浙江 2009 · 数学 q09

冷启动：题面给了两个字母，问的却是一个数

题面里出现的字母有 $a$、$b$，问的是

$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}} .$$

$e$ 只认 $\dfrac{b}{a}$ 这一个数。所以整道题真正的未知数只有一个；记

$$t=\frac{b}{a}>0 ,$$

解出 $t$ 就等于解完了。

这件事还有个更强的说法：把 $a$、$b$ 同时放大 $k$ 倍，整张图只是整体放大 $k$ 倍——顶点 $A$、那条斜率 $-1$ 的直线、两条渐近线、交点 $B$ 与 $C$ 全部跟着放大，长度之比一个不变，题给的向量条件因此原封不动地继续成立，$e$ 也不变。于是 $a$ 是个可以自己挑的尺度，$t$ 才是唯一的形状参数。

把题面的三件东西写出来（下面三条三种解法都要用）：

• 右顶点 $A(a,0)$；
• 过 $A$、斜率 $-1$ 的直线：$y-0=-(x-a)$，即 $x+y=a$；
• 两条渐近线：$y=tx$ 与 $y=-tx$。

最后一句话要念对：题面给的是 $\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$，两个向量首尾相接（$\overrightarrow{AB}$ 停在 $B$，$\overrightarrow{BC}$ 从 $B$ 出发）。首尾相接就用加法：

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+2\,\overrightarrow{AB}=3\,\overrightarrow{AB} ,$$

也就是 $|AB|:|BC|=1:2$——$B$ 是 $A$ 到 $C$ 的三等分点里靠 $A$ 的那个，而不是中点。把 $\dfrac12$ 照抄成 $\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{AC}$ 就把 $B$ 挪到了中点上，后面全盘皆错，且卷面上看不出破绽。

解法一：照着坐标硬算——两个交点各联立一次，向量条件逐分量对账

最朴素的一条路，也是官方解析走的那条：把 $B$、$C$ 的坐标一路用 $a$、$b$ 表出来，再把向量条件摊成分量比较。

① 直线。 $A(a,0)$，斜率 $-1$，故 $x+y-a=0$。

② 两个交点各联立一次。 与 $y=\dfrac{b}{a}x$ 联立：

$$x+\frac{b}{a}x=a\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^{2}}{a+b}, \qquad B\left(\frac{a^{2}}{a+b},\ \frac{ab}{a+b}\right).$$

与 $y=-\dfrac{b}{a}x$ 联立：

$$x-\frac{b}{a}x=a\ \Longrightarrow\ x=\frac{a^{2}}{a-b}, \qquad C\left(\frac{a^{2}}{a-b},\ -\frac{ab}{a-b}\right).$$

这里必须要求 $a\neq b$：$a=b$ 时渐近线 $y=-x$ 与那条直线平行，压根交不出 $C$，题目自然也就不成立。

③ 两个向量。

$$\overrightarrow{AB}=\left(\frac{a^{2}}{a+b}-a,\ \frac{ab}{a+b}\right) =\left(-\frac{ab}{a+b},\ \frac{ab}{a+b}\right),$$ $$\overrightarrow{BC}=\left(\frac{a^{2}}{a-b}-\frac{a^{2}}{a+b},\ -\frac{ab}{a-b}-\frac{ab}{a+b}\right) =\left(\frac{2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}},\ -\frac{2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}\right).$$

两个向量的两个分量都是互为相反数——这不是巧合：$A$、$B$、$C$ 都在斜率 $-1$ 的同一条直线上，方向向量就是 $(1,-1)$。

④ 条件摊成分量。 $\overrightarrow{AB}=\dfrac12\overrightarrow{BC}$ 即 $2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$。比横坐标（纵坐标给出的是同一个方程，因为上一步那个相反数的结构）：

$$-\frac{2ab}{a+b}=\frac{2a^{2}b}{(a+b)(a-b)} .$$

两边同乘 $\dfrac{a+b}{2ab}$（$a>0$、$b>0$，可以除）：

$$-1=\frac{a}{a-b}\ \Longrightarrow\ -(a-b)=a\ \Longrightarrow\ b=2a .$$

即 $4a^{2}=b^{2}$，与官方解析写的一模一样。（顺带验掉刚才那条约束：$b=2a\neq a$ ✓。）

⑤ 收口。

$$e=\sqrt{1+\left(\frac{b}{a}\right)^{2}}=\sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}.$$

选 C。

代回去验一遍（这一步别省，上面约分了好几次）。取 $a=1$、$b=2$：$A(1,0)$，$B\left(\dfrac13,\dfrac23\right)$，$C(-1,2)$，三点的横纵坐标之和都是 $1$，确实都在 $x+y=1$ 上；而

$$\overrightarrow{AB}=\left(-\frac23,\ \frac23\right),\qquad \overrightarrow{BC}=\left(-\frac43,\ \frac43\right)=2\,\overrightarrow{AB}\ \checkmark$$

