浙江 2020 · 数学 q17

冷启动：全题只有一个未知数

题面给了四样东西，先把它们各自的作用认清：

• $\vec e_1,\vec e_2$ 是单位向量 —— 于是 $\vec e_1^{\,2}=\vec e_2^{\,2}=1$， 以后每次展开都少两个字母；
• $|2\vec e_1-\vec e_2|\leqslant\sqrt2$ 是约束 —— 它管的其实是 $\vec e_1,\vec e_2$ 的夹角；
• $\vec a=\vec e_1+\vec e_2$、$\vec b=3\vec e_1+\vec e_2$ 是目标里的两个向量；
• 问的是 $\cos^2\theta$ 的最小值，$\theta$ 是 $\vec a,\vec b$ 的夹角。

关键的一步在动笔之前：

关键卡点：把 $\vec e_1\cdot\vec e_2$ 设成一个字母 $t$。 单位向量的一切数量积与模平方 都是它的一次式，于是整道题从「两个向量、一个不等式、一个角」压成一个变量的函数在一个区间上求最值。

这是向量夹角与模的最值这一类题的固定入口。设 $\alpha$ 为 $\vec e_1,\vec e_2$ 的夹角， 则 $t=\vec e_1\cdot\vec e_2=\cos\alpha$（两个模都是 $1$），并且**$t$ 自带范围 $-1\leqslant t\leqslant1$**。

先把约束翻译过去。求模一律先平方（平面向量的数量积那座桥：$\vec x^{\,2}=|\vec x|^2$）：

$$|2\vec e_1-\vec e_2|^2=4\vec e_1^{\,2}-4\vec e_1\cdot\vec e_2+\vec e_2^{\,2} =4-4t+1=5-4t\leqslant 2 \;\Longrightarrow\;t\geqslant\frac34 .$$

与 $t\leqslant1$ 一并写下来：

$$\boxed{\,t\in\left[\tfrac34,\,1\right]\,}$$

这个闭区间是后面所有讨论的舞台，两个端点都要留着：左端点是约束给的，右端点是余弦自带的。 顺手记一个数：$t\geqslant\frac34$ 意味着 $\alpha\leqslant\arccos\frac34\approx41.4^\circ$， 两个基向量被逼得相当靠近——$\vec a,\vec b$ 也就几乎同向，$\cos^2\theta$ 只能在 $1$ 附近的一个窄窗里动。

三个二次量也一并算出来，三条路都要用（都按多项式乘开，$\vec e_1\cdot\vec e_2$ 当成数 $t$ 收着）：

$$\vec a\cdot\vec b=(\vec e_1+\vec e_2)\cdot(3\vec e_1+\vec e_2)=3+t+3t+1=4+4t,$$ $$|\vec a|^2=\vec e_1^{\,2}+2\vec e_1\cdot\vec e_2+\vec e_2^{\,2}=2+2t,\qquad |\vec b|^2=9\vec e_1^{\,2}+6\vec e_1\cdot\vec e_2+\vec e_2^{\,2}=10+6t .$$

在 $t\in\left[\frac34,1\right]$ 上这三个数全是正的（$|\vec a|^2=2+2t>0$ 顺便保证了 $\vec a\neq\vec 0$、 夹角有定义，$\vec a\cdot\vec b>0$ 说明 $\theta$ 是锐角）。

解法一：换元成一个字母，约分后分离常数看单调（官方那条）

怎么想到的。 目标 $\cos^2\theta=\dfrac{(\vec a\cdot\vec b)^2}{|\vec a|^2|\vec b|^2}$ 是「二次比二次」， 看着难。但分子分母都含 $(1+t)$ 这个因子——先约分，再看剩下的。

$$\cos^2\theta=\frac{(4+4t)^2}{(2+2t)(10+6t)} =\frac{16(1+t)^2}{2(1+t)\cdot2(5+3t)} =\frac{4(1+t)}{5+3t}=\frac{4+4t}{5+3t}\;=:\;g(t).$$

约分是合法的：$t\geqslant\frac34$ 时 $1+t>0$，不是在约一个可能为零的东西。

到这里就成了一次比一次，用分式分离常数判单调：

$$g(t)=\frac{4+4t}{5+3t}=\frac{\frac43(5+3t)-\frac{20}3+4}{5+3t} =\frac43-\frac{\frac83}{5+3t}.$$

