浙江 2011 · 数学 q20

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三棱锥 P-ABC（$AB=AC$，$PO\perp$ 底面，$BC=8$、$PO=4$、$AO=3$、$OD=2$）· $M$ 在 $AP$ 上，$AM=3$ 时二面角 A-MC-B 是直角

机位1题图角度2正对 APC3沿 APC 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：一条垂直关系，把整道题的骨架撑起来

三句话得到 $BC\perp$ 平面 $PAD$

• $AB=AC$ 而 $D$ 是 $BC$ 的中点，等腰三角形底边上的中线也是高，所以 $AD\perp BC$；
• $PO\perp$ 平面 $ABC$，而 $BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PO\perp BC$；
• $O$ 落在 $AD$ 上，故 $AD$ 与 $PO$ 是平面 $PAD$ 内两条相交直线（交点就是 $O$）。

由线面垂直的判定定理，

$$\boxed{BC\perp \text{平面 } PAD} .$$

这一条是全题的地基：平面 $PAD$ 里任何一条直线都与 $BC$ 垂直。$AP\subset$ 平面 $PAD$， 所以第（Ⅰ）问 $AP\perp BC$ 当场就出来了；下面三条路也全都要用它。

把图上的长度先算干净

$AO=3$、$OD=2$ 给出 $AD=5$；$BC=8$ 给出 $BD=DC=4$。再用两处直角：

• $PO\perp$ 平面 $ABC$ $\Rightarrow$ $PO\perp OA$、$PO\perp OD$，于是 $AP=\sqrt{AO^{2}+PO^{2}}=\sqrt{9+16}=5$，$PD=\sqrt{OD^{2}+PO^{2}}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5$；
• $AD\perp BC$ $\Rightarrow$ $AB=AC=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$；
• $BC\perp$ 平面 $PAD$ $\Rightarrow$ $BC\perp PD$，于是 $PB=PC=\sqrt{PD^{2}+BD^{2}}=\sqrt{20+16}=6$。

$\triangle ABP$ 的三条边 $AB=\sqrt{41}$、$AP=5$、$BP=6$ 全齐了——第（Ⅱ）问的答案就藏在这个三角形里。

建系（原卷的口径）

以 $O$ 为原点，$AD$ 方向为 $y$ 轴正方向，射线 $OP$ 方向为 $z$ 轴正方向，$x$ 轴在底面内指向 $B$。 由上面的长度直接读出

$$O(0,0,0),\quad A(0,-3,0),\quad D(0,2,0),\quad B(4,2,0),\quad C(-4,2,0),\quad P(0,0,4) .$$

$B$、$C$ 的坐标只差一个符号——这正是把对称轴 $AD$ 取作坐标轴换来的。

第（Ⅱ）问问的到底是什么

棱是 $MC$，两个半平面一个含 $A$、一个含 $B$。注意一件事：

$M$ 在线段 $AP$ 上，只要 $M\neq A$，直线 $AM$ 就是直线 $AP$，于是 平面 $AMC$ 恒等于平面 $APC$——它根本不随 $M$ 动。

所以条件其实是「平面 $BMC\perp$ 平面 $APC$」：一个固定的平面，和一个绕定直线 $BC$ 转的平面。 $M=A$ 时 $A$、$M$、$C$ 只剩两个不同的点，平面 $AMC$ 不存在，这个位置要先排除掉 （原卷写的 $\lambda\neq1$ 就是它）。

解法一：原卷路线——建系，两个半平面的法向量点积为零定出 $\lambda$

（Ⅰ）一个数量积

$$\overrightarrow{AP}=(0,3,4),\qquad \overrightarrow{BC}=(-8,0,0),\qquad \overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BC}=0\cdot(-8)+3\cdot0+4\cdot0=0 ,$$

故 $AP\perp BC$。

（Ⅱ）把 $M$ 写成一个参数

设 $\overrightarrow{PM}=\lambda\overrightarrow{PA}$。$\lambda=0$ 给出 $M=P$、$\lambda=1$ 给出 $M=A$， 所以「$M$ 在线段 $AP$ 上且 $M\neq A$」就是 $\lambda\in[0,1)$。由 $\overrightarrow{PA}=(0,-3,-4)$ 得

$$\overrightarrow{PM}=\lambda(0,-3,-4),\qquad \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PM}=(-4,-2,4)+\lambda(0,-3,-4) =(-4,\,-2-3\lambda,\,4-4\lambda) .$$

