浙江 2014 · 数学 q16

冷启动：三句话把题面翻译干净

第一句：两条渐近线可以合成一个方程。 双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的两条渐近线是 $y=\pm\dfrac{b}{a}x$，也就是 $bx-ay=0$ 与 $bx+ay=0$。把它们乘起来：

$$(bx-ay)(bx+ay)=b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0 .$$

这一个二次方程就代表那两条直线——把双曲线方程右边的 $1$ 换成 $0$ 即得。 往后无论联立还是作差，两条渐近线都可以当成”一条曲线”来处理，这是本题所有简化的源头。

第二句：$|PA|=|PB|$ 换成一个斜率条件。 记 $Q$ 为 $AB$ 的中点。$A\neq B$ 时，

$$|PA|=|PB|\iff P\ \text{在}\ AB\ \text{的垂直平分线上}\iff PQ\perp AB .$$

（$A\neq B$ 要验：只要直线不平行于渐近线，即斜率 $\dfrac13\neq\pm\dfrac ba$。算完回头看。）

第三句——这道题真正的机关：$Q$ 跟双曲线毫无关系。 $PQ\perp l$ 且 $Q$ 在 $l$ 上，这两句话已经把 $Q$ 钉死了：

$Q$ 就是点 $P$ 到直线 $l$ 的垂足。

垂足算一次就有了。$l:\,x-3y+m=0$ 的法向量是 $(1,-3)$，$P(m,0)$ 代进左边得 $m+m=2m$，于是

$$Q=(m,0)-\frac{2m}{1^{2}+(-3)^{2}}\,(1,-3)=(m,0)-\frac{m}{5}(1,-3) =\left(\frac{4m}{5},\ \frac{3m}{5}\right).$$

$a$、$b$ 一个都没出现。于是全题只剩一个条件：这个现成的 $Q$ 恰好是两条渐近线在 $l$ 上截出的那条弦的中点。 三条路就是把这句话算三遍。

顺带一句：为什么答案里没有 $m$？$A$、$B$、$Q$ 的坐标全都正比于 $m$，条件是齐次的，$m$ 会约掉。 题面只需要 $m\neq 0$——$m=0$ 时直线过原点，$A=B=O$，中点和垂直平分线都没意义了。

解法一：把 $A$、$B$ 都解出来，算中点再逼垂直

原卷【解析 1】的路线，最直白，也最长。

$A$ 是 $l$ 与 $bx-ay=0$（即 $y=\frac bax$）的交点。代入 $x-3y+m=0$：

$$x-\frac{3b}{a}x+m=0\ \Longrightarrow\ \frac{a-3b}{a}\,x=-m\ \Longrightarrow\ x_A=\frac{-am}{a-3b},\quad y_A=\frac ba x_A=\frac{-bm}{a-3b}.$$

$B$ 是 $l$ 与 $bx+ay=0$（即 $y=-\frac bax$）的交点，同法：

$$x_B=\frac{-am}{a+3b},\qquad y_B=\frac{bm}{a+3b}.$$

取中点，两个分数各通分一次：

$$x_Q=\frac12\left(\frac{-am}{a-3b}+\frac{-am}{a+3b}\right) =-\frac{am}{2}\cdot\frac{2a}{a^{2}-9b^{2}}=-\frac{a^{2}m}{a^{2}-9b^{2}},$$ $$y_Q=\frac12\left(\frac{-bm}{a-3b}+\frac{bm}{a+3b}\right) =\frac{bm}{2}\cdot\frac{-6b}{a^{2}-9b^{2}}=-\frac{3b^{2}m}{a^{2}-9b^{2}} .$$

现在算 $k_{PQ}$。分子分母同时乘掉 $-\dfrac{a^{2}-9b^{2}}{m}$，那一堆分母一次约干净：

$$k_{PQ}=\frac{y_Q-0}{x_Q-m} =\frac{-\dfrac{3b^{2}m}{a^{2}-9b^{2}}}{-\dfrac{a^{2}m}{a^{2}-9b^{2}}-m} =\frac{3b^{2}}{a^{2}+(a^{2}-9b^{2})}=\frac{3b^{2}}{2a^{2}-9b^{2}} .$$

由 $k_{PQ}\cdot k_l=-1$、$k_l=\dfrac13$：

$$\frac{b^{2}}{2a^{2}-9b^{2}}=-1\ \Longrightarrow\ b^{2}=9b^{2}-2a^{2}\ \Longrightarrow\ 2a^{2}=8b^{2}\ \Longrightarrow\ \boxed{a^{2}=4b^{2}} .$$

