浙江 2016 · 数学 q17

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2016 · 数学 q17 原卷截图（含答案）

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题面

17．（15分）（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90∘\angle \mathrm{A C B}{=} 9 0^{\circ}，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，

（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值

解析

分析

（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD

（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；

方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值

解答

（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，

∴AC⊥平面 BCK，∴BF⊥AC

又 EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK 为等边三角形，且 F 为 CK 的中点，则 BF⊥CK，∴BF⊥平面 ACFD

（II）方法一：过点 F 作 FQ⊥AK，连接 BQ，∵BF⊥平面 ACFD．∴BF⊥AK，则 AK⊥平面 BQF，∴BQ⊥AK．∴∠BQF 是二面角 B﹣AD﹣F 的平面角

在 Rt△ACK 中，AC=3，CK=2，可得FQ=31313.\mathrm{F Q} = {\frac{3 {\sqrt{1 3}}}{1 3}} .

在 Rt△BQF 中，BF=3,FQ=31313.\mathrm{B F}{=}{\sqrt{3}} , \mathrm{F Q}{=}{\frac{3 {\sqrt{1 3}}}{1 3}} .．可得：cos⁡∠BQF=34.\cos \angle \mathrm{B Q F} = \frac{\sqrt{3}}{4} .

∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为34.{\frac{\sqrt{3}}{4}} .

方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，

取 BC 的中点，则 KO⊥BC，又平面 BCFE⊥平面 ABC，∴KO⊥平面 BAC，

以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O−xyz\mathrm{O -} \mathrm{{x y z}}可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0， ），A（﹣1，﹣3，0），(12, 0, 32)( {\frac{1}{2}} , \ 0 , \ {\frac{\sqrt{3}}{2}} )F(−12,0,32)( - \frac{1}{2} , 0 , \frac{\sqrt{3}}{2} )

=（0，3，0）， = ， （2，3，0）

设平面ACK的法向量为π=(x1,y1,z1)\stackrel{}{\pi} = ( x_{1} , y_{1} , z_{1} )，平面ABK的法向量为r=(x2,y2,z2)\stackrel{}{\mathrm{r}} = ( x_{2} , y_{2} , z_{2} )），由{AC→∙m→=0AK→∙m→=0,\left\{\begin{array}{l l}{\overrightarrow{\mathrm{A C}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{m}} = 0} \\ {\overrightarrow{\mathrm{A K}} \bullet \overrightarrow{\mathrm{m}} = 0} \end{array} \right. ,

可得{3y1=0x1+3y1+3z1=0,\left\{\begin{array}{l}{3 y_{1} = 0} \\ {x_{1} + 3 y_{1} + \sqrt{3} z_{1} = 0} \end{array} \right. ,

取π⃗=(3, 0, −1)\vec{\pi} = \left( \sqrt{3} , \ 0 , \ - 1 \right)

由{AB→⋅n→=0AK→⋅n→=0,\left\{\begin{array}{l l}{\overrightarrow{\mathrm{A B}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} = 0} \\ {\overrightarrow{\mathrm{A K}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{n}} = 0} \end{array} \right. ,，可得{2x2+3y2=0x2+3y2+3z2=0\left\{\begin{array}{l}{{2 x}_{2} + 3 y_{2}{=} 0} \\ {{x}_{2} + 3 y_{2}{+} \sqrt{3} z_{2}{=} 0} \end{array} \right.，取⋅⃗τ⃗=( 3, −2, 3 )\vec{\cdot} \vec{\tau} = \left( \ 3 , \frac{}{} \right. \ - 2 , \ \sqrt{3} \ )

∴cos⁡<m⃗,n⃗>=m⃗⋅n⃗∣m⃗∣∣n⃗∣=34.\therefore \cos < \vec{m}, \vec{n} > = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{\sqrt{3}}{4}.

∴二面角B−AD−F\mathrm{B} - \mathrm{A D} - \mathrm{F}的余弦值为34.{\frac{{\sqrt{3}}}{4}} .