2.3.3 点到直线的距离公式

文字转写

思考

在“平面向量及其应用”的学习中，我们用“向量法”证明过这个命题。你能回忆一下证明过程吗？比较“坐标法”和“向量法”，你有什么体会？

上述利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为

第一步：建立坐标系，用坐标表示有关的量第二步：进行有关代数运算

第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论

思考

根据例 4 的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法？你能说说建立适当坐标系对证明的重要性吗？

练习

1. 求下列两点间的距离： (1) $A(6, 0)$ , $B(-2, 0)$ ; (2) $C(0, -4)$ , $D(0, -1)$ ; (3) $P(6, 0)$ , $Q(0, -2)$ ; (4) $M(2, 1)$ , $N(5, -1)$ .

2. 已知 $A(a, -5)$ 与 $B(0, 10)$ 两点间的距离是 17，求 $a$ 的值.

3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.

2.3.3 点到直线的距离公式

探究

如图2.3-5，已知点 $P(x_0, y_0)$，直线 $l: Ax + By + C = 0$，如何求点 $P$ 到直线 $l$ 的距离？

点 $P$ 到直线 $l$ 的距离，就是从点 $P$ 到直线 $l$ 的垂线段 $PQ$ 的长度，其中 $Q$ 是垂足（图2.3-5）。因此，求出垂足 $Q$ 的坐标，利用两点间的距离公式求出 $|PQ|$，就可以得到

点 P 到直线 l 的距离.

设 $A \neq 0, B \neq 0$. 由 $PQ \perp l$, 以及直线 $l$ 的斜率为 $-\frac{A}{B}$, 可得 $l$ 的垂线 $PQ$ 的斜率为 $\frac{B}{A}$, 因此, 垂线 $PQ$ 的方程为 $y - y_0 = \frac{B}{A} (x - x_0)$, 即 $Bx - Ay = Bx_0 - Ay_0$.

解方程组

\left\{ \begin{array}{l} A x + B y + C = 0, \\ B x - A y = B x _ {0} - A y _ {0}, \end{array} \right.\tag{①}

得直线 $l$ 与 $PQ$ 的交点坐标，即垂足 $Q$ 的坐标为

$\Big (\frac {B ^ {2} x _ {0} - A B y _ {0} - A C}{A ^ {2} + B ^ {2}}, \frac {- A B x _ {0} + A ^ {2} y _ {0} - B C}{A ^ {2} + B ^ {2}} \Big).$

于是

$\begin{array}{r l} \mid P Q \mid & = \sqrt {\left(\frac {B ^ {2} x _ {0} - A B y _ {0} - A C}{A ^ {2} + B ^ {2}} - x _ {0}\right) ^ {2} + \left(\frac {- A B x _ {0} + A ^ {2} y _ {0} - B C}{A ^ {2} + B ^ {2}} - y _ {0}\right) ^ {2}} \\ & = \sqrt {\frac {(A x _ {0} + B y _ {0} + C) ^ {2}}{A ^ {2} + B ^ {2}}} = \frac {\mid A x _ {0} + B y _ {0} + C \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} \end{array}$

因此，点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax + By + C = 0$ 的距离

$d = \frac {\mid A x _ {0} + B y _ {0} + C \mid}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}.$

可以验证，当 $A = 0$ ，或 $B = 0$ 时，上述公式仍然成立.

思考

上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大。反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗？由此能否给出简化运算的方法？

在上述方法中，若设垂足 $Q$ 的坐标为 $(x, y)$，则

| P Q | = \sqrt {(x - x _ {0}) ^ {2} + (y - y _ {0}) ^ {2}}.\tag{②}

对于②式，你能给出它的几何意义吗？结合方程组①，能否直接求出 $(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}$ ，进而求出 $|PQ|$ 呢？请你试一试！

探究

我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具。能否用向量方法求点到直线的距离？

如图 2.3-6，点 P 到直线 l 的距离，就是向量 $\overrightarrow{PQ}$ 的模.

设 $M(x, y)$ 是直线 $l$ 上的任意一点，$\pmb{n}$ 是与直线 $l$ 的方向向量垂直的单位向量，则 $\overrightarrow{PQ}$ 是 $\overrightarrow{PM}$ 在 $\pmb{n}$ 上的投影向量，$|\overrightarrow{PQ}| = |\overrightarrow{PM} \cdot \pmb{n}|$.

