沿对称轴建系

解题套路

1. 找那条对称轴：等腰三角形的底边中线、菱形与正方形的对角线、圆的直径、两个等长向量的 角平分线、抛物线的轴……凡是「交换某两个元素而图形不变」的，交换的不动线就是它。
2. 把轴放到 $x$ 轴（或 $y$ 轴）上，对称中心放到原点。
3. 对称的一对元素写成只差符号的坐标：$(\;p,\;q)$ 与 $(\;p,\,-q)$。 于是它们的和落在轴上（第二个坐标是 $0$）、它们的差垂直于轴（第一个坐标是 $0$）。
4. 剩下的按坐标算：模、数量积、斜率、面积全是两个字母 $p,q$ 的算术，且常常只用到 $p^2+q^2$ 这类对称组合。

为什么好用

• 未知数少一半：一般位置要 $4$ 个坐标描述两个点，对称之后只要 $2$ 个。
• 和与差自动分解：$(p,q)+(p,-q)=(2p,0)$、$(p,q)-(p,-q)=(0,2q)$—— 「和沿轴、差垂直于轴」这件几何事实变成了两个坐标里各有一个 $0$，此后每一步都短一截。
• 半角自然出现：两条对称的单位向量写成 $(\cos\beta,\pm\sin\beta)$ 时，$\beta$ 正是 它们夹角的一半，于是「夹角 $\alpha$ 的条件」与「目标里的角」通过 $\beta=\frac\alpha2$ 连起来，用不着和差角公式。

注意

• 先确认真对称：只有两个元素地位完全对等（长度相等、约束里可以互换）时才有这条轴； 长度不等就没有可用的对称轴，硬放会引入错误的等式。
• 轴的方向要选对：取「角平分线」还是取「其中一条边」都建得出坐标系，但只有对称的那一条 能让符号成对出现；边取成轴则两个元素的坐标毫无关系，一半的好处就没了。
• 结论要还原回几何语言：算完的 $p,q$ 是坐标，题目问的往往是角或长度，最后一步别忘了译回去。