点差法

解题套路

设弦的两端 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 都在曲线上，把两点分别代入曲线方程再相减。 二次项作差出现平方差，可以拆成「差 × 和」，而差之比就是斜率、和之半就是中点：

于是一条含 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 的式子塌缩成一条只含 $k$ 与中点 $(x_0,y_0)$ 的式子。 联立、韦达、判别式一步都不用。

三条曲线上的结论

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$：两式相减得 $\dfrac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}+\dfrac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}=0$，即

双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 同样一减，只是符号翻过来：

抛物线 $y^2=2px$ 更短——相减得 $(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)$，所以

抛物线这一条尤其好用：弦的斜率只由中点的纵坐标决定，与横坐标无关。

它省掉了什么

设线联立要经历「代入 → 整理成二次 → 韦达 → 中点」四步，中间还拖着一个判别式； 点差法把这四步压成一次相减。代价是它只用到「两点在曲线上」， 所以拿到的永远是必要条件。

用完必须回头补的一步

点差法默认这条弦真的存在（两个交点是实的）。式子解出来之后要验：

• 椭圆：中点 $(x_0,y_0)$ 必须落在椭圆内部（$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}<1$）；
• 双曲线：还要检查这条弦是落在同一支上还是跨两支；
• 抛物线：中点必须在抛物线内侧（$y_0^2<2px_0$）。

不验就可能解出一条根本不存在的弦——这是点差法唯一的坑，但踩中就是零分。