$t$ 变大 $\Rightarrow5+3t$ 变大 $\Rightarrow\dfrac{8/3}{5+3t}$ 变小 $\Rightarrow$ 减去它之后 $g$ 变大。 即 $g$ 在整段上严格递增（要写成 $g'(t)=\dfrac{8}{(5+3t)^2}>0$ 也一样）。

严格递增的函数在一个闭区间上，内部不可能出现最大或最小，最值只在两端：

$$\min g=g\!\left(\frac34\right)=\frac{4+3}{5+\frac94}=\frac{7}{\frac{29}4}=\boxed{\frac{28}{29}}, \qquad \max g=g(1)=\frac{8}{8}=1 .$$

取等要能达到：$t=\frac34$ 就是 $\cos\alpha=\frac34$，而 $\frac34\in[-1,1]$， 取 $\alpha=\arccos\frac34$ 即可，此时约束 $5-4t\leqslant2$ 恰好取等（$|2\vec e_1-\vec e_2|=\sqrt2$）。 所以 $\cos^2\theta$ 的最小值就是 $\dfrac{28}{29}$。

解法二：沿角平分线建系，正切一步到手

怎么想到的。 $\vec a=\vec e_1+\vec e_2$ 里两个基地位对称，说明 $\vec a$ 落在 $\vec e_1,\vec e_2$ 的角平分线上。既然有一条对称轴，就沿对称轴建系——把平分线取作 $x$ 轴， 两个基的坐标只差一个符号。这是向量坐标化的一种取法，也是本题最省字的一种。

记 $\beta=\dfrac\alpha2$（于是 $0\leqslant\beta<\dfrac\pi2$、$\cos\beta>0$），取

$$\vec e_1=(\cos\beta,\ \sin\beta),\qquad \vec e_2=(\cos\beta,\ -\sin\beta).$$

三个向量当场读出来（对称的好处：和落在轴上、差垂直于轴）：

$$\vec a=\vec e_1+\vec e_2=(2\cos\beta,\ 0),\qquad \vec b=3\vec e_1+\vec e_2=(4\cos\beta,\ 2\sin\beta),\qquad 2\vec e_1-\vec e_2=(\cos\beta,\ 3\sin\beta).$$

约束变成了 $\beta$ 的不等式（$\cos^2\beta+9\sin^2\beta=1+8\sin^2\beta$）：

$$1+8\sin^2\beta\leqslant2\;\Longrightarrow\;\sin^2\beta\leqslant\frac18 \;\Longrightarrow\;\tan^2\beta=\frac{\sin^2\beta}{1-\sin^2\beta}\leqslant\frac{1/8}{7/8}=\frac17 .$$

（与解法一的 $t\geqslant\frac34$ 是同一句话：二倍角公式 $\cos\alpha=1-2\sin^2\beta\geqslant1-\frac14=\frac34$。）

目标也变成了 $\beta$ 的式子。 $\vec a$ 在 $x$ 轴正方向上，而 $\vec b$ 的纵坐标非负， 所以 $\theta$ 就是 $\vec b$ 的倾角：

$$\tan\theta=\frac{2\sin\beta}{4\cos\beta}=\frac12\tan\beta .$$

这一行是本解法的全部收获：$\theta$ 随 $\beta$ 单调递增，所以 $\beta$ 顶到最大（约束取等）时 $\theta$ 最大、 $\cos^2\theta$ 最小。再用同角三角函数的基本关系把正切换回余弦：

$$\cos^2\theta=\frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+\frac14\tan^2\beta}=\frac{4}{4+\tan^2\beta} \;\geqslant\;\frac{4}{4+\frac17}=\frac{28}{29},$$

等号在 $\tan^2\beta=\frac17$（即 $\sin^2\beta=\frac18$、$\cos\alpha=\frac34$）时取到。$\tan^2\beta=0$ 那一端给出 $\cos^2\theta=1$，正是 $\vec e_1=\vec e_2$、$\vec a\parallel\vec b$ 的退化情形。

