双曲线的渐近线

教材原文

一般地，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{b^2} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的两支向外延伸时，与两条直线 $\frac{x}{a}\pm \frac{y}{b} = 0$ 逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.

方程

即以顶点与虚轴端点围成的特征矩形（$x=\pm a$、$y=\pm b$ 四条线围出的那个）的两条对角线所在直线。

要点

• 两条，不是一条。 题目里出现「交渐近线于点 $B$」时，先看条件（$B$ 的横坐标符号、所在象限）挑对是哪一条——挑错整题全错。
• 焦点到渐近线的距离恒为 $b$。 焦点 $(\pm c,0)$ 到 $bx\mp ay=0$ 的距离是 $\dfrac{bc}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{bc}{c}=b$。这个结论把 $b$ 变成了一条看得见的长度，几何题里极常用。
• 渐近线的斜率 $\dfrac ba$ 与离心率一一对应：$e=\sqrt{1+(b/a)^2}$。求出斜率就等于求出了 $e$，反之亦然。
• 双曲线上的点永远够不到渐近线，但过焦点的直线可以与渐近线相交——那个交点不在双曲线上，别把它当成曲线上的点用。