浙江 2016 · 数学 q15

冷启动：难点全在「对任意」三个字

题给 $|\vec a|=1$、$|\vec b|=2$，以及一句

$$\text{对任意单位向量 }\vec e:\quad \left|\vec a\cdot\vec e\right|+\left|\vec b\cdot\vec e\right|\leqslant\sqrt6 .$$

这不是一个不等式，是一整族——单位向量有无穷多个，每一个都给一条约束。 要用它，只有两条路：

• 挑一个最狠的 $\vec e$，把族缩成一条（解法一）；
• 把左边关于 $\vec e$ 的最大值算出来，条件就等价于「最大值 $\leqslant\sqrt6$」（解法二）。

注意 $|\vec e|=1$，所以 $\vec a\cdot\vec e$ 正是 $\vec a$ 在 $\vec e$ 方向上的投影（带符号）。 题面说的是：两个投影的绝对值之和，处处不超过 $\sqrt6$。

解法一：挑一个最狠的 $\vec e$：三角不等式把族缩成 $|\vec a+\vec b|\leqslant\sqrt6$

第一步：用三角不等式把两个绝对值合成一个

对任意实数 $x$、$y$ 都有 $|x|+|y|\geqslant|x+y|$。取 $x=\vec a\cdot\vec e$、$y=\vec b\cdot\vec e$， 并用数量积对加法的分配律 $\vec a\cdot\vec e+\vec b\cdot\vec e=(\vec a+\vec b)\cdot\vec e$：

$$\left|\vec a\cdot\vec e\right|+\left|\vec b\cdot\vec e\right|\geqslant\left|(\vec a+\vec b)\cdot\vec e\right| .$$

配上题给的条件：对每一个单位向量 $\vec e$，

$$\left|(\vec a+\vec b)\cdot\vec e\right|\leqslant\sqrt6 .$$

第二步：挑那个把左边顶到最大的 $\vec e$

若 $\vec a+\vec b=\vec 0$，则 $|\vec a+\vec b|=0\leqslant\sqrt6$，下面的结论自动成立。 否则取

$$\vec e_0=\frac{\vec a+\vec b}{\left|\vec a+\vec b\right|},$$

它是单位向量，条件对它也成立。而

$$\left|(\vec a+\vec b)\cdot\vec e_0\right|=\frac{\left|\vec a+\vec b\right|^{2}}{\left|\vec a+\vec b\right|}=\left|\vec a+\vec b\right| .$$

所以

$$\left|\vec a+\vec b\right|\leqslant\sqrt6 .$$

（这一步也可以反过来看：柯西不等式给出 $\left|\vec v\cdot\vec e\right|\leqslant\left|\vec v\right|$， 等号在同向时取到，所以 $\left|\vec v\cdot\vec e\right|$ 取遍单位 $\vec e$ 时的最大值就是 $\left|\vec v\right|$。）

第三步：平方，$\vec a\cdot\vec b$ 就露出来了

$$\left|\vec a+\vec b\right|^{2}=\left|\vec a\right|^{2}+2\,\vec a\cdot\vec b+\left|\vec b\right|^{2} =1+2\,\vec a\cdot\vec b+4=5+2\,\vec a\cdot\vec b .$$

代进上一步：

$$5+2\,\vec a\cdot\vec b\leqslant6\ \Longrightarrow\ \vec a\cdot\vec b\leqslant\frac12 .$$

注意这里绝不能把 $\left|\vec a+\vec b\right|$ 写成 $\left|\vec a\right|+\left|\vec b\right|=3$—— 模对加减不可分配，那样会得到 $3\leqslant\sqrt6$ 这种假约束。

第四步：验 $\frac12$ 真的取得到

上面只说明「不超过 $\frac12$」。要它是最大值，还得找出一对合法的 $\vec a$、$\vec b$。

取 $\left|\vec a\right|=1$、$\left|\vec b\right|=2$、夹角满足

$$\cos\left\langle\vec a,\vec b\right\rangle=\frac{\vec a\cdot\vec b}{\left|\vec a\right|\left|\vec b\right|} =\frac{1/2}{1\times2}=\frac14\in[-1,1],$$

这样的一对向量当然存在。剩下要验的是：它满足题给的全部约束吗？

对任意实数 $x$、$y$：同号时 $|x|+|y|=|x+y|$，异号时 $|x|+|y|=|x-y|$。所以对任意单位 $\vec e$，

$$\left|\vec a\cdot\vec e\right|+\left|\vec b\cdot\vec e\right| \ \text{要么等于}\ \left|(\vec a+\vec b)\cdot\vec e\right|,\ \text{要么等于}\ \left|(\vec a-\vec b)\cdot\vec e\right|,$$