思考

如何利用直线 $l$ 的方程得到与 $l$ 的方向向量垂直的单位向量 $\pmb{n}$？

设 $P_{1}(x_{1},y_{1}), P_{2}(x_{2},y_{2})$ 是直线 $l: Ax + By + C = 0$ 上的任意两点，则 $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)$ 是直线 $l$ 的方向向量。把 $Ax_{1} + By_{1} + C = 0, Ax_{2} + By_{2} + C = 0$ 两式相减，得 $A(x_{2} - x_{1}) + B(y_{2} - y_{1}) = 0$。由平面向量的数量积运算可知，向量 $(A, B)$ 与向量 $(x_{2} - x_{1}, y_{2} - y_{1})$ 垂直。向量 $\frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}} (A, B)$ 就是与直线 $l$ 的方向向量垂直的一个单位向量。我们取 $n = \frac{1}{\sqrt{A^2 + B^2}} (A, B)$，从而

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {P M} \cdot \boldsymbol {n} & = (x - x _ {0}, y - y _ {0}) \cdot \frac {1}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} (A, B) \\ & = \frac {1}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} [ A (x - x _ {0}) + B (y - y _ {0}) ] \\ & = \frac {1}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} (A x + B y - A x _ {0} - B y _ {0}). \end{array}$

因为点 $M(x, y)$ 在直线 $l$ 上，所以 $Ax + By + C = 0$。所以 $Ax + By = -C$。代入上式，得

$\overrightarrow {P M} \cdot \boldsymbol {n} = \frac {1}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}} (- A x _ {0} - B y _ {0} - C).$

因此

$| P Q | = | \overrightarrow {P Q} | = | \overrightarrow {P M} \cdot n | = \frac {| A x _ {0} + B y _ {0} + C |}{\sqrt {A ^ {2} + B ^ {2}}}.$

思考

比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算。除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗？

例 5 求点 $P(-1, 2)$ 到直线 l: 3x=2 的距离.

分析：将直线 l 的方程写成 3x-2=0，再用点到直线的距离公式求解.

解：点 $P(-1, 2)$ 到直线 $l: 3x - 2 = 0$ 的距离

直线 $l$ 有什么特性？由此你能给出简便解法吗？

$d = \frac {\mid 3 \times (- 1) - 2 \mid}{\sqrt {3 ^ {2} + 0 ^ {2}}} = \frac {5}{3}.$

例 6 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是 $A(1,3)$, $B(3,1)$, $C(-1,0)$, 求 $\triangle ABC$ 的面积.

分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边 AB 的长和边 AB 上的高即可.

解：如图2.3-7，设边 $AB$ 上的高为 $h$ ，则

$S _ {\triangle A B C} = \frac {1}{2} \left| A B \right| h.$

$| A B | = \sqrt {(3 - 1) ^ {2} + (1 - 3) ^ {2}} = 2 \sqrt {2}.$

边 AB 上的高 h 就是点 C 到直线 AB 的距离.

边 $AB$ 所在直线 $l$ 的方程为

$\frac {y - 3}{1 - 3} = \frac {x - 1}{3 - 1},$

即 $x + y - 4 = 0$

点 $C(-1,0)$ 到直线 $l: x + y - 4 = 0$ 的距离

$h = \frac {\mid - 1 + 0 - 4 \mid}{\sqrt {1 ^ {2} + 1 ^ {2}}} = \frac {5}{\sqrt {2}}.$

你还有其他解法吗？

因此， $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \frac{5}{\sqrt{2}} = 5.$

练习

1. 求原点到下列直线的距离：

(1) $l: 3x + 2y - 26 = 0;$ (2) l: x = y.

2. 求下列点到直线的距离：

(1) $A(-2, 3)$, $l: 3x + 4y + 3 = 0$;

(2) $B(1,0)$, $l: \sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$;

(3) $C(1, -2)$, $l: 4x + 3y = 0$.

3. 已知点 $P(-1, 2)$ 到直线 $l: 4x - 3y + C = 0$ 的距离为 1，求 $C$ 的值.