浙江 2009 · 数学 q09

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2009 · 数学 q09 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. （2009 浙江理 9）过双曲线 x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为 -1 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B,CB, C. 若 AB→=12BC→\overrightarrow{AB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}，则双曲线的离心率是（ ） A. 2\sqrt{2} B. 3\sqrt{3} C. 5\sqrt{5} D. 10\sqrt{10}

9

答案

C

【解题关键点】对于 A(a,0)A(a,0)，则直线方程为 x+y−a=0x + y - a = 0，直线与两渐近线的交点为 B，C，

B(a2a+b,aba+b),C(a2a−b,−aba−b)B \Bigg (\frac{a^{2}}{a + b}, \frac{a b}{a + b} \Bigg), C (\frac{a^{2}}{a - b}, - \frac{a b}{a - b})

则有 BC→=(2a2ba2−b2,−2a2ba2−b2),AB→=(−aba+b,aba+b)\overrightarrow{BC} = \left(\frac{2a^2b}{a^2 - b^2}, -\frac{2a^2b}{a^2 - b^2}\right), \overrightarrow{AB} = \left(-\frac{ab}{a + b}, \frac{ab}{a + b}\right)，因 2AB→=BC→,∴4a2=b2,∴e=52\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BC}, \therefore 4a^2 = b^2, \therefore e = \sqrt{5}