为什么这道题什么都能约掉：把 $\vec b$ 沿 $\vec a$ 拆开就看见了——

$$\vec b=3\vec e_1+\vec e_2=2(\vec e_1+\vec e_2)+(\vec e_1-\vec e_2)=2\vec a+\vec d,\qquad \vec d=\vec e_1-\vec e_2 ,$$

而 $\vec d\cdot\vec a=(\vec e_1-\vec e_2)\cdot(\vec e_1+\vec e_2)=1-1=0$，$\vec d\perp\vec a$。 于是 $\vec b$ 的「沿 $\vec a$ 的分量」正好是 $2\vec a$、垂直分量是 $\vec d$，正切就是两个分量之比：

$$\tan\theta=\frac{|\vec d|}{2|\vec a|},\qquad \cos^2\theta=\frac{4|\vec a|^2}{4|\vec a|^2+|\vec d|^2}=\frac{4(2+2t)}{4(2+2t)+(2-2t)}=\frac{4+4t}{5+3t}.$$

这就是解法一那次约分的几何原因，也是上面建系为什么一坐下就把坐标凑成整齐形状的原因： $x$ 轴取的正是 $\vec a$ 的方向，$y$ 轴取的正是 $\vec d$ 的方向。

解法三：改算正弦的平方，多余的因子自己约掉

怎么想到的。 $\cos^2\theta$ 与 $\sin^2\theta$ 加起来是 $1$，求前者的最小值等于求后者的最大值； 而 $\sin^2\theta$ 的分子 $|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2$ 是个平方差， 展开之后往往比原式更肯约。这里就是如此：

$$|\vec a|^2|\vec b|^2-(\vec a\cdot\vec b)^2=(2+2t)(10+6t)-(4+4t)^2 =(12t^2+32t+20)-(16t^2+32t+16)=4-4t^2 .$$

（这个 $4-4t^2=4\sin^2\alpha$ 有个说法：$\vec a,\vec b$ 张成的平行四边形面积恰好是 $\vec e_1,\vec e_2$ 张成的那个的 $2$ 倍，$4$ 就是 $2^2$。上一节的 $\vec b=2\vec a+\vec d$ 正是它的来路。）

于是

$$\sin^2\theta=\frac{4-4t^2}{(2+2t)(10+6t)}=\frac{4(1-t)(1+t)}{4(1+t)(5+3t)}=\frac{1-t}{5+3t}.$$

$t$ 变大时分子变小、分母变大，$\sin^2\theta$ 严格递减，故它在左端点最大：

$$\max\sin^2\theta=\frac{1-\frac34}{5+\frac94}=\frac{\frac14}{\frac{29}4}=\frac1{29} \;\Longrightarrow\;\min\cos^2\theta=1-\frac1{29}=\frac{28}{29}.$$

这条路还附赠一次免费自检：算出来的两个式子必须加成 $1$——

$$\frac{4+4t}{5+3t}+\frac{1-t}{5+3t}=\frac{5+3t}{5+3t}=1\quad\checkmark$$

对不上就说明前面某处展开错了，不必等到代数字才发现。

教学图

上半张要看的是**「取等」这件事在图上长什么样**：约束不是摆设，它恰好在最小值处绷紧 （绿色那支的长度正好 $\sqrt2$）。下半张要看的是最值为什么在端点：$g'$ 在整段上不为零， 去解 $g'=0$ 的人会一无所获，而灰色那一片正是「约束替你砍掉的那半张图」。

三条路怎么选

考场上写解法一：从 $t$ 的范围到答案不超过六行。解法二值得练，因为 「向量组合里有一对地位对称的基」这件事到处都是（等腰的图形、菱形、两条等长的弦）， 一旦看见就能把题目降一维。解法三是通用后备：目标不好算就去算与它配对的那个量， 这个念头在立体几何求角、解析几何求斜率里都用得上。

