浙江 2012 · 数学 q08

冷启动：整道题只是在问一个数

题面把五个对象串成一条链：左焦点 $F_1(-c,0)$、虚轴端点 $B(0,b)$ 定出一条直线；这条直线与两条渐近线交出 $P$、$Q$；$PQ$ 的垂直平分线与 $x$ 轴交出 $M$。$M$ 在 $x$ 轴上，所以它只有一个坐标 $x_M$——整条链走完，剩下的就是这一个数。拿到它，任何一句关于 $|MF_1|$、$|MF_2|$ 的话都变成一条关于 $a$、$b$、$c$ 的方程。

三条路走法不同，落点完全一致：

$$x_M=\frac{c^{3}}{b^{2}} .$$

这个数有一条不受任何条件影响的性质：由 $b^{2}=c^{2}-a^{2}<c^{2}$ 得 $\dfrac{c^{2}}{b^{2}}>1$，于是

$$x_M=c\cdot\frac{c^{2}}{b^{2}}>c\qquad(\text{对一切合法的双曲线}) .$$

$M$ 永远落在 $F_2$ 的右边。这条「白送」的不等式马上要用两次——一次断定原卷那句条件无解，一次定 $M$ 与 $F_2$ 的前后次序。

所以这道题要先说一句不太寻常的话：按原卷印的条件，四个选项没有一个对。 $|MF_1|=x_M+c>2c=|F_1F_2|$ 是恒成立的，那句「$|MF_1|=|F_1F_2|$」一条双曲线也不满足。官方答案是 B（$e=\dfrac{\sqrt6}{2}$），而通往它的条件是 $|MF_2|=|F_1F_2|$——下面三条解法都以这一句为前提，每一条都会先把「原卷那句无解」独立验一遍，再在这个前提下算。这个前提怎么辨认出来的、它有多硬、哪里靠了官方答案，全部摊在后面的专节里。

解法一：老实设点——求 $P$、$Q$，取中点，写垂直平分线，交 $x$ 轴

本条的前提，先说清楚。 原卷印的条件是 $|MF_1|=|F_1F_2|$，它无解——这一点本条算完 $x_M$ 之后会立刻独立验一遍。与原卷配图及官方答案同时相容的读法是

$$|MF_2|=|F_1F_2| ,$$

本条即以这一句为条件。它不是从题面推出来的，而是对一处印刷错误的辨认；辨认的依据、以及这个辨认到底有多硬（有一种同样自然的修法给出同一个答案，也有一种读法会落到别的选项），全部摊在后面的「原卷这道题的条件与答案对不上」一节里，请连着读。

怎么想到的。 链上每一环都是「两条直线求交点」或「取中点」，没有一步需要技巧，只需要不把两条渐近线弄混。

直线 $F_1B$ 过 $F_1(-c,0)$ 与 $B(0,b)$，斜率 $\dfrac{b}{c}$：

$$\ell:\ y=\frac{b}{c}(x+c).$$

与 $y=\dfrac{b}{a}x$ 交。 约去 $b$：$\dfrac{x+c}{c}=\dfrac{x}{a}$，即 $a(x+c)=cx$，得 $x=\dfrac{ac}{c-a}>0$（用了 $c>a$），

$$Q=\left(\frac{ac}{c-a},\ \frac{bc}{c-a}\right).$$

与 $y=-\dfrac{b}{a}x$ 交。 同样约去 $b$：$a(x+c)=-cx$，得 $x=-\dfrac{ac}{a+c}<0$，

$$P=\left(-\frac{ac}{a+c},\ \frac{bc}{a+c}\right).$$

两个横坐标一正一负，与「$P$ 在左、$Q$ 在右」的图形相符——这一步就是在挑渐近线，挑反了下面全错。

中点。 用 $c^{2}-a^{2}=b^{2}$：

$$x_N=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{c-a}-\frac{ac}{a+c}\right)=\frac{ac}{2}\cdot\frac{2a}{c^{2}-a^{2}}=\frac{a^{2}c}{b^{2}}, \qquad y_N=\frac{bc}{2}\cdot\frac{2c}{c^{2}-a^{2}}=\frac{c^{2}}{b}.$$

