求出AM的长

解答

解：以O为原点，以AD方向为Y轴正方向，以射线OP的方向为Z轴正方向，建立空间坐标系，

则 O（0，0，0），A（0，﹣3，0），B（4，2，0），C（﹣4，2，0），P（0，0，4）

（I）则\stackrel{}{A P}_{= \{0 , \ 3 , \ 4 \} , \} \stackrel{}{B C} = \ ( \ - \ 8 , \ 0 , \ 0 )

由此可得$\stackrel{}{A P} . \stackrel{}{B C} = 0$

$\begin{array}{c}\overrightarrow{\rightarrow}\\\therefore A P_{\perp} B C\end{array}\overrightarrow{\rightarrow}$

即$A P \bot B C$

（II）设$\vec{P M}_{= \lambda} \vec{P A} , \lambda \neq 1$，则$\stackrel{}{P M} = \lambda ( 0 , - 3 , - 4 )$

$\vec{B M} = \vec{B P} + \vec{P M} = \vec{B P} + \lambda \vec{P A} = (- 4, - 2, 4) + \lambda (0, - 3, - 4)$

$\vec{A C} = (- 4, 5, 0), \vec{B C} = (- 8, 0, 0)$

设平面BMC的法向量$\stackrel{}{a} = ( a , b , c )$

则$\left\{\begin{array}{l l}{{\vec{B M}} \bullet{\vec{a}} = 0} \\ {{\vec{B C}} \bullet{\vec{a}} = 0} \end{array} \right.$

$\left\{\begin{array}{l} - 4 a - (2 + 3 \lambda) b + (4 - 4 \lambda) c = 0 \\ - 8 a = 0 \end{array} \right.$

令 b=1，则$\stackrel{}{\vert a \vert} = ( 0 , 1 , \frac{2 + 3 \lambda}{4 - 4 \lambda} )$

平面APC的法向量$\vec{\cdot} \vec{b}_{^{\vert}}$

则$\left\{\underset{A C}{\vec{A P}} \bullet \right\} = 0$

即$\left\{{\begin{array}{l}{3 y + 4 z = 0} \\ {- 4 x + 5 y = 0} \end{array}} \right.$

令$x = 5$

→则 =（5，4，﹣3）

$\vec{a} \cdot \vec{b}_{= 0} \text{由}$

得$4 - 3 0 \frac{2 + 3 \lambda}{4 - 4 \lambda} = 0$

解得$\lambda = \frac{2}{5}$

故$A M = 3$

综上所述，存在点M符合题意，此时$A M = 3$