两者都不超过对应的模长（第二步那条），于是

$$\left|\vec a\cdot\vec e\right|+\left|\vec b\cdot\vec e\right| \leqslant\max\left(\left|\vec a+\vec b\right|,\ \left|\vec a-\vec b\right|\right).$$

而此时

$$\left|\vec a+\vec b\right|^{2}=5+2\times\frac12=6,\qquad \left|\vec a-\vec b\right|^{2}=5-2\times\frac12=4,$$

即 $\left|\vec a+\vec b\right|=\sqrt6$、$\left|\vec a-\vec b\right|=2<\sqrt6$，最大值就是 $\sqrt6$。 条件满足，上界取得到。

$$\boxed{\left(\vec a\cdot\vec b\right)_{\max}=\frac12}$$

解法二：建系化成三角式，把左边关于 $\vec e$ 的最大值直接算出来

这条路不挑 $\vec e$，而是把左边看成 $\vec e$ 的函数，直接求它的最大值， 于是得到的是充要条件，取到性顺带就有了。

第一步：把三个向量都写成坐标

$\vec a\neq\vec 0$，把 $\vec a$ 的方向取作 $x$ 轴正向，则

$$\vec a=(1,0),\qquad \vec b=\left(2\cos\theta,\ 2\sin\theta\right),\qquad \theta\in[0,\pi],$$

其中 $\theta=\left\langle\vec a,\vec b\right\rangle$。单位向量写成 $\vec e=(\cos t,\ \sin t)$，$t\in\mathbb{R}$。 于是

$$\vec a\cdot\vec e=\cos t,\qquad \vec b\cdot\vec e=2\left(\cos\theta\cos t+\sin\theta\sin t\right)=2\cos(t-\theta),$$

而所求

$$\vec a\cdot\vec b=2\cos\theta .$$

条件变成：对任意实数 $t$，

$$\left|\cos t\right|+2\left|\cos(t-\theta)\right|\leqslant\sqrt6 .$$

第二步：把两个绝对值化成「两支取大」

记 $x=\cos t$、$y=2\cos(t-\theta)$。绝对值可以按 $|u|=\max(u,-u)$ 拆开，合起来就是

$$|x|+|y|=\max\left(\left|x+y\right|,\ \left|x-y\right|\right)$$

（$x,y$ 同号时右边取前一支，异号时取后一支，验证只需分四种符号情形）。

第三步：两支各用一次辅助角公式

$$x+y=\cos t+2\cos(t-\theta)=\left(1+2\cos\theta\right)\cos t+\left(2\sin\theta\right)\sin t .$$

辅助角公式说：$A\cos t+B\sin t=\sqrt{A^{2}+B^{2}}\,\sin(t+\varphi)$，$t$ 取遍 $\mathbb{R}$ 时 它的绝对值的最大值就是 $\sqrt{A^{2}+B^{2}}$。这里

$$\sqrt{\left(1+2\cos\theta\right)^{2}+\left(2\sin\theta\right)^{2}} =\sqrt{1+4\cos\theta+4\cos^{2}\theta+4\sin^{2}\theta}=\sqrt{5+4\cos\theta}.$$

同理

$$x-y=\left(1-2\cos\theta\right)\cos t-\left(2\sin\theta\right)\sin t \ \Longrightarrow\ \max_t\left|x-y\right|=\sqrt{5-4\cos\theta}.$$

因为「取大」与「取最大」可以交换顺序，

$$\max_{t}\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right) =\max\left(\sqrt{5+4\cos\theta},\ \sqrt{5-4\cos\theta}\right) =\sqrt{5+4\left|\cos\theta\right|}.$$

第四步：条件即 $\left|\cos\theta\right|\leqslant\frac14$

$$\sqrt{5+4\left|\cos\theta\right|}\leqslant\sqrt6 \ \Longleftrightarrow\ 4\left|\cos\theta\right|\leqslant1 \ \Longleftrightarrow\ \left|\cos\theta\right|\leqslant\frac14 .$$

这是充要的——左边是最大值，不是随便一个上界。于是

$$\vec a\cdot\vec b=2\cos\theta\in\left[-\frac12,\ \frac12\right],$$

最大值 $\dfrac12$ 在 $\cos\theta=\dfrac14$ 时取到（此时 $\theta=\arccos\frac14$，是一个合法的夹角）。

$$\boxed{\left(\vec a\cdot\vec b\right)_{\max}=\frac12}$$

顺带还白得一个下界：$\vec a\cdot\vec b$ 的最小值是 $-\dfrac12$，在 $\cos\theta=-\dfrac14$ 时取到。

两条路怎么选

考场上解法一更快：三行就能写出 $5+2\vec a\cdot\vec b\leqslant6$。 但它给的只是必要条件，填空题可以直接填，解答题必须补上取到性的验证—— 这正是解法二不需要操心的地方。