垂直平分线交 $x$ 轴。 它过 $N$、斜率 $-\dfrac{c}{b}$。从 $N$ 走到 $y=0$，纵坐标降了 $y_N$，横坐标就增加 $y_N\cdot\dfrac{b}{c}$：

$$x_M=x_N+\frac{c^{2}}{b}\cdot\frac{b}{c}=\frac{a^{2}c}{b^{2}}+c=\frac{c(a^{2}+b^{2})}{b^{2}}=\frac{c^{3}}{b^{2}} .$$

先看一眼这个数。 $b^{2}=c^{2}-a^{2}<c^{2}$，故 $\dfrac{c^{2}}{b^{2}}>1$，于是 $x_M>c$：$M$ 一定在 $F_2$ 的右侧，从而

$$|MF_1|=x_M+c=\frac{c^{3}}{b^{2}}+c>c+c=2c=|F_1F_2| .$$

$|MF_1|>|F_1F_2|$ 对每一条双曲线都成立——原卷印的那句「$|MF_1|=|F_1F_2|$」一个解也没有（真要解，$\dfrac{c^{3}}{b^{2}}=c$ 给出 $c^{2}=b^{2}$，即 $a^{2}=0$，不是双曲线）。

回到本条开头声明的前提 $|MF_2|=|F_1F_2|$。 上式已证 $M$ 在 $F_2$ 右侧，故 $|MF_2|=x_M-c$：

$$x_M-c=2c\ \Longrightarrow\ \frac{c^{3}}{b^{2}}=3c\ \Longrightarrow\ c^{2}=3b^{2}=3(c^{2}-a^{2})\ \Longrightarrow\ 2c^{2}=3a^{2},$$ $$e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{3}{2},\qquad e=\frac{\sqrt6}{2}.$$

选 B。

解法二：只留一个字母 $e$——令 $a=1$，全程不出现 $b$ 与 $c$

本条的前提，先说清楚。 原卷印的条件是 $|MF_1|=|F_1F_2|$，它无解——这一点本条算完 $x_M$ 之后会立刻独立验一遍。与原卷配图及官方答案同时相容的读法是

$$|MF_2|=|F_1F_2| ,$$

本条即以这一句为条件。它不是从题面推出来的，而是对一处印刷错误的辨认；辨认的依据、以及这个辨认到底有多硬（有一种同样自然的修法给出同一个答案，也有一种读法会落到别的选项），全部摊在后面的「原卷这道题的条件与答案对不上」一节里，请连着读。

怎么想到的。 问的是离心率，而离心率对整条曲线的放缩免疫：把 $a,b,c$ 同时乘一个正数，图形只是等比例放大，$M$、$F_1$、$F_2$ 一起放大，任何两段长度之比不变。所以可以直接令 $a=1$，此时 $c=e$、$b^{2}=e^{2}-1$（由 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$），全题只剩一个未知数。

$F_1(-e,0)$，$B(0,\sqrt{e^{2}-1})$，渐近线 $y=\pm\sqrt{e^{2}-1}\,x$，直线 $\ell:\ y=\dfrac{\sqrt{e^{2}-1}}{e}(x+e)$。约去公因子 $\sqrt{e^{2}-1}$ 后，两次求交都只剩一次方程：

$$\frac{x+e}{e}=x\ \Longrightarrow\ x_Q=\frac{e}{e-1}; \qquad \frac{x+e}{e}=-x\ \Longrightarrow\ x_P=-\frac{e}{e+1}.$$

$e>1$ 保证 $x_Q>0>x_P$，与「$Q$ 在右、$P$ 在左」相符。于是

$$x_N=\frac{1}{2}\left(\frac{e}{e-1}-\frac{e}{e+1}\right)=\frac{e}{2}\cdot\frac{2}{e^{2}-1}=\frac{e}{e^{2}-1}, \qquad y_N=\frac{\sqrt{e^{2}-1}}{e}\left(x_N+e\right)=\frac{\sqrt{e^{2}-1}}{e}\cdot\frac{e^{3}}{e^{2}-1}=\frac{e^{2}}{\sqrt{e^{2}-1}} .$$

