浙江 2025 · 数学 q03

整道题的题面只有一句话，要做的事也只有一件：把那句中文翻译成一个比值。翻译对了，剩下的是一行算式。计算量几乎为零，分数全押在读题上。

先把三个字母认清

焦点在 $x$ 轴上的双曲线，标准方程是

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\qquad(a>0,\ b>0).$$

方程里只出现 $a$、$b$ 两个字母，但描述一条双曲线要用到三个：

• $a$ —— 半实轴长。曲线与 $x$ 轴交于两个顶点 $(\pm a,0)$，这两点之间的线段叫实轴，整条长 $2a$。
• $b$ —— 半虚轴长。在 $y$ 轴上取 $(0,\pm b)$ 两点，它们之间的线段叫虚轴，整条长 $2b$。这两点不在曲线上，虚轴只是一根辅助标尺。
• $c$ —— 半焦距。两个焦点落在 $(\pm c,0)$。

$c$ 不是独立给定的，它由前两个定出来：

$$c^2=a^2+b^2 .$$

为什么是这一条：以 $a$、$b$ 为半宽半高画一个矩形（下图里的虚线矩形），$c$ 恰好是它对角线的一半。对角线是直角三角形的斜边，斜边比两条直角边都长，所以双曲线里 $c$ 最大。椭圆恰好反过来，是 $a^2=b^2+c^2$、$a$ 最大——两条式子长得几乎一样，差别只在谁站在等号左边，而记混不是小误差，是全盘皆错。

离心率量的是「张得多开」

$$e=\frac{c}{a}.$$

它只和形状有关、与画多大无关：$a$、$b$ 同时放大一倍，$c$ 也跟着放大一倍，比值不动。又因为 $c>a>0$，双曲线的离心率一定 $e>1$。

解法一：把条件翻成 b/a，一步套离心率公式

怎么想到的。 题目一个具体数都没给——没有方程、没有焦点坐标，只给了两条轴的倍数关系。这就是在提示你：$a$、$b$、$c$ 各自是多少永远定不下来，能定下来的只有它们之间的比。而离心率恰好也只是一个比。于是把 $c^2=a^2+b^2$ 两边同除以 $a^2$，让整条关系式里只剩比值：

$$\frac{c^2}{a^2}=1+\frac{b^2}{a^2} \quad\Longrightarrow\quad e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}.$$

这一步把题目变得很具体：只要知道 $\dfrac{b}{a}$，就能一步算出 $e$，根本不必先把 $c$ 求出来。 于是解这道题只剩一件事——去题面里把 $\dfrac{b}{a}$ 抠出来。把每个几何条件都翻译成 $a$、$b$、$c$ 之间的等式、再凑出要的那个比值，这正是基本量法；给一个几何条件、问 $e$，就是圆锥曲线的离心率这一类问法的标准形态。

翻译题面那句话（本题唯一的坎）。 题目说：虚轴长为实轴长的 $\sqrt7$ 倍。

两个「长」字要盯住：虚轴长是 $2b$、实轴长是 $2a$，不是 $b$ 和 $a$。照原话老实列式：

$$2b=\sqrt7\cdot 2a .$$

两边的 $2$ 约掉，得

$$\frac{b}{a}=\sqrt7 .$$

代进那条一步公式。

$$e=\sqrt{1+\left(\sqrt7\right)^2}=\sqrt{1+7}=\sqrt8=2\sqrt2 .$$

对照四个选项，$2\sqrt2$ 是 D。

图里那段虚线弧值得多看一眼：它把矩形对角线（从原点到右上角那一段）绕原点转到 $x$ 轴上，落点正好是焦点。这就是「$c$ 是对角线的一半」看得见的证据；顺带也解释了矩形对角线所在的那条直线为什么正是双曲线的渐近线——本题不需要它，但下次遇到「已知渐近线求 $e$」时，你要用的还是同一张图。

为什么没有第二条路。 有人会先解出 $c=2\sqrt2\,a$、再去算 $\dfrac{c}{a}$；也有人干脆令 $a=1$（比值题允许，因为 $e$ 与画多大无关），得 $b=\sqrt7$、$c=2\sqrt2$。这两种写法都好，但它们踩的还是同一条 $c^2=a^2+b^2$、同一条 $e=\dfrac{c}{a}$——是把同一条推导拆成两步、或者代了个具体数，不是换了一套工具。这道题的信息量只够走这一条。

三个错误选项分别是怎么来的

🕳️ 避坑

• $\sqrt7$（C）是最容易错选的一个：它就是题目给的 $\dfrac{b}{a}$ 本身。离心率还要再套一层 $\sqrt{1+(\ \cdot\ )^2}$，别把中间量当成答案交上去。
• $\sqrt2$（A）来自把分母写错：$\dfrac{c}{2a}=\dfrac{2\sqrt2}{2}=\sqrt2$。离心率的分母是半实轴 $a$，不是实轴长 $2a$。
• $2$（B）对应的是另一个比值：$e=2$ 要求 $1+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2=4$，即 $\dfrac{b}{a}=\sqrt3$，和本题条件没关系。
• 本题问的是比值，所以即便一开始把条件误写成 $b=\sqrt7\,a$（两个 $2$ 都漏掉），也照样得到正确答案。这是运气，不是道理——换成「已知实轴长为 $2$，求 $b$」那类问法，漏掉因子 $2$ 当场就错。
• 万一把 $c^2=a^2+b^2$ 记成了椭圆那条 $a^2=b^2+c^2$，算出来会是 $\sqrt{1-7}$，负数开方。开出负数就是信号：先回头查这条关系式，而不是继续往下算。