浙江 2011 · 数学 q21

题面

21、（2011•浙江）已知抛物线$C_{1} \colon x^{2}{=} y$，圆$C_{2} : {x}^{2} + ( y - 4 )^{2} = 1$的圆心为点M

（Ⅰ）求点M到抛物线$C_{1}$的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线$C_{1}$上一点（异于原点），过点P作圆$C_{2}$的两条切线，交抛物线$C_{1}$于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程

（Ⅰ）求点M到抛物线$C_{1}$的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线$C_{1}$上一点（异于原点），过点P作圆$C_{2}$的两条切线，交抛物线$C_{1}$于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程

解析

分析

（I）由题意抛物线$C_{1} \colon x^{2} = y$，可以知道其准线方程为$y = - \frac{1}{4}$，有圆$C_{2} : {x}^{2} + ( y - 4 )^{2} = 1$的方程可以知道圆心坐标为（0，4），所求易得到所求的点到线的距离；

（II）由于已知点 P 是抛物线 C1上一点（异于原点），所以可以设出点 P 的坐标，利用过点 P 作圆 C2的两条切线，交抛物线$C_{1}$于A，B两点，也可以设出点A，B的坐标，再设出过P的圆$C_{2}$的切线方程，利用交与抛物线$C_{2}$两点，联立两个方程，利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子，有已知的MP⊥AB，得到方程进而求解

解答

解：（I）由题意画出简图为：

由于抛物线$C_{1} \colon x^{2}{=} y$

利用抛物线的标准方程易知其准线方程为：$y = - \frac{1}{4}$

利用圆$C_{2} : {x}^{2} + ( y - 4 )^{2} = 1$的方程得起圆心M（0，4），

利用点到直线的距离公式可以得到距离为$\frac{1 7}{4}$

（II）设点$P ( x_{0} , x_{0}{}^{2} ) , A ( x_{1} , x_{1}{}^{2} ) , B ( x_{2} , x_{2}{}^{2} ) ;$；

由题意得：x0≠0，x2≠±1，x1≠x2，

设过点P的圆c2的切线方程为：$y - x_{0}^{2} = k ( x - x_{0} )$即$y = k x - k x_{0} + x_{0}^{2}$ $\textcircled{1}$

则$\frac{\vert k x_{0} + 4 - x_{0}^{2} \vert}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1$，即$( x_{0}^{2} - 1 ) k^{2} + 2 x_{0} ( 4 - x_{0}^{2} ) k + ( x_{0}^{2} - 4 )^{2} - 1 = 0$，

设PA，PB的斜率为$k_{1} , k_{2} ( k_{1} \neq k_{2} )$，则$k_{1}$，$k_{2}$应该为上述方程的两个根，

$\therefore k_{1} + k_{2} = \frac{2 x_{0}^{2} (x_{0}^{2} - 4)}{x_{0}^{2} - 1}, k_{1} \bullet k_{2} = \frac{(x_{0}^{2} - 4)^{2} - 1}{x_{0}^{2} - 1};$

代入$\textcircled{1}$得：$x^{2} - k x + k x_{0} - x_{0}^{2} = 0$则x1，x2应为此方程的两个根，

故$x_{1} = k_{1} - x_{0} , x_{2} = k_{2} - x_{0}$

$\therefore \mathrm{k}_{\mathrm{AB}} = \mathrm{x}_{1} + \mathrm{x}_{2} = \mathrm{k}_{1} + \mathrm{k}_{2} - 2 \mathrm{x}_{0} = \frac{2 x_{0} (x_{0}^{2} - 4)}{x_{0}^{2} - 1} - 2 x_{0}, k_{M P} = \frac{x_{0}^{2} - 4}{x_{0}}$

由于$\ M P \bot A B , \therefore k_{A B} \bullet k_{\mathrm{M P}} = - 1 \Rightarrow x_{0}^{2} = \frac{2 3}{5}$

故$P ( \pm \sqrt{\frac{2 3}{5}} , \frac{2 3}{5} )$，直线l的方程为：$y = \pm \frac{3 \sqrt{1 1 5}}{1 1 5} x + 4$