垂直平分线斜率 $-\dfrac{e}{\sqrt{e^{2}-1}}$，从 $N$ 落到 $x$ 轴横坐标增加 $y_N\cdot\dfrac{\sqrt{e^{2}-1}}{e}=e$：

$$x_M=\frac{e}{e^{2}-1}+e=\frac{e^{3}}{e^{2}-1}.$$

这就是 $a=1$ 下的 $\dfrac{c^{3}}{b^{2}}$。 由 $e^{2}-1<e^{2}$ 得 $x_M>e$，即 $M$ 在 $F_2(e,0)$ 右侧，于是 $|MF_1|=x_M+e>2e=|F_1F_2|$——原卷那句 $|MF_1|=|F_1F_2|$ 无解（它要求 $\dfrac{e^{3}}{e^{2}-1}=e$，即 $e^{2}-1=e^{2}$）。

按本条开头声明的前提 $|MF_2|=|F_1F_2|$（$M$ 在 $F_2$ 右侧已由上式证得，故 $|MF_2|=x_M-e$）：

$$\frac{e^{3}}{e^{2}-1}-e=2e\ \Longrightarrow\ \frac{e^{3}}{e^{2}-1}=3e\ \Longrightarrow\ e^{2}=3e^{2}-3\ \Longrightarrow\ e^{2}=\frac{3}{2},$$

故 $e=\dfrac{\sqrt6}{2}$，选 B。

这条路省下的：$a$、$b$、$c$ 三个字母全程只出现一个，没有一次需要「回头把 $c^{2}-a^{2}$ 换成 $b^{2}$」——那正是解法一里最容易写错的一步。

解法三：不求交点——两条渐近线合成一个二次方程，点差法一步定出中点

本条的前提，先说清楚。 原卷印的条件是 $|MF_1|=|F_1F_2|$，它无解——这一点本条算完 $x_M$ 之后会立刻独立验一遍。与原卷配图及官方答案同时相容的读法是

$$|MF_2|=|F_1F_2| ,$$

本条即以这一句为条件。它不是从题面推出来的，而是对一处印刷错误的辨认；辨认的依据、以及这个辨认到底有多硬（有一种同样自然的修法给出同一个答案，也有一种读法会落到别的选项），全部摊在后面的「原卷这道题的条件与答案对不上」一节里，请连着读。

怎么想到的。 要的只是中点 $N$，而点差法的强项恰恰是「不解交点，直接把弦的斜率与中点捆在一起」。障碍看上去是「$P$、$Q$ 不在同一条曲线上」——但把两条渐近线的方程相乘就破了：

$$\left(\frac{x}{a}-\frac{y}{b}\right)\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}\right)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0 .$$

两条渐近线合起来就是一条（退化的）二次曲线，$P$、$Q$ 都在它上面。

把 $P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$ 代入并相减，右端 $0-0=0$：

$$\frac{x_1^{2}-x_2^{2}}{a^{2}}=\frac{y_1^{2}-y_2^{2}}{b^{2}} \ \Longrightarrow\ \frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{a^{2}}=\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{b^{2}} .$$

除以 $x_1-x_2$（$\ell$ 不竖直，两个横坐标不等），并代入 $x_1+x_2=2x_N$、$y_1+y_2=2y_N$、$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=k$：

$$k\cdot\frac{y_N}{x_N}=\frac{b^{2}}{a^{2}} .$$

与双曲线 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的那条一模一样——右端的常数在相减时被消掉了，是 $1$ 还是 $0$ 根本不影响。

现在 $k=\dfrac{b}{c}$，且 $N$ 在 $\ell$ 上：$y_N=\dfrac{b}{c}(x_N+c)$。代进去：

$$\frac{b}{c}\cdot\frac{\frac{b}{c}(x_N+c)}{x_N}=\frac{b^{2}}{a^{2}} \ \Longrightarrow\ \frac{x_N+c}{x_N}=\frac{c^{2}}{a^{2}} \ \Longrightarrow\ a^{2}(x_N+c)=c^{2}x_N \ \Longrightarrow\ x_N=\frac{a^{2}c}{c^{2}-a^{2}}=\frac{a^{2}c}{b^{2}},$$

