必要条件

教材原文

一般地，“若 $p$，则 $q$”为真命题，是指由 $p$ 通过推理可以得出 $q$。这时，我们就说，由 $p$ 可以推出 $q$，记作

$p \Rightarrow q,$

并且说，p 是 q 的充分条件（sufficient condition），q 是 p 的必要条件 $^{\text{\textcircled{1}}}$ （necessary condition）.

①此时，如果 q 不成立，则 p 一定不成立。所以，q 对于 p 成立而言是必要的。请举例说明。

要点

• 一句话记住：必要 = 少它不行。$q$ 不成立，$p$ 就一定不成立（教材脚注说的正是这句）。
• 它与充分条件是同一件事的两头：同一个 $p\Rightarrow q$，从左往右读是「$p$ 是 $q$ 的充分条件」，从右往左读是「$q$ 是 $p$ 的必要条件」。谁充分谁必要，全看箭头指向谁——箭头射出的一端充分，射入的一端必要。
• 必要条件不保证结论成立：$q$ 成立并不能反推 $p$ 成立。「是动物」是「是猫」的必要条件，但看见一只动物不能断定它是猫。
• 性质定理给的都是必要条件（有了这个结论，就必然有这些性质），与判定定理给充分条件正好相对。

集合的说法

记 $A=\{x\mid p(x)\}$、$B=\{x\mid q(x)\}$，则

也就是大范围是小范围的必要条件：$B$ 装得下 $A$，所以想落在 $A$ 里，先得落在 $B$ 里。