浙江 2008 · 数学 q10

转着看 · 换个机位再判断

面积为定值 $\Leftrightarrow$ $P$ 到直线 $AB$（不是到线段、也不是到 $A$）的距离为定值 $\rho=\frac{2S}{|AB|}$ ⟹ $P$ 在以 $AB$ 为轴、半径 $\rho$ 的圆柱面上；$AB$ 是斜线段（既不垂直于 $\alpha$ 也不平行于 $\alpha$）⟹ 圆柱与 $\alpha$ 斜交，截口是椭圆：短半轴 $\rho$、长半轴 $\frac{2S}{h}$，两者之比 $\frac{|AB|}{h}>1$ 故不是圆 ⟹ 选 B。轴改成垂直于 $\alpha$ 就成圆、改成躺进 $\alpha$ 就成两条平行直线——另外三个选项各是另一道题，代码里换轴方向逐一验过

机位1题图角度2正对 正截口3沿 正截口 看4俯视自由视角

拖动旋转 · 滚轮缩放（触屏双指）

冷启动：把「面积为定值」换成「距离为定值」

题面：$AB$ 是平面 $\alpha$ 的斜线段，$A$ 为斜足；$P$ 在 $\alpha$ 内运动， 使 $\triangle ABP$ 的面积为定值，问 $P$ 的轨迹。

先把「斜线段」这三个字读清楚——它是题眼：

• $A$ 是斜足，所以 $A\in\alpha$；
• $B\notin\alpha$（否则 $AB$ 整条都在平面内，不叫斜线段）；
• $AB$ 不垂直于 $\alpha$（垂直的那种叫垂线段，不叫斜线段）。

于是 $B$ 在 $\alpha$ 内的射影 $B'$ 满足 $B'\neq A$，且 $h=|BB'|>0$。记 $\theta$ 为 $AB$ 与 $\alpha$ 所成的角， 则 $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$。

第一件事：$A$、$B$ 是定点，$P$ 是动点——所以该拿 $AB$ 当底。 三角形面积公式 的「底乘高」版本：

$$S_{\triangle ABP}=\frac12\,|AB|\cdot d(P,\ \text{直线 }AB)$$

$|AB|$ 是定长，于是

$$S\ \text{为定值} \quad\Longleftrightarrow\quad d(P,\ \text{直线 }AB)=\frac{2S}{|AB|}\ \text{为定值}$$

面积条件被换成了一个纯粹的距离条件。

第二件事：这个距离是在空间里量的。 「到一条定直线的距离等于定值」—— 在平面内，这样的点是两条平行直线（选项 D 就是这么来的）； 在空间里，它们是一个圆柱面（以那条直线为轴）。本题的 $P$ 虽然被关在 $\alpha$ 里， 但 $d(P,\text{直线 }AB)$ 是空间距离，所以正确的图像是：

$$P\ \text{的轨迹}=\text{圆柱面}\ \cap\ \alpha$$

剩下的问题只有一个：一个平面斜着截圆柱，截出来的是什么？

解法一：面积定就是到直线 $AB$ 的距离定——$P$ 在一个圆柱面上，被 $\alpha$ 斜着截开

怎么想到的。 面积里出现了一个定点对（$A$、$B$）和一个动点（$P$）， 那就该用同一个面积算两遍里「底乘高」的那一版，把定点对当底——动的东西全被赶进那个「高」里。

① 面积条件 $\to$ 距离条件。 以 $AB$ 为底：

$$S=\frac12|AB|\cdot d(P,\ \text{直线 }AB) \quad\Longrightarrow\quad d(P,\ \text{直线 }AB)=\frac{2S}{|AB|}=:\rho\ (\text{定值})$$

（$|AB|$ 是定长，$S$ 是题给的定值，所以 $\rho$ 是一个确定的正数。）

② 距离条件 $\to$ 圆柱面。 空间中到定直线 $AB$ 的距离等于 $\rho$ 的点， 全体构成以直线 $AB$ 为轴、$\rho$ 为半径的圆柱面——这就是圆柱面的定义。 所以 $P$ 的轨迹是这个圆柱面与平面 $\alpha$ 的交线。

