浙江 2016 · 数学 q15

题面

15．（4分）（2016•浙江）已知向量$\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b}$，$| \overrightarrow{a} | = 1 , | \overrightarrow{b} | = 2$，若对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有$| \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} | + | \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} | \leq \sqrt{6}$，则$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$的最大值是

答案

$\frac{1}{2}$

解析

分析

根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论

解答

解：$\because \vert ( \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} ) \cdot \overrightarrow{e} \vert = \vert \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} + \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} \leq \vert \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{e} + \vert \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{e} \leq \sqrt{6}$

$\therefore | (\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{e} | \leq | \vec{a} + \vec{b} | \leq \sqrt{6},$

平方得：$\vert \overrightarrow{a} \vert^{2} + \vert \overrightarrow{b} \vert^{2} + 2 \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} \leq 6$

即$1^{2} + 2^{2} + 2 \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} \leq 6$

则$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} \leq \frac{1}{2}$，

故$\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b}$的最大值是$\frac{1}{2}$，

故答案为：$\frac{1}{2}$