最后换成 $e$。双曲线是 $b^{2}=c^{2}-a^{2}$（别把另一族曲线的 $b^2=a^2-c^2$ 顺手写上，见易错点圆锥曲线的abc关系记混）：

$$a^{2}=4(c^{2}-a^{2})\ \Longrightarrow\ 5a^{2}=4c^{2}\ \Longrightarrow\ e^{2}=\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac54\ \Longrightarrow\ e=\frac{\sqrt5}{2}.$$

这条路上有两处要防：$a\neq 3b$（否则 $l$ 平行于一条渐近线，$A$ 根本不存在）， 以及 $a^{2}\neq 9b^{2}$（否则中点的式子分母为零）。结论 $a=2b$ 两条都满足，回验通过。

解法二：两条渐近线合成一个二次方程，韦达定理只取和

上一条把 $A$、$B$ 各算了一遍，其实只用到它们的和。既然两条渐近线合起来是一条二次曲线， 就按设线联立用韦达定理的标准动作走：

由 $l$ 得 $x=3y-m$，代进 $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0$：

$$b^{2}(3y-m)^{2}-a^{2}y^{2}=0 \ \Longrightarrow\ (9b^{2}-a^{2})y^{2}-6b^{2}my+b^{2}m^{2}=0 .$$

$A$、$B$ 的纵坐标就是这个方程的两根，于是

$$y_A+y_B=\frac{6b^{2}m}{9b^{2}-a^{2}} \ \Longrightarrow\ y_Q=\frac{3b^{2}m}{9b^{2}-a^{2}} .$$

而冷启动里已经把 $y_Q=\dfrac{3m}{5}$ 算出来了，两者一对：

$$\frac{3b^{2}m}{9b^{2}-a^{2}}=\frac{3m}{5}\ \Longrightarrow\ 5b^{2}=9b^{2}-a^{2} \ \Longrightarrow\ a^{2}=4b^{2} .$$

这条路省在哪：只要中点，就只要韦达的和——判别式不必算，两根之积不必碰， $A$、$B$ 谁在哪条渐近线上也不必分。式子比解法一短一半。

原卷【解析 2】的一处细节值得说。 它开头写「不妨设 $a=1$」。这一步是对的，但得给理由： 把 $(x,y)$ 连同 $(a,b,m)$ 一起乘同一个正数，题设的三个条件（直线过 $(-m,0)$、斜率 $\frac13$、 $|PA|=|PB|$）和渐近线方程都不变，而要求的 $e=\dfrac ca$ 是个比值、缩放下不动。 所以可以先把 $a$ 归一。归一化省力，但省的那点力得用一句话买——不写理由，这一步就是没根据的。

解法三：先落垂足把 $Q$ 定死，再用点差法定 $a:b$

冷启动已经交出了 $Q$。这条路把剩下那句「$Q$ 是弦的中点」直接翻译成一个关于 $a$、$b$ 的等式， 连联立都不做。

$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 都在 $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0$ 上——注意它们在两条不同的渐近线上，但满足的是同一个二次方程， 这正是把两条线合成一个方程的红利。两式相减：

$$b^{2}(x_1^{2}-x_2^{2})=a^{2}(y_1^{2}-y_2^{2}) \ \Longrightarrow\ b^{2}(x_1+x_2)(x_1-x_2)=a^{2}(y_1+y_2)(y_1-y_2).$$

两边除以 $2(x_1-x_2)$，并记 $k=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac13$：

$$b^{2}x_Q=a^{2}y_Q\,k .$$

这就是点差法在这条退化二次曲线上的样子。把 $Q\left(\dfrac{4m}{5},\dfrac{3m}{5}\right)$ 代进去：

$$b^{2}\cdot\frac{4m}{5}=a^{2}\cdot\frac{3m}{5}\cdot\frac13=\frac{a^{2}m}{5} \ \Longrightarrow\ 4b^{2}=a^{2} .$$

两行完事。 第一行只用 $P$ 和 $l$，第二行只用渐近线和 $Q$，两边各管一半，互不纠缠。

但点差法欠一次回验。 它假定了 $A$、$B$ 是一条真弦的两端（$x_1\neq x_2$、$A\neq B$）， 这一点必须回头查（见易错点点差法算完不验中点在曲线内）。查法：

$$a=2b\ \Longrightarrow\ \frac ba=\frac12\neq\frac13=k ,$$

所以 $l$ 既不平行于 $bx-ay=0$ 也不平行于 $bx+ay=0$，与两条渐近线各交于一点、$A\neq B$。回验通过。

其实这一条还可以先验地断掉，比事后回验更硬：两条渐近线唯一的公共点是原点， 所以 $A=B$ 只可能发生在 $A=B=O$；而 $O$ 在 $l$ 上要求 $m=0$，与题设 $m\neq0$ 矛盾。 也就是说 $A\neq B$ 由题设直接保证，除以 $2(x_1-x_2)$ 一开始就合法。 上面那次回验则顺手多验了一件事（$l$ 不平行于任一条渐近线，交点确实存在），两件事都成立。