平面 $BMC$ 的法向量 $\vec a=(a,b,c)$：由 $\vec a\cdot\overrightarrow{BC}=-8a=0$ 得 $a=0$；再由

$$\vec a\cdot\overrightarrow{BM}=-4a-(2+3\lambda)b+(4-4\lambda)c=0 \quad\Longrightarrow\quad (4-4\lambda)c=(2+3\lambda)b .$$

$\lambda\neq1$ 保证 $4-4\lambda\neq0$，取 $b=1$ 即得

$$\vec a=\left(0,\ 1,\ \frac{2+3\lambda}{4-4\lambda}\right) .$$

平面 $APC$ 的法向量 $\vec b=(x,y,z)$：由 $\overrightarrow{AP}=(0,3,4)$、$\overrightarrow{AC}=(-4,5,0)$，

$$\left\{\begin{array}{l}3y+4z=0 \\ -4x+5y=0\end{array}\right. \quad\xrightarrow{\ x=5\ }\quad \vec b=(5,4,-3) .$$

令两个法向量垂直

直二面角 $\Leftrightarrow$ 两个半平面所在平面垂直 $\Leftrightarrow$ 两个法向量垂直。 这一步是法向量法在本题上最干净的用法：只问「是不是 $0$」，不问夹角是多少， 所以不存在「取夹角还是取补角」的问题。

$$\vec a\cdot\vec b=0\cdot5+1\cdot4+\frac{2+3\lambda}{4-4\lambda}\cdot(-3) =4-3\cdot\frac{2+3\lambda}{4-4\lambda}=0 .$$

$4-4\lambda\neq0$，去分母：

$$4(4-4\lambda)=3(2+3\lambda) \ \Longrightarrow\ 16-16\lambda=6+9\lambda \ \Longrightarrow\ 25\lambda=10 \ \Longrightarrow\ \lambda=\frac{2}{5} .$$

它是一次方程，根唯一；且 $\dfrac25\in[0,1)$，所以这样的 $M$ 存在且只有一个。最后

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}=(1-\lambda)\overrightarrow{AP} \quad\Longrightarrow\quad AM=(1-\lambda)\,|\overrightarrow{AP}|=\frac35\times5=\boxed{3} .$$

解法二：综合法——先有 $AP\perp BC$，再让 $BM\perp AP$，$AP$ 就垂直于平面 $BMC$

（Ⅰ）就是冷启动那三句

$AD\perp BC$、$PO\perp BC$、$AD\cap PO=O$ $\Rightarrow$ $BC\perp$ 平面 $PAD$ $\Rightarrow$ $BC\perp AP$。

（Ⅱ）先构造，再验它够

在平面 $ABP$ 内过 $B$ 作 $BM\perp AP$，垂足为 $M$。 于是

• $AP\perp BC$（第一问）、$AP\perp BM$（作图），而 $BM\cap BC=B$，且 $BM$、$BC$ 都在平面 $BMC$ 内， 由线面垂直的判定定理得

  $$AP\perp \text{平面 } BMC .$$

• $MA$ 在直线 $AP$ 上，故 $MA\perp$ 平面 $BMC$；而 $MA\subset$ 平面 $AMC$， 由面面垂直的判定定理，平面 $AMC\perp$ 平面 $BMC$，二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 就是直二面角。

这一步的好处是：完全不必把平面角作出来。作平面角要三件事（顶点在棱上、两条射线各在一个半平面内、 两条射线都垂直于棱）都写对，而这里只用两组线线垂直就交代完了。

算 $AM$：在 $\triangle ABP$ 里作一次高

冷启动已经量出 $AB=\sqrt{41}$、$AP=5$、$BP=6$。设 $AM=t$（$0<t<5$），$BM$ 是 $AP$ 边上的高， 把 $\triangle ABP$ 切成两个直角三角形，$BM^{2}$ 两边各算一次：

$$BM^{2}=AB^{2}-AM^{2}=41-t^{2},\qquad BM^{2}=BP^{2}-MP^{2}=36-(5-t)^{2} .$$

两式相等，二次项对消：

$$41-t^{2}=36-\left(25-10t+t^{2}\right) \ \Longrightarrow\ 41=11+10t \ \Longrightarrow\ t=3 .$$