③ 轴与 $\alpha$ 斜交，所以截面是椭圆。 这一步不必背结论，两句话就能看出来：

• 取过 $A$ 且垂直于轴 $AB$ 的平面 $\beta$。圆柱面与 $\beta$ 的交线是以 $A$ 为心、$\rho$ 为半径的圆 （垂直于轴截圆柱，截口当然是圆）。
• 把空间沿轴的方向投影：这个投影把圆柱面映到它自己（圆柱面沿轴平移不变）， 于是它把 $\alpha$ 上的那条交线一一映到 $\beta$ 上的那个圆 （每条母线与 $\alpha$、$\beta$ 各恰交一次——因为两个平面都不与轴平行： $\alpha$ 与轴斜交，$\beta$ 与轴垂直）。
• 而「沿一个方向把平面 $\alpha$ 投影到平面 $\beta$」限制在两个平面之间，是一个仿射映射： 它把交线 $\alpha\cap\beta$ 上的点原地不动，把垂直于这条交线的方向按同一个比例伸缩。 圆在一个方向上按同一比例伸缩，得到的正是椭圆。

所以轨迹是椭圆，选 B。

④ 「斜」字用在哪儿。 第 ③ 步唯一用到的条件是「轴与 $\alpha$ 既不垂直、也不平行」： 若 $AB\perp\alpha$，$\alpha$ 就成了上面那个 $\beta$，截口是圆； 若 $AB$ 躺在 $\alpha$ 里，圆柱被一个过轴的平面截开，得到两条平行的母线。 题面那三个字「斜线段」，正是把这两种退化情形挡在门外。

解法二：建系硬算，把轨迹方程解出来

怎么想到的。 不想依赖「斜截圆柱是椭圆」这类空间想象，那就把一切放进坐标里， 让方程自己说话——轨迹题最稳的退路。

① 建系。 以斜足 $A$ 为原点、平面 $\alpha$ 为 $xOy$ 平面； 设 $B$ 在 $\alpha$ 内的射影为 $B'$，把 $x$ 轴正方向取成 $\overrightarrow{AB'}$ 的方向。记

$$m=|AB'|>0,\qquad h=|BB'|>0$$

（$h>0$ 因为 $B\notin\alpha$；$m>0$ 因为 $AB$ 是斜线段而非垂线段，射影不与斜足重合。） 于是 $B=(m,0,h)$，且由直角三角形 $ABB'$，

$$|AB|^{2}=m^{2}+h^{2}$$

设 $P=(x,y,0)$（$P$ 在 $\alpha$ 内），即 $\overrightarrow{AP}=(x,y,0)$、$\overrightarrow{AB}=(m,0,h)$。

② 把面积写成坐标式。 用「两边夹一角」的面积公式，再把那个角换成数量积：

$$S=\frac12|AB||AP|\sin\angle BAP, \qquad \cos\angle BAP=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}}{|AB||AP|}$$

两式消去角（$\sin^{2}=1-\cos^{2}$）：

$$4S^{2}=|AB|^{2}|AP|^{2}-\left(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}\right)^{2}$$

③ 代入坐标。 $|AB|^{2}=m^{2}+h^{2}$，$|AP|^{2}=x^{2}+y^{2}$， $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AP}=mx+0\cdot y+h\cdot 0=mx$：

$$4S^{2}=\left(m^{2}+h^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-m^{2}x^{2} =h^{2}x^{2}+\left(m^{2}+h^{2}\right)y^{2}$$

即

$$h^{2}x^{2}+|AB|^{2}y^{2}=4S^{2} \tag{$\ast$}$$

④ 认出这是什么曲线。 $h>0$、$|AB|>0$，两边同除 $4S^{2}$：

$$\frac{x^{2}}{\left(\dfrac{2S}{h}\right)^{2}}+\frac{y^{2}}{\left(\dfrac{2S}{|AB|}\right)^{2}}=1$$