随之 $y_N=\dfrac{b}{c}\left(\dfrac{a^{2}c}{b^{2}}+c\right)=\dfrac{b}{c}\cdot\dfrac{c^{3}}{b^{2}}=\dfrac{c^{2}}{b}$。垂直平分线从 $N$ 落到 $x$ 轴，横坐标增加 $y_N\cdot\dfrac{b}{c}=c$：

$$x_M=\frac{a^{2}c}{b^{2}}+c=\frac{c^{3}}{b^{2}} .$$

点差法欠的那一步，这里必须补。 点差法只用了「两个端点在曲线上」，是必要条件；平时补的是「中点必须落在曲线内部」，可退化曲线是两条直线、没有内部，那条检查在这里无从谈起。真正要补的存在性检查换了形状：$\ell$ 必须同时与两条渐近线各交于一点，即 $\dfrac{b}{c}\neq\pm\dfrac{b}{a}$，也就是 $c\neq a$——由 $c>a$ 自动成立。（若 $\ell$ 与某条渐近线平行，就只有一个交点，$PQ$ 不存在，上面解出的 $N$ 是个幻影。）

收尾。 $b^{2}=c^{2}-a^{2}<c^{2}$ 给出 $x_M=c\cdot\dfrac{c^{2}}{b^{2}}>c$，故 $M$ 在 $F_2$ 右侧，$|MF_1|=x_M+c>2c=|F_1F_2|$——原卷那句 $|MF_1|=|F_1F_2|$ 无解。按本条开头声明的前提 $|MF_2|=|F_1F_2|$（$M$ 在 $F_2$ 右侧已证，故 $|MF_2|=x_M-c$）：$\dfrac{c^{3}}{b^{2}}=3c$，即 $c^{2}=3(c^{2}-a^{2})$，$e^{2}=\dfrac32$，$e=\dfrac{\sqrt6}{2}$，选 B。

原卷这道题的条件与答案对不上

上面三条路各自独立地给出同一个结论，这里把它单独摆出来，因为它不是「某一步算错了」，而是题面本身的问题：

（一）按原卷印的条件，本题无解。 $|MF_1|=x_M+c=\dfrac{c^{3}}{b^{2}}+c$，而 $\dfrac{c^{2}}{b^{2}}=\dfrac{c^{2}}{c^{2}-a^{2}}>1$，所以

$$|MF_1|>2c=|F_1F_2|\qquad\text{对每一条双曲线都成立。}$$

等号要求 $c^{2}=b^{2}$，即 $a^{2}=0$——那已经不是双曲线了。所以满足「$|MF_1|=|F_1F_2|$」的双曲线一条也没有，四个选项里没有一个是对的，题目本身不成立。

（二）改一个下标，题目立刻自洽，答案正是官方的 B。 把条件读成 $|MF_2|=|F_1F_2|$：

$$\frac{c^{3}}{b^{2}}-c=2c\ \Longrightarrow\ \frac{c^{3}}{b^{2}}=3c\ \Longrightarrow\ 2c^{2}=3a^{2}\ \Longrightarrow\ e=\frac{\sqrt6}{2},$$

与原卷答案 B 一致。等价地也可以说成「$|MF_1|=2|F_1F_2|$」——因为此时 $|MF_1|=x_M+c=4c$，$|MF_2|=2c$，两种说法同一个方程。

（三）这个「读法」有多硬——依据与限度都摆出来。

题干首句是「如图」，原卷配了图，图上：$F_1$、$O$、$F_2$ 自左向右排在 $x$ 轴上，$P$ 在第二象限、$Q$ 在第一象限远处，直线自 $F_1$ 向右上；$M$ 画在 $F_2$ 的右侧，且与 $F_2$ 明显分开。据此可以排除两种读法：

