浙江 2018 · 数学 q09

冷启动：$|a-b|$ 是两点距离

$e$ 是单位向量，所以 $|e|=1$。把三个向量的起点都放在原点 $O$，终点分别记成 $A$、$B$、$E$。于是 $|a-b|$ 就是线段 $AB$ 的长度。

问的是这个长度能有多小。$A$、$B$ 各自被一道条件钉在一条轨迹上：把两条轨迹画出来，最小值就是两条轨迹之间的最短距离。

解法一：配方看出圆，点到直线距离减半径

怎么想到的。 条件 $b^{2}-4e\cdot b+3=0$ 是关于 $b$ 的二次式。单位向量让 $e^{2}=1$，配方之后左边正好是 $|b-2e|^{2}$，轨迹立刻变成圆。$a$ 与 $e$ 夹角固定，终点只能沿两条射线走。圆到射线的最短距离，是圆心到直线的距离再减半径。

① $b$ 的终点在圆周上。 $|e|=1$，所以

$$|b-2e|^{2}=b^{2}-4e\cdot b+4e^{2}=b^{2}-4e\cdot b+4.$$

题设 $b^{2}-4e\cdot b+3=0$，代入得 $|b-2e|^{2}=1$。也就是 $B$ 在以 $2e$ 的终点为圆心、半径 $1$ 的圆上。这个圆过 $e$ 的终点，也过 $3e$ 的终点——直径恰好是从 $e$ 到 $3e$ 那一段。

把 $e$ 放到 $x$ 轴正方向：$e=(1,0)$。圆心是 $(2,0)$，方程 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$。

② $a$ 的终点在两条射线上。 $a\neq 0$，与 $e$ 的夹角是 $\dfrac{\pi}{3}$，所以 $A$ 落在从 $O$ 出发、斜率为 $\pm\tan\dfrac{\pi}{3}=\pm\sqrt{3}$ 的两条射线上，不含原点：

$$y=\sqrt{3}\,x\quad(x>0),\qquad y=-\sqrt{3}\,x\quad(x>0).$$

两条射线关于 $x$ 轴对称，到圆心 $(2,0)$ 的距离一样，下面只算上面那条。

③ 圆心到直线的距离减半径。 直线 $\sqrt{3}\,x-y=0$，点 $(2,0)$ 到它的距离

$$d=\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}.$$

$\sqrt{3}>1$，直线与圆不相交。最短距离是 $d-1=\sqrt{3}-1$。

垂足是 $\bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)$，横坐标为正，落在射线（不是反向延长线）上，所以用整条直线算出来的距离就是射线到圆的距离。

选 A。

解法二：建系，把 $|a|$ 当参数再对圆心距求最值

怎么想到的。 不想先把「射线到圆」翻译成点到直线时，把 $e$ 放到 $x$ 轴上，用 $|a|$ 当自由参数。对每个固定的 $a$，最近的 $b$ 就是圆心到 $A$ 的距离减半径；再让这个量对 $|a|$ 取最小。

$|e|=1$，所以 $|b-2e|^{2}=b^{2}-4e\cdot b+4$。题设 $b^{2}-4e\cdot b+3=0$，故 $|b-2e|^{2}=1$。取 $e=(1,0)$，$B$ 在圆 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ 上。

$a$ 与 $e$ 夹角 $\dfrac{\pi}{3}$、$a\neq 0$，上面那条射线上的点写成 $A=\bigl(\tfrac{r}{2},\tfrac{r\sqrt{3}}{2}\bigr)$，$r=|a|>0$。

$A$ 到圆心 $(2,0)$ 的距离

$$\bigl|A-(2,0)\bigr|=\sqrt{\Bigl(\frac{r}{2}-2\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{r\sqrt{3}}{2}\Bigr)^{2}}=\sqrt{r^{2}-2r+4}=\sqrt{(r-1)^{2}+3}.$$

圆的半径是 $1$，而 $\sqrt{(r-1)^{2}+3}\ge\sqrt{3}>1$，所以 $A$ 永远在圆外。对这个 $A$，

$$\min_{B}|A-B|=\sqrt{(r-1)^{2}+3}-1.$$

$(r-1)^{2}+3\ge 3$，等号当且仅当 $r=1$。所以 $\sqrt{(r-1)^{2}+3}-1$ 的最小值是 $\sqrt{3}-1$。下面那条射线把 $A$ 的纵坐标翻号，到 $(2,0)$ 的距离不变。

选 A。