两个分母都是正数且不相等——因为 $h$ 与 $|AB|$ 是同一个直角三角形 $ABB'$ 的直角边与斜边， $h<|AB|$，故 $\dfrac{2S}{h}>\dfrac{2S}{|AB|}$。这是一个中心在 $A$、长轴沿 $AB'$ 方向的椭圆。选 B。

⑤ 让 $(\ast)$ 把四个选项一次讲完。 同一条式子，参数一退化就换一张脸：

• $m=0$（即 $AB\perp\alpha$，垂线段）：$|AB|=h$，$(\ast)$ 成为 $x^{2}+y^{2}=\left(\frac{2S}{h}\right)^{2}$，圆（选项 A）；
• $h=0$（即 $B\in\alpha$，$AB$ 躺在平面内）：$(\ast)$ 成为 $|AB|^{2}y^{2}=4S^{2}$， 即 $y=\pm\dfrac{2S}{|AB|}$，两条平行直线（选项 D）；
• 本题 $m>0$ 且 $h>0$ 且 $h<|AB|$，落在两者之间——椭圆。

解法三：不求轨迹：量两个方向再看有没有界，四个选项刷掉三个

怎么想到的。 这是选择题，四个选项的形状差别极大：两个有界（圆、椭圆）、两个无界（直线）； 圆是「各个方向一样长」、椭圆是「两个方向不一样长」。那就只量两件事：有没有界、两个方向一不一样长。 这一次把 $AP$ 当底（动点当底），因为要比较的正是 $|AP|$。

① 换一个底：$S=\dfrac12|AP|\cdot d(B,\ \text{直线 }AP)$。 于是

$$|AP|=\frac{2S}{d(B,\ \text{直线 }AP)}$$

——$|AP|$ 完全由「$B$ 到直线 $AP$ 的距离」决定，而 $AP$ 是 $\alpha$ 内过 $A$ 的一条直线。 所以问题变成：$B$ 到 $\alpha$ 内过 $A$ 的直线，距离能取到多大、多小？

② 下界：不小于 $h$。 设 $\ell$ 是 $\alpha$ 内过 $A$ 的任一直线。$B$ 到 $\ell$ 的距离不小于 $B$ 到平面 $\alpha$ 的距离：

$$d(B,\ell)\geq d(B,\alpha)=|BB'|=h$$

（$\ell\subset\alpha$，而点到平面的距离是它到平面内所有点的距离的最小值。） 等号当且仅当 $B$ 在 $\ell$ 上的垂足就是 $B'$，即 $\ell$ 经过 $B'$——也就是 $\ell$ 是直线 $AB'$。

③ 上界：不超过 $|AB|$。 因为 $A\in\ell$，点 $B$ 到 $\ell$ 的距离不超过 $|BA|$：

$$d(B,\ell)\leq|AB|$$

等号当且仅当 $AB\perp\ell$。这样的 $\ell$ 存在：在 $\alpha$ 内取过 $A$ 且垂直于 $AB'$ 的直线 $\ell_{0}$， 则 $\ell_{0}\perp AB'$；又 $BB'\perp\alpha$ 而 $\ell_{0}\subset\alpha$，故 $\ell_{0}\perp BB'$。 $AB'$ 与 $BB'$ 是平面 $ABB'$ 内两条相交直线，由线面垂直的判定定理， $\ell_{0}\perp$ 平面 $ABB'$，从而 $\ell_{0}\perp AB$。

④ 于是 $|AP|$ 被夹在两个值之间。 把 ②③ 代进 ①（分母越大商越小）：

$$\frac{2S}{|AB|}\leq|AP|\leq\frac{2S}{h}$$

两端都取得到：$P$ 落在直线 $AB'$ 上时 $|AP|=\dfrac{2S}{h}$；$P$ 落在直线 $\ell_{0}$ 上时 $|AP|=\dfrac{2S}{|AB|}$。 注意条件只与直线 $AP$ 有关，与 $P$ 在直线的哪一侧无关，所以这两个距离各有两个点取到： 轨迹上有四个点 $P_{1},P_{2}$（在直线 $AB'$ 上，$|AP|=\frac{2S}{h}$）与 $P_{3},P_{4}$（在 $\ell_{0}$ 上，$|AP|=\frac{2S}{|AB|}$）， 两两关于 $A$ 对称。