解法二：全题只有一个未知数 $t=\frac{b}{a}$——先把 $a$ 约掉，字母就只剩一个

解法一里 $a$ 和 $b$ 一直粘在一起走完全程，最后又被一起除掉。既然冷启动已经说清「$a$ 只是个尺度」，不如一开始就把它定死。

① 取 $a=1$。 把 $a$、$b$ 同时除以 $a$，双曲线变成 $x^{2}-\dfrac{y^{2}}{t^{2}}=1$，顶点 $A(1,0)$，直线 $x+y=1$，渐近线 $y=\pm tx$。图整体缩小了 $a$ 倍，$|AB|:|BC|$ 与 $e$ 都没变——这不是「不妨设」的口头便宜，是齐次性给的。此后全篇只有 $t$ 一个字母。

② 两个交点的横坐标。 只要横坐标：

$$x+tx=1\ \Longrightarrow\ x_{B}=\frac{1}{1+t}; \qquad x-tx=1\ \Longrightarrow\ x_{C}=\frac{1}{1-t}\quad(t\neq 1).$$

③ 向量条件只看横坐标就够。 三点共线于斜率 $-1$ 的直线，纵坐标由横坐标唯一决定（$y=1-x$），所以向量等式的两个分量是同一句话。写横坐标那一句：

$$x_{B}-x_{A}=\frac12\left(x_{C}-x_{B}\right) \iff 3x_{B}=2x_{A}+x_{C},$$

代入 $x_{A}=1$：

$$\frac{3}{1+t}=2+\frac{1}{1-t}.$$

两边同乘 $(1+t)(1-t)$：

$$3(1-t)=2\left(1-t^{2}\right)+(1+t) \ \Longrightarrow\ 3-3t=3+t-2t^{2} \ \Longrightarrow\ 2t^{2}-4t=0 ,$$

即

$$2t\,(t-2)=0 .$$

④ 挑根。 $t=\dfrac{b}{a}>0$，$t=0$ 舍去，只剩 $t=2$（顺带满足 ② 里要的 $t\neq 1$）。

⑤ 收口。 $e=\sqrt{1+t^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$。选 C。

这条路省在哪。 解法一的分母是 $a+b$、$a-b$、$a^{2}-b^{2}$ 三种，通分时最容易写错；这里的分母只有 $1+t$ 与 $1-t$，通分一次就完。换个说法：求离心率的题，最后总要把只含 $a$、$b$、$c$ 的齐次式子两边同除以 $a$ 的相应次数，让 $\dfrac{b}{a}$ 或 $\dfrac{c}{a}$ 成为唯一的字母——解法一是在算完之后除（$4a^{2}=b^{2}\div a^{2}$），这里是在列式之前就除掉了。

解法三：先不碰那条直线——「三等分点 + 两条渐近线互为镜像」一步把 $C$ 定死

前两条路都是「先求交点、再用比例」。反过来走一遍：先用比例，最后才让直线出场。这条路会顺手抖出一个前两条看不见的结构。

① 把比例写成坐标等式。 由冷启动那一步，$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AB}$，即

$$B=A+\frac13\left(C-A\right)=\frac{2A+C}{3}.$$

② 只设一个未知数。 设 $C$ 在渐近线 $y=-tx$ 上，写作 $C(p,\,-tp)$；$A(a,0)$ 是已知的。于是

$$B=\left(\frac{2a+p}{3},\ \frac{-tp}{3}\right).$$

③ 让 $B$ 落在另一条渐近线上——$p$ 当场出来。 $B$ 在 $y=tx$ 上：

$$\frac{-tp}{3}=t\cdot\frac{2a+p}{3} \ \xrightarrow{\ t>0\ \text{可约}\ }\ -p=2a+p \ \Longrightarrow\ p=-a .$$

于是

$$C(-a,\ ta)=C(-a,\ b).$$

这一步一个字都没用到「斜率 $-1$」。换句话说：只要一条直线交两条渐近线于 $B$、$C$，且 $B$ 是 $A$ 到 $C$ 的三等分点，那么 $C$ 的横坐标必然是 $-a$——它是「三等分」与「两条渐近线关于 $x$ 轴对称」这两件事撞出来的，与直线有多陡无关。斜率 $-1$ 这个条件还没花掉，正好留到最后一步用。

④ 现在才让直线出场。 直线过 $A(a,0)$、斜率 $-1$，即 $y=a-x$。把 $C$ 的横坐标 $-a$ 代进去：$y=a-(-a)=2a$。而 ③ 已经算出 $C$ 的纵坐标是 $ta$，两者必须相等：

$$ta=2a\ \xrightarrow{\ a>0\ }\ t=2 .$$

⑤ 收口。 $e=\sqrt{1+t^{2}}=\sqrt{5}$。选 C。

⑥ 顺手把「哪条渐近线是哪条」结掉。 上面默认了「$B$ 在 $y=tx$ 上、$C$ 在 $y=-tx$ 上」。反过来试试：设 $C(p,\,tp)$，同样由 $B=\dfrac{2A+C}{3}$ 与「$B$ 在 $y=-tx$ 上」得

$$\frac{tp}{3}=-t\cdot\frac{2a+p}{3}\ \Longrightarrow\ p=-a , \qquad C(-a,\ -ta),$$

再代回直线：$-ta=2a$，即 $t=-2<0$，与 $t=\dfrac{b}{a}>0$ 矛盾。所以两条渐近线的分配是被条件唯一定死的，不用靠画图猜。 这也是这类题最常见的翻车点：随手挑一条渐近线联立，算出来的数看着像模像样，其实对应的是一个不存在的位置。