3.1 椭圆

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3.1 椭圆

椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用。那么，椭圆到底有怎样的几何特征？我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础？

3.1.1 椭圆及其标准方程

探究

取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ （图3.1-1），套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

把细绳的两端拉开一段距离，笔尖移动的过程中，细绳的长度保持不变，即笔尖到两个定点的距离的和等于常数.

我们把平面内与两个定点 $F_{1}$, $F_{2}$ 的距离的和等于常数（大于 $|F_{1}F_{2}|$）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse）。这两个定点叫做椭圆的焦点（focus），两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（focus distance），焦距的一半称为半焦距。

由椭圆的定义可知，上述移动的笔尖（动点）画出的轨迹是椭圆.

下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆的方程.

思考

观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？

观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点 $F_{1}$，$F_{2}$ 的直线为 $x$ 轴，线段 $F_{1}F_{2}$ 的垂直平分线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系 $Oxy$，如图3.1-2所示.

设 $M(x, y)$ 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 $2c (c > 0)$，那么焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的坐标分别为 $(-c, 0), (c, 0)$。根据椭圆的定义，设点 $M$ 与焦点 $F_{1}, F_{2}$ 的距离的和等于 $2a$。

由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集

$P = \{M \mid | M F _ {1} | + | M F _ {2} | = 2 a \}.$

因为

设为 2a 能为问题的研究带来方便.

$\left| M F _ {1} \right| = \sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}}, \left| M F _ {2} \right| = \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}},$

所以

\sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}} + \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}} = 2 a.\tag{①}

为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，得

\sqrt {(x + c) ^ {2} + y ^ {2}} = 2 a - \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}}.\tag{②}

对方程②两边平方，得

$(x + c) ^ {2} + y ^ {2} = 4 a ^ {2} - 4 a \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}} + (x - c) ^ {2} + y ^ {2}.$

整理，得

a ^ {2} - c x = a \sqrt {(x - c) ^ {2} + y ^ {2}}.\tag{③}

对方程③两边平方，得

$a ^ {4} - 2 a ^ {2} c x + c ^ {2} x ^ {2} = a ^ {2} x ^ {2} - 2 a ^ {2} c x + a ^ {2} c ^ {2} + a ^ {2} y ^ {2}.$

整理，得

(a ^ {2} - c ^ {2}) x ^ {2} + a ^ {2} y ^ {2} = a ^ {2} (a ^ {2} - c ^ {2}).\tag{④}

将方程④两边同除以 $a^2 (a^2 -c^2)$ ，得

\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{a ^ {2} - c ^ {2}} = 1.\tag{⑤}

由椭圆的定义可知， $2a>2c>0$ ，即a>c>0，所以 $a^{2}-c^{2}>0$ .

思考

观察图3.1-3，你能从中找出表示 $a, c, \sqrt{a^2 - c^2}$ 的线段吗？

由图3.1-3可知， $|PF_{1}| = |PF_{2}| = a$ ， $|OF_{1}| = |OF_{2}| = c$ ， $|PO| = \sqrt{a^2 - c^2}$ 令$b = |PO| = \sqrt{a^2 - c^2}$ ，那么方程 ⑤ 就是

\frac {x ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {y ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > b > 0).\tag{⑥}

由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形。这样，椭圆上任意一点的坐标 $(x, y)$ 都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点 $(x, y)$ 与椭圆的两个焦点 $(c, 0)$，$(-c, 0)$ 的距离之和为2a，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上。我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是 $F_{1}(-c, 0)$，$F_{2}(c, 0)$ 的椭圆，这里 $c^{2}=a^{2}-b^{2}$。

思考

如图3.1-4，如果焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 在 $y$ 轴上，且 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的坐标分别为 $(0, - c)$ ， $(0, c)$ ， $a, b$ 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？

容易知道，此时椭圆的方程是

$\frac {y ^ {2}}{a ^ {2}} + \frac {x ^ {2}}{b ^ {2}} = 1 (a > b > 0),$

这个方程也是椭圆的标准方程.

例 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 $(-2, 0)$ ， $(2, 0)$ ，并且经过点 $\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}\right)$ ，求它的标准方程.

解：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \quad (a > b > 0)$ . 由椭圆的定义知 c=2，

$2 a = \sqrt {\left(\frac {5}{2} + 2\right) ^ {2} + \left(- \frac {3}{2}\right) ^ {2}} + \sqrt {\left(\frac {5}{2} - 2\right) ^ {2} + \left(- \frac {3}{2}\right) ^ {2}} = 2 \sqrt {1 0},$

所以 $a=\sqrt{10}$ .

所以 $b^{2} = a^{2} - c^{2} = 10 - 4 = 6.$

?

所以，所求椭圆的标准方程为

$\frac {x ^ {2}}{1 0} + \frac {y ^ {2}}{6} = 1.$

你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点.

例 2 如图 3.1-5，在圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上任取一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线段 PD，D 为垂足。当点 P 在圆上运动时，线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么？为什么？（当点 P 经过圆与 x 轴的交点时，规定点 M 与点 P 重合。）

分析：点 $P$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，点 $P$ 的运动引起点 $M$ 运动。我们可以由 $M$ 为线段 $PD$ 的中点得到点 $M$ 与点 $P$ 坐标之间的关系式，并由点 $P$ 的坐标满足圆的方程得到点 $M$ 的坐标所满足的方程。

解：设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$，点 $P$ 的坐标为 $(x_0, y_0)$，则点 $D$ 的坐标为 $(x_0, 0)$。由点 $M$ 是线段 $PD$ 的中点，得

$x = x _ {0}, y = \frac {y _ {0}}{2}.$

因为点 $P(x_0, y_0)$ 在圆 $x^2 + y^2 = 4$ 上，所以

x _ {0} ^ {2} + y _ {0} ^ {2} = 4.\tag{①}

把 $x_0 = x$ ， $y_0 = 2y$ 代入方程①，得

$x ^ {2} + 4 y ^ {2} = 4,$

即

$\frac {x ^ {2}}{4} + y ^ {2} = 1.$

。

寻求点 M 的坐标 $(x, y)$ 中 x, y 与 $x_{0}$ , $y_{0}$ 之间的关系，然后消去 $x_{0}$ , $y_{0}$ ，得到点 M 的轨迹方程。这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法。

所以点 M 的轨迹是椭圆.

利用信息技术，可以更方便地探究点 M 的轨迹的形状.

思考

由例 2 我们发现，可以由圆通过 “压缩” 得到椭圆。你能由圆通过 “拉伸” 得到椭圆吗？如何 “拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？

例3 如图3.1-6，设 $A, B$ 两点的坐标分别为 $(-5, 0)$，$(5, 0)$。直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$，且它们的斜率之积是 $-\frac{4}{9}$，求点 $M$ 的轨迹方程。

分析：设点 M 的坐标为 $(x, y)$ ，那么直线 AM，BM 的斜率就可用含 x，y 的关系式分别表示。由直线 AM，BM 的斜率之积是 $-\frac{4}{9}$ ，可得出 x，y 之间的关系式，进而得到点 M 的轨迹方程。

图3.1-6

解：设点 $M$ 的坐标为 $(x, y)$，因为点 $A$ 的坐标是 $(-5, 0)$，所以直线 $AM$ 的斜率