• 「原样成立」被排除。 若真有 $|MF_1|=|F_1F_2|=2c$，则 $x_M=c$，$M$ 应当正好压在 $F_2$ 上；图上不会把它们画成两个分开的点。何况（一）已经证明这句话根本无解。
• 「直线其实是 $F_2B$」被排除——但它给出同一个答案。 把 $F_1B$ 读作 $F_2B$、条件一字不改，整幅图关于 $y$ 轴镜像，于是 $x_M=-\dfrac{c^{3}}{b^{2}}<-c$，$M$ 落在 $F_1$ 左边，$|MF_1|=\dfrac{c^{3}}{b^{2}}-c=\dfrac{a^{2}c}{b^{2}}$。令它等于 $2c$ 得 $a^{2}=2b^{2}=2(c^{2}-a^{2})$，即 $3a^{2}=2c^{2}$，还是 $e=\dfrac{\sqrt6}{2}$。图把这条读法排除了（图上 $M$ 在右不在左），但两种最自然的修法落到同一个 $e$——这反过来说明 $\dfrac{\sqrt6}{2}$ 这个答案是稳的，不是被某一种改法凑出来的。

限度也要说清楚：「与四个选项相容」并不能把读法钉死。 反证一下：把条件读成 $|MO|=|F_1F_2|$（$O$ 为原点），得 $\dfrac{c^{3}}{b^{2}}=2c$，即 $c^{2}=2a^{2}$，$e=\sqrt2$——落在选项 C；而且此时 $x_M=2c>c$，$M$ 照样在 $F_2$ 右侧且与之分开，图也不排除它。所以：

把读法钉死的是官方答案 B，不是选项表，也不是图。图只排除了两种，答案排除了第三种。

这一步用到了官方答案——它是辨认一处印刷错误，不是解题。本站把这条界线明写出来，而不是塞进一句「显然应为」就滑过去。照原卷字面解这道题，正确的回答是「无解」；三条解法都以修订后的条件 $|MF_2|=|F_1F_2|$ 为前提，落到官方答案 $e=\dfrac{\sqrt6}{2}$。校订层只把被转写撕坏的选项 D 合回一行，题面文字一个字不改（q08-fix.md 的 note: 里记着同一套取证）。

三条提醒

1. 算出矛盾时，先复核、再断言，不要偷改。 这道题一路走到 $c^{2}=b^{2}$ 也就是 $a^{2}=0$，正确的动作是回头把每一步验一遍（本题三条独立的路都落到同一个 $x_M$，矛盾是稳的），然后敢写「条件不可满足」。最坏的做法是心里觉得「答案总该是四个选项之一」，于是把某个下标悄悄换掉、把过程写得像是顺理成章——答案对了，推理是假的，这种错在自查时最难发现，因为结果看起来是对的。真要改，就把它当成一条待证命题摆到台面上：写清楚改了哪一个字、凭什么（本题凭的是原卷配图）、以及这个凭据管不管得住（本题管住了两种读法，第三种是靠官方答案才排除的）。
2. 「渐近线」有两条，交点归属由符号定。 $\ell$ 与 $y=\dfrac ba x$ 的交点横坐标是 $\dfrac{ac}{c-a}>0$，与 $y=-\dfrac ba x$ 的是 $-\dfrac{ac}{a+c}<0$。若把两者对调，中点 $N$ 与 $M$ 全错，而算式表面上照样通顺。每求出一个交点，顺手看一眼它的符号落在图的哪一侧。
3. 问离心率就该只留一个字母。 离心率对整体放缩免疫，令 $a=1$ 是免费的；剩下 $c=e$、$b^{2}=e^{2}-1$，$a$、$b$、$c$ 之间来回换的机会一次都不给。本题解法一里 $\dfrac{a^{2}c}{b^{2}}+c=\dfrac{c^{3}}{b^{2}}$ 这一步要用 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$，而解法二里同一步是 $\dfrac{e}{e^{2}-1}+e=\dfrac{e^{3}}{e^{2}-1}$，通分即可。