最后把 $4b^{2}=a^{2}$ 收成 $e$：$c^{2}=a^{2}+b^{2}=5b^{2}$，$a^{2}=4b^{2}$，于是 $e^{2}=\dfrac{c^{2}}{a^{2}}=\dfrac54$，$e=\dfrac{\sqrt5}{2}$。

三条路怎么选

• 考场上求快 → 解法三。垂足一行、点差法一行，$30$ 秒。前提是记得「$|PA|=|PB|$ 里的中点就是垂足」。
• 不想记垂足公式，也懒得想点差法 → 解法二。联立一次、韦达取和，动作全是标准件。
• 只想稳 → 解法一。式子最长但一步都不跳，适合”这题我一定要拿分”的场合； 代价是那两个分式中点必须通分对，错一个符号全盘错。

三条路的公共骨架只有一句：$|PA|=|PB|$ ⟹ 中点 $Q$ 是 $P$ 到 $l$ 的垂足 ⟹ $Q$ 又是渐近线截的弦的中点。 三条路的差别只在第三步怎么算。

把斜率换一换：答案其实有个公式

把 $\dfrac13$ 换成一般的 $k$（直线仍过 $(-m,0)$，$P$ 仍是 $(m,0)$），两条路的算法一字不改。

垂足：$l:\,kx-y+km=0$，法向量 $(k,-1)$，$P(m,0)$ 代入左边得 $2km$，于是

$$Q=(m,0)-\frac{2km}{k^{2}+1}(k,-1) =\left(\frac{m(1-k^{2})}{k^{2}+1},\ \frac{2km}{k^{2}+1}\right).$$

代进点差法的 $b^{2}x_Q=a^{2}y_Q k$：

$$b^{2}\,\frac{m(1-k^{2})}{k^{2}+1}=a^{2}\,\frac{2km}{k^{2}+1}\cdot k \ \Longrightarrow\ \frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{2k^{2}}{1-k^{2}} ,$$ $$e^{2}=1+\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1-k^{2}+2k^{2}}{1-k^{2}}=\frac{1+k^{2}}{1-k^{2}} .$$

$k=\dfrac13$ 时 $e^{2}=\dfrac{1+\frac19}{1-\frac19}=\dfrac54$，回到原题。这个公式顺带交代了三件事：

• 必须 $|k|<1$。 否则 $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}\leq 0$，双曲线不存在——换句话说，这类题的斜率 不能随便给，出题人挑的 $\dfrac13$ 是被这个不等式框着的。
• $k$ 越接近 $\pm1$，$e$ 越大；$k\to 0$ 时 $e\to 1$，双曲线扁到贴着 $x$ 轴。
• 回验那一条自动成立。 要让 $l$ 平行于渐近线得有 $\dfrac{b^{2}}{a^{2}}=k^{2}$， 即 $\dfrac{2k^{2}}{1-k^{2}}=k^{2}$，解出 $k^{2}=-1$，不可能。 所以只要这类题有解，$A\neq B$ 就一定成立，那次回验永远查得过。

再换一处：把 $P$ 挪到 $(-m,0)$（直线自己的 $x$ 截距）。这时 $P$ 在 $l$ 上，垂足就是 $P$ 本身， 于是要求 $Q=P=(-m,0)$，代进 $b^{2}x_Q=a^{2}y_Qk$ 得 $-b^{2}m=0$，只能 $m=0$——与题设矛盾。 所以 $P$ 必须不在 $l$ 上，题面那个看着随意的 $(m,0)$ 是挑过的。

一句话带走

$|PA|=|PB|$ 把中点 $Q$ 钉成了 $P$ 到 $l$ 的垂足 $\left(\dfrac{4m}{5},\dfrac{3m}{5}\right)$—— 这一步跟双曲线无关；再要求它是两条渐近线（合写成 $b^{2}x^{2}-a^{2}y^{2}=0$）截出的弦的中点， 点差法一行给出 $a^{2}=4b^{2}$，于是 $e=\frac{\sqrt5}{2}.$ 把两条渐近线合成一个二次方程，是这道题从”长”变”短”的唯一开关。