3.2 双曲线

双曲线这一节课本反复写着”类比椭圆”。类比确实是对的路，但类比最容易出事的地方恰恰是”看着一样、其实相反”的那几处—— $a$ 与 $c$ 谁大、$a^2=b^2+c^2$ 还是 $c^2=a^2+b^2$、绝对值去不去。 所以这一节的讲法是：先把与椭圆同构的部分快速过掉，然后把四处分岔逐个钉死。

一、定义：把椭圆定义里的”和”换成”差的绝对值”

平面内与两个定点 $F_1$，$F_2$ 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于 $|F_1F_2|$）的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

与椭圆定义逐字对照，有三处不同，一处都不能漏：

• “差的绝对值”里的绝对值管的是”哪一支”。 去掉绝对值就得到两个式子： $|MF_1| - |MF_2| = 2a$ 与 $|MF_2| - |MF_1| = 2a$，它们各自描述一支。所以 $\left||MF_1| - |MF_2|\right| = 2a$ 是两支合起来；如果题目里给的是不带绝对值的 $|MF_1| - |MF_2| = 2a$，那就只有靠近 $F_2$ 的那一支。课本例 2（炮弹爆炸点）就卡在这里： “在 $A$ 地听到比在 $B$ 地晚”给出 $|PA| - |PB| = 680 > 0$，所以轨迹只是右支， 答案要带上 $x \geqslant 340$。漏掉这个限制是双曲线题第一号失分点。
• 常数为什么必须小于 $|F_1F_2|$。 三角形两边之差小于第三边，所以 $\left||MF_1|-|MF_2|\right| < |F_1F_2|$ 恒成立；若常数等于 $|F_1F_2|$，轨迹退化成两条射线； 若大于，一个点也没有。这与椭圆那边的”大于”正好相反，因为一个是和、一个是差。
• 常数非零。 若为零则 $|MF_1| = |MF_2|$，轨迹是 $F_1F_2$ 的垂直平分线，不是双曲线。 课本在定义里写了”非零常数”，椭圆那边不需要这一句（和恒为正）。

二、标准方程：化简同构，命名分岔

建系与椭圆完全一样（$F_1F_2$ 所在直线为 $x$ 轴、其垂直平分线为 $y$ 轴），设焦距 $2c$、 常数 $2a$（$a > 0$，且由定义 $a < c$）。由定义得

$\sqrt{(x+c)^2+y^2} - \sqrt{(x-c)^2+y^2} = \pm 2a,$

化简的两次平方与椭圆那边一字不差（课本干脆写了”类比椭圆标准方程的化简过程”，没有重抄）， 结果是

$(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2),$

两边除以 $a^2(c^2-a^2)$：

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2-a^2} = 1.$

分岔就在下一步。 椭圆那边是 $a > c$，所以令 $b^2 = a^2 - c^2$；双曲线这边由定义 $2c > 2a$，即 $c > a > 0$，所以 $c^2 - a^2 > 0$，令

$b^2 = c^2 - a^2 \quad (b>0) \;\Longleftrightarrow\; c^2 = a^2 + b^2,$

得到标准方程

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>0,\ b>0).$

两条曲线的 $a$、$b$、$c$ 关系必须分开记：

两边都是”最大的那个量的平方 $=$ 另两个的平方和”，只要先想清楚”谁最大”就不会记混： 椭圆里 $a$ 最大（$2a$ 是两段距离之和，比焦距长），双曲线里 $c$ 最大（$2a$ 是两段之差，比焦距短）。

还有一条容易被忽略的分岔：椭圆必须 $a > b$，双曲线不必。双曲线里 $b$ 可以大于、等于、小于 $a$， $b = a$ 时叫等轴双曲线（下一小节的内容）。所以——

判断焦点在哪条轴上，椭圆看”分母谁大”，双曲线看”谁的系数为正”。

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$ 的焦点在 $x$ 轴上（$x^2$ 项为正），尽管 $16 > 9$； $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$ 的焦点在 $y$ 轴上。拿椭圆那条”分母大的定轴”来套双曲线是第二号失分点。

焦点在 $y$ 轴上时的标准方程：

$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1 \quad (a>0,\ b>0),$

此时 $a$ 仍是”$2a$ 的一半”，只是它换到了 $y^2$ 底下。

三、两道例题各教一件事

例 1（由焦点与距离差求方程） 焦点 $F_1(-5,0)$、$F_2(5,0)$，$\left||PF_1|-|PF_2|\right| = 6$。 焦点在 $x$ 轴上 $\Rightarrow$ 设 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$； $2c = 10$ 给出 $c = 5$，$2a = 6$ 给出 $a = 3$，于是 $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$，方程

$\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1.$

它教的是基本量法：双曲线的一切都由 $a$、$b$、$c$ 中的任意两个定死， 所以读题时先把能读出的 $a$、$c$（往往藏在"$2a$""$2c$"里）抓出来，第三个用关系式补齐。 注意题目给的是 $2a$、$2c$，不是 $a$、$c$——这与椭圆同坑。