避坑

1. 只解出 $t\geqslant\frac34$ 就去求最值，忘了 $t\leqslant1$。 这是换元后漏掉新变量的取值范围 的标准现场：$g$ 递增，右端点给的是最大值 $1$；没有 $t\leqslant1$，「最大值」会跑到渐近线 $\frac43$ 上去，而 $\frac43>1$ 根本不可能是某个角余弦的平方（$\cos^2\theta\leqslant1$， 这本身就是一道自检）。
2. 不判单调就代端点。 一次比一次的分式确实在端点取最值，但这需要先说清它单调； 写成 $\frac43-\frac{8/3}{5+3t}$ 只多一行，却把「为什么是左端点」交代清楚了。
3. 别去求导找内部的极值。 $g'(t)=\frac{8}{(5+3t)^2}$ 永远不为零，解 $g'=0$ 是白费； 这类题的最值永远由区间端点给出。
4. 等号要验。 最小值取在 $t=\frac34$，必须确认 $\cos\alpha=\frac34$ 真有角对应 （$\frac34\in[-1,1]$，成立），这一步就是不等式求最值漏验等号所提醒的那句话。
5. 「$\cos^2\theta$ 最小」不等于「$\theta$ 最小」。 $\theta\in[0,\pi]$ 上 $\cos^2\theta$ 最小 意味着 $\theta$ 最靠近 $\frac\pi2$；本题 $\theta$ 只在 $[0^\circ,10.7^\circ]$ 里动， 所以此处它等价于「$\theta$ 最大」——但那是算出范围之后才知道的事，不能反过来当理由。
6. 约分之前先确认因子不为零。 约掉 $(1+t)$ 用到 $t>-1$（本题 $t\geqslant\frac34$ 远远够）； 若换一道题的约束允许 $t=-1$，那时 $\vec a=\vec 0$，夹角根本没有定义， 得先把 $t=-1$ 单独摘出去。
7. 系数抄错就全盘皆错，而答案会告诉你。 若把约束读成 $|\vec e_1-\vec e_2|\leqslant\sqrt2$ （少了那个 $2$），则 $2-2t\leqslant2$ 给出 $t\geqslant0$，最小值变成 $g(0)=\frac45$—— 一个漂亮的数，但不是本题的答案。答案是 $\frac{28}{29}$ 这种带 $29$ 的数， 反过来正好锁定 $t$ 的下界是 $\frac34$（解 $\frac{4+4t}{5+3t}=\frac{28}{29}$ 即得）， 这是检查自己有没有抄错条件的最快办法。
8. 别把 $\vec a^{\,2}$ 写成 $|\vec a|$。 $\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2$ 是平方， 本题所有量都以平方形式出现，正是为了一次开方都不做——最后要的也是 $\cos^2\theta$ 而非 $\cos\theta$ （$\cos\theta=\frac{2\sqrt{203}}{29}$ 难看得多，命题人问平方是有道理的）。

收口：这类题的通用做法

把本题抽掉具体数字，剩下的骨架是：

$\vec e_1,\vec e_2$ 为单位向量，$t=\vec e_1\cdot\vec e_2\in[-1,1]$； $\vec a=p\vec e_1+q\vec e_2$、$\vec b=r\vec e_1+s\vec e_2$。则 $\vec a\cdot\vec b=(pr+qs)+(ps+qr)t,\quad |\vec a|^2=(p^2+q^2)+2pq\,t,\quad |\vec b|^2=(r^2+s^2)+2rs\,t,$ 三个量全是 $t$ 的一次式；任何一个关于模与夹角的约束，平方之后也是 $t$ 的一次不等式。 于是这类题一律化归为「一个一次式的分式在一个闭区间上求最值」。

两条经验：

• $\vec a\cdot\vec b$ 与 $|\vec a|^2$ 成常数比时（本题是 $2$），$\cos^2\theta$ 必约成一次比一次。 它等价于 $\vec b-\lambda\vec a\perp\vec a$，也就是上面那个 $\vec b=2\vec a+\vec d$ 的分解； 这种时候二次比二次只是伪装。
• 约束的作用永远是「把 $t$ 的区间截短」，目标的作用是「给出 $t$ 上的一个单调函数」。 两件事分开做，最后一步只剩代端点。本题的答案 $\dfrac{28}{29}$ 与最大值 $1$ 之间只差 $\dfrac1{29}$， 正说明约束把区间截得多么短——$\vec a$ 与 $\vec b$ 想张开一点都难。