于是 $AM=3$、$MP=2$、$BM^{2}=41-9=32$ 即 $BM=4\sqrt2$。$t=3\in(0,5)$，$M$ 确在线段 $AP$ 内部且 $M\neq A$， 构造合法。

唯一性另说一句。 上面证的是「这样取 $M$ 就够」；至于「会不会还有别的 $M$」， 可以引解法一那条一次方程，也可以看解法三——它把条件与「$M$ 是垂足」证成了等价。

解法三：按定义算平面角——两条边各减掉沿棱 $MC$ 的分量，条件化简成 $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$

法向量那条路要先认下「直二面角 $\Leftrightarrow$ 面面垂直」这一步。若想彻底绕开面面垂直、 直接按二面角的定义做，就在棱上取顶点 $M$，把 $\overrightarrow{MA}$、$\overrightarrow{MB}$ 各自减掉沿棱的分量。记

$$\vec u=\overrightarrow{MA},\qquad \vec v=\overrightarrow{MB},\qquad \vec e=\overrightarrow{MC} ,$$ $$\vec u_{\perp}=\vec u-\frac{\vec u\cdot\vec e}{|\vec e|^{2}}\vec e,\qquad \vec v_{\perp}=\vec v-\frac{\vec v\cdot\vec e}{|\vec e|^{2}}\vec e .$$

$\vec u_{\perp}$、$\vec v_{\perp}$ 都垂直于棱 $MC$，又分别在两个半平面内， 它们的夹角就是二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 的平面角（没有补角的余地）。直角 $\Leftrightarrow$

$$\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp} =\vec u\cdot\vec v-\frac{(\vec u\cdot\vec e)(\vec v\cdot\vec e)}{|\vec e|^{2}}=0 .$$

两步化简，用的全是第一问

第一步：$\vec u\cdot\vec e=\vec u\cdot\vec v$。 因为

$$\vec u\cdot\vec v-\vec u\cdot\vec e=\vec u\cdot(\vec v-\vec e) =\overrightarrow{MA}\cdot\left(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right) =\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{CB}=0 ,$$

最后一步正是第一问：$\overrightarrow{MA}$ 在直线 $AP$ 上，而 $AP\perp BC$。把这个公共值记作 $d$。

第二步：把 $|\vec e|^{2}-\vec v\cdot\vec e$ 也算成一个定数。

$$|\vec e|^{2}-\vec v\cdot\vec e=\vec e\cdot(\vec e-\vec v) =\overrightarrow{MC}\cdot\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}\right) =\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{BC} .$$

而 $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}$，其中 $MD$ 在平面 $PAD$ 内、 $BC\perp$ 平面 $PAD$，故 $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$；又 $\overrightarrow{DC}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 同向且 $|DC|=\frac12|BC|$，所以

$$\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DC}\cdot\overrightarrow{BC} =\frac{|BC|^{2}}{2}=32\ (>0),\quad\text{与 } M \text{ 在哪无关。}$$

条件塌成一个数量积

把两步合起来：

$$\vec u_{\perp}\cdot\vec v_{\perp} =d-\frac{d\,(\vec v\cdot\vec e)}{|\vec e|^{2}} =\frac{d\left(|\vec e|^{2}-\vec v\cdot\vec e\right)}{|\vec e|^{2}} =\frac{32\,d}{|\overrightarrow{MC}|^{2}} .$$

分母恒正、分子里的 $32$ 恒正，于是

$$\boxed{\text{二面角 } A\text{-}MC\text{-}B \text{ 为直二面角} \iff d=\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0 \iff BM\perp AP .}$$

这是「当且仅当」，不是「只要」——它一次把解法二缺的必要性补齐了：满足条件的 $M$ 只能是 $B$ 在 $AP$ 上的垂足，而垂足唯一，所以 $M$ 存在且唯一。