例 2（声波定位） $A$、$B$ 相距 $800\ \mathrm{m}$，在 $A$ 地听到爆炸声比在 $B$ 地晚 $2\ \mathrm{s}$， 声速 $340\ \mathrm{m/s}$。它教的是三件事：

1. 把物理条件翻译成距离差：晚 $2\ \mathrm{s}$ 意味着 $|PA| - |PB| = 340 \times 2 = 680$， 于是 $2a = 680$、$a = 340$；又 $|AB| = 800$ 给出 $2c = 800$、$c = 400$， $b^2 = c^2 - a^2 = 160000 - 115600 = 44400$。
2. 验前提：$2a = 680 < 800 = 2c$，定义里”常数小于焦距”这一条成立，轨迹确实是双曲线 （若声速或时间差再大一点，$2a$ 超过 $2c$，就一个点也没有——这个验算不是多余的）。
3. 只取一支：$|PA| - |PB| = 680 > 0$ 说明 $P$ 离 $A$ 远、离 $B$ 近，取靠近 $B$ 的那一支， 即右支，故答案带 $x \geqslant 340$：

$\frac{x^2}{115600} - \frac{y^2}{44400} = 1 \quad (x \geqslant 340).$

课本随后还提了一句实际应用：增设第三个观测点，再列一条双曲线，两条双曲线的交点就定出了 爆炸点的准确位置。这就是双曲线定位的原理。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 漏掉”只有一支”的限制。 题目给的是不带绝对值的差、或含”离 $A$ 更远”这类方向信息时， 答案必须带上分支条件（如 $x \geqslant a$）。
2. $c^2 = a^2 + b^2$ 与 $a^2 = b^2 + c^2$ 记混。 用”谁最大”来定，见第二节的表。
3. 按分母大小判焦点位置。 双曲线看正负号，不看大小。
4. 把 $2a$、$2c$ 当成 $a$、$c$。
5. 忘了验 $2a < 2c$。 尤其是应用题里 $a$、$c$ 由数据算出来的时候，这一步是”轨迹到底存不存在”的判据。
6. $b$ 的几何意义与椭圆混。 椭圆里 $b$ 是短半轴、曲线真的经过 $(0, \pm b)$； 双曲线的曲线不经过 $(0, \pm b)$（令 $x=0$ 得 $y^2 = -b^2$ 无解）， 那两个点只是画在图上帮忙定渐近线的辅助点。这一条在下一小节会讲透。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，都经由概念 双曲线 与公式 双曲线的 a、b、c 关系 连过来。其中多数是货真价实的双曲线题，也有主体是椭圆、只共用了一次 双曲线的离心率公式的。读的顺序：

• 先做 2020 年第 8 题（$|PA|-|PB|=2$ 且 $P$ 在 $y=3\sqrt{4-x^2}$ 上，求 $|OP|$）。 它是本节定义的正向考法：读出常数 $2a=2$、焦距 $2c=4$，当场认出双曲线，再由差不带绝对值 定到右支，最后补 $b^2=c^2-a^2=3$。全程一个「离心率」都不用，正好是本节例 1 的选择题版本， 只多了一步与另一条曲线联立。
• 再做 2025 年第 3 题（虚轴长是实轴长的 $\sqrt{7}$ 倍，求离心率）。它只需要把一句中文翻译成 $b : a$，再用一次 $c^2 = a^2+b^2$——是第二节那张表的最短检验。 （“实轴""虚轴”是下一小节的词，但这道题用到的关系式就是本节这一条。）
• 然后是 2024 年第 12 题（过右焦点的竖直弦求离心率）。它要先用定义把两条焦半径的差写出来， 正是第一节”两支”那件事的正面考法；一个 $5$–$12$–$13$ 的直角三角形就够。
• 接着做 2021 年第 9 题（等比条件展开因式分解，轨迹是直线与双曲线）。这道是反向的： 本节从条件推方程，它给你一个方程问”这是什么曲线”，答案里那支双曲线正靠本节的标准形式认出来 （还要留住因式分解漏掉的那条直线）。
• 再来 2023 年第 16 题（双曲线离心率，坐标向量法或勾股加余弦定理）。 两条路都要先把"$\left||MF_1|-|MF_2|\right| = 2a$"用上，是定义与关系式的合练。
• 2022 年第 16 题（过左焦点的直线交双曲线与渐近线）已经跨到下一小节的渐近线， 但那条 $c^2=a^2+b^2$ 仍是骨架。这道是这一节的上限，建议学完 §3.2.2 再回头做。
• 2021 年第 16 题（椭圆切线条件求斜率与离心率）挂进来只因为末尾共用了一次双曲线的离心率 公式，主体是椭圆。做这一节时可以跳过，留到 §3.1.2 与 §3.2.2 都学完再做。