同角三角函数的基本关系

教材原文

因此， $x^{2} + y^{2} = 1$ ，即

$\sin^ {2} \alpha + \cos^ {2} \alpha = 1.$

显然，当 $\alpha$ 的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角函数的定义，当 $\alpha \neq k\pi +\frac{\pi}{2} (k\in \mathbf{Z})$ 时，有

$\frac {\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha.$

这就是说，同一个角 $\alpha$ 的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角 $\alpha$ 的正切.

要点

• 平方关系 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ 对一切实数 $\alpha$ 成立，没有任何限制——它就是单位圆上 $x^2+y^2=1$ 换个写法（教材正是这样推出来的）。
• 商关系有限制：$\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 只在 $\cos\alpha\neq 0$，即 $\alpha\neq k\pi+\dfrac{\pi}{2}$ 时才谈得上。
• 「同角」两个字要当真：$\sin^2\alpha+\cos^2\beta=1$ 一般不成立，两个函数必须是同一个角的。
• 常用变形：$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$、$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$（开方要带 $\pm$，符号靠象限定）。
• 一个直接推论：$|\sin\alpha|=1\iff\cos\alpha=0$，$|\cos\alpha|=1\iff\sin\alpha=0$——平方和是 $1$，一个顶到 $\pm1$，另一个只能是 $0$。