最后把 $d=0$ 解出来。用冷启动的坐标，$M=P+\lambda\overrightarrow{PA}=(0,-3\lambda,4-4\lambda)$，

$$\overrightarrow{MA}=A-M=(\lambda-1)(0,3,4),\qquad \overrightarrow{MB}=B-M=(4,\,2+3\lambda,\,-4+4\lambda) ,$$ $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB} =(\lambda-1)\left[3(2+3\lambda)+4(-4+4\lambda)\right] =(\lambda-1)(25\lambda-10)=0 .$$

（注意 $\overrightarrow{MA}$ 的起点是 $M$，所以带的是 $\lambda-1$ 而不是 $1-\lambda$； 写反只差一个整体负号，不影响「等于零」，但别把它和 $\overrightarrow{AM}$ 记混。）

两个根里 $\lambda=1$ 就是 $M=A$，前面已排除；故 $\lambda=\dfrac25$， $AM=|\overrightarrow{AM}|=(1-\lambda)\cdot AP=\dfrac35\times5=3$。

三条路怎么选

• 解法一是标准答卷，也是考场上最稳的：建系、写两个法向量、令点积为零。 本题建系的成本极低（$AD$ 是对称轴、$PO$ 是现成的竖直轴），坐标全是整数。 尤其要记住：判直二面角时法向量法没有补角问题，这是它在这类题上最舒服的一次。
• 解法二最短，但它只给充分性：它证的是「垂足处一定是直角」，没有证「只有垂足处才是」。 考场上想省事，可以写完构造再补一句「由解法一的一次方程知这样的点唯一」。 它的另一个好处是把 $AM$ 的计算压进一个平面三角形——$\triangle ABP$ 的三边一摆，一次高、两次勾股就完。
• 解法三最讲道理：按定义算，条件被化简成一个数量积为零，充分必要一次到手， 连「平面 $AMC$ 其实不动」这种观察都不需要。代价是要会「减掉沿棱的分量」这一步。 遇到棱上有动点、要定位置的二面角题，这条路几乎总能把条件收成参数的一次方程。

易错

• $M$ 取到端点 $A$。$\lambda=1$ 时 $A$、$M$、$C$ 共线，平面 $AMC$ 不存在，二面角这句话本身没意义； 含参法向量里那个 $4-4\lambda$ 的分母为零，正是在报告这件事。 先写定义域 $\lambda\in[0,1)$，再解方程，就不会把它当成一支需要讨论的解 （详见易错点「动点取到端点时平面退化」）。
• 把法向量的夹角直接当成二面角。本题问的是直二面角，$\vec a\cdot\vec b=0$ 与 「夹角是 $90^\circ$ 还是 $90^\circ$ 的补角」无关，所以这一次没事； 可一旦题目改问「求二面角的余弦值」，法向量夹角与二面角要么相等要么互补， 必须另作判断（详见易错点「法向量夹角与二面角混用」）。
• 平面角作错位置。走综合法时，常见的错是把 $\angle AMB$ 当成二面角 $A\text{-}MC\text{-}B$ 的平面角—— 棱是 $MC$，两条射线必须都垂直于 $MC$，而 $MB$ 未必垂直于 $MC$。 解法二绕开这件事的办法是根本不作平面角，改证面面垂直 （详见易错点「二面角的平面角没找对」）。
• 只验了几个位置就说「不存在」。存在性题不能靠试：$M$ 取 $AP$ 的中点、三等分点算下来都不是直角， 也推不出「不存在」。要么像解法一那样把条件写成方程解一次，要么像解法三那样把条件化成等价形式。
• 把 $AM$ 与 $\lambda$ 混同。$\lambda=\dfrac25$ 说的是 $\overrightarrow{PM}=\dfrac25\overrightarrow{PA}$， 即 $PM=2$；$AM=AP-PM=5-2=3$。答的是 $AM$，别把 $\lambda$ 或 $PM$ 写上去。
• 漏掉 $B$、$C$ 关于平面 $PAD$ 对称这件事。它不是装饰：$MB=MC$ 对每个 $M\in AP$ 都成立， 解法三第二步里 $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ 就是它的等价说法。 没有它，$\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{BC}$ 还得老老实实按坐标算。