⑤ 刷选项。

• $|AP|\leq\dfrac{2S}{h}$ 说明轨迹有界——直线是无界的，所以「一条直线」（C）与「两条平行直线」（D）都出局。
• 不是圆。 反证：若轨迹是某个圆，它过 $P_{1}$、$P_{2}$（关于 $A$ 对称，在直线 $AB'$ 上）， 圆心必在 $P_{1}P_{2}$ 的中垂线上，即过 $A$ 且垂直于 $AB'$ 的那条线 $\ell_{0}$； 它又过 $P_{3}$、$P_{4}$（关于 $A$ 对称，在 $\ell_{0}$ 上），圆心必在 $P_{3}P_{4}$ 的中垂线上，即直线 $AB'$。 两条线只交于 $A$，故圆心是 $A$，半径同时等于 $\dfrac{2S}{h}$ 与 $\dfrac{2S}{|AB|}$。 但 $h<|AB|$（直角三角形 $ABB'$ 的直角边小于斜边），两者不等——矛盾。所以（A）出局。
• 四选一，只剩 B：椭圆。

这条路没有求出轨迹方程，却把轨迹的长短轴都量出来了：$\dfrac{2S}{h}$ 与 $\dfrac{2S}{|AB|}$， 与解法二解出的方程逐字相同。

三条路回头看。 解法一最短也最有解释力：一句「面积定 $\Rightarrow$ 到 $AB$ 的距离定」 就把立体几何题变成了「圆柱被斜截」，四个选项随之各归各位；代价是要对空间图形有把握。 解法二是最稳的退路，$(\ast)$ 那条式子还顺带把 A、D 两个选项的来历解释清楚了—— 四个选项其实是同一条方程在 $m$、$h$ 退化时的四张脸。解法三既不作图也不求方程， 只用两次「面积换底」加两个不等式，就把三个选项排除掉，而且副产品正是长短半轴。

四个选项，四种「$AB$ 与 $\alpha$ 的关系」。 $AB\perp\alpha$ $\to$ 圆（A）；$AB$ 与 $\alpha$ 斜交 $\to$ 椭圆（B）； $AB\subset\alpha$ $\to$ 两条平行直线（D）；至于「一条直线」（C）， 要圆柱与平面相切才会出现（平面平行于轴且与轴的距离恰为 $\rho$）， 而本题斜足 $A$ 既在轴上又在 $\alpha$ 内，$\alpha$ 必与轴相交，切不了。 所以四个选项不是随便凑的，它们是同一个问题在四种位置关系下的全部答案。

🕳️ 避坑

• 「到定直线距离为定值」，平面里和空间里不是一回事。 平面内是两条平行直线， 空间里是圆柱面。本题的 $P$ 被关在 $\alpha$ 内，但距离是在空间量的， 所以要先在空间里写出圆柱面、再与 $\alpha$ 求交——直接套平面结论就会答成 D。
• 面积公式里的角必须是那两条边的夹角。 $S=\frac12|AB||AP|\sin\angle BAP$ 里是空间角 $\angle BAP$， 不是它在平面内的射影角 $\angle B'AP$；除非 $P$ 恰在直线 $AB'$ 上，两个角并不相等。 把 $\angle B'AP$ 代进去，算出的根本不是 $\triangle ABP$ 的面积。
• 别把 $d(P,\text{直线 }AB)$ 读成 $|PB|$ 或「$P$ 到平面内某条线的距离」。 它是 $P$ 到空间直线 $AB$ 的距离，垂足一般既不是 $A$ 也不是 $B$。
• 轨迹的中心是斜足 $A$，不是射影 $B'$。 圆柱的轴过 $A$，所以截口的中心也在 $A$； $B'$ 只决定长轴的方向，不是中心。
• 「斜线段」三个字不能漏读。 它同时排除了 $AB\perp\alpha$（会变成圆）与 $AB\subset\alpha$ （会变成两条平行直线）。题目正是靠这三个字把答案钉死在椭圆上。