2.3.3 点到直线的距离公式

整个第 2 章只有这一条公式在高考里被反复调用：

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$

它算的是点 $P(x_0, y_0)$ 到直线 $l: Ax + By + C = 0$ 的距离。公式本身两秒就能背下来， 考场上的差距不在背，在两件别的事：用之前要不要先改写方程，以及看到什么样的几何条件该想到它。 所以这一节先把公式和它的两条推导讲清楚（推导决定了你信不信它、也决定了你会不会记错分母）， 再花大力气讲它在圆锥曲线题里的那几副面孔。

一、公式：一句话读懂它的形状

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

• 分子是把点的坐标代进直线方程左边得到的那个数，再取绝对值。点在直线上时它是 $0$， 距离也就是 $0$——公式与”点在直线上 $\Leftrightarrow$ 坐标满足方程”这件事是自洽的。
• 分母只与直线有关、与点无关，是系数向量 $(A, B)$ 的模。它出现在这里的原因见第二节： $(A, B)$ 是直线的一个法向量，除以它的模就是把它变成单位向量。

由此立刻得到两条不必单独记的推论：

• 原点到直线的距离：把 $(0,0)$ 代进去，$d = \dfrac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
• 两条平行直线 $Ax+By+C_1 = 0$ 与 $Ax+By+C_2 = 0$ 之间的距离：在其中一条上随便取一点代入另一条， 得 $d = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。用它的前提是两式的 $A$、$B$ 已经写成完全相同的一对数， 否则要先同乘一个常数配平（这是下一小节 §2.3.4 的正题，这里先记着）。

二、两条推导，各自留下一件有用的东西

课本给了两条，都值得看一遍——不是为了背推导，是因为每条推导都留下一个可复用的观念。

推导一（坐标法）：老实求垂足

思路最自然：$P$ 到 $l$ 的距离就是垂线段 $PQ$ 的长，那就把垂足 $Q$ 求出来，再用两点间距离公式。 设 $A \neq 0$、$B \neq 0$，$l$ 的斜率是 $-\frac{A}{B}$，垂线 $PQ$ 的斜率是 $\frac{B}{A}$， 于是 $PQ$ 的方程是 $Bx - Ay = Bx_0 - Ay_0$；与 $l$ 联立解出 $Q$ 的坐标，代进距离公式化简， 最后得到那条公式。

课本自己在旁边点了一句”思路自然但运算量较大”。它留下的东西是”坐标法”这套流程： 建系 → 用坐标表示几何量 → 代数运算 → 把结果翻译回几何。第 74 页（page-0079）那道 “用坐标法证明直角三角形斜边中点到三顶点等距”的练习考的正是这套流程，与公式本身无关。

推导二（向量投影）：分母是怎么来的

设 $M(x, y)$ 是 $l$ 上任意一点，$\boldsymbol{n}$ 是与 $l$ 的方向向量垂直的单位向量，那么 $\overrightarrow{PQ}$ 就是 $\overrightarrow{PM}$ 在 $\boldsymbol{n}$ 上的投影向量，于是

$|PQ| = |\overrightarrow{PM} \cdot \boldsymbol{n}|.$

关键一步是找出这个 $\boldsymbol{n}$：在 $l$ 上取两点 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$， 两式 $Ax_1+By_1+C=0$ 与 $Ax_2+By_2+C=0$ 相减得

$A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0,$

这正是”向量 $(A,B)$ 与方向向量 $(x_2-x_1,\, y_2-y_1)$ 数量积为零”，即 $(A, B)$ 垂直于直线。 把它单位化，取 $\boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}(A, B)$，算出

$\overrightarrow{PM} \cdot \boldsymbol{n} = \frac{1}{\sqrt{A^2+B^2}}\big(Ax + By - Ax_0 - By_0\big),$

再用 $M$ 在 $l$ 上（$Ax + By = -C$）代入，取绝对值就得到公式。

它留下的东西是 $(A, B)$ 这个法向量。 这是本节最值钱的一句话： 一般式方程 $Ax+By+C=0$ 的系数对 $(A,B)$ 就是它的一个法向量。 记住它， 分母 $\sqrt{A^2+B^2}$ 就不再是一串要背的符号，而是”把法向量单位化”的必然结果—— 你再也不会把它错记成 $\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ 或 $A^2+B^2$。

关于 $A = 0$ 或 $B = 0$

推导一里假设了 $A \neq 0$ 且 $B \neq 0$（要用斜率）。课本随后说”可以验证，当 $A=0$，或 $B=0$ 时， 上述公式仍然成立”。这句话要自己验一遍，不然公式的适用范围就是含糊的：

• $B = 0$ 时 $l: Ax + C = 0$，即竖直线 $x = -\frac{C}{A}$，点到它的距离是 $\left|x_0 + \frac{C}{A}\right| = \frac{|Ax_0 + C|}{|A|}$，而公式给出 $\frac{|Ax_0 + C|}{\sqrt{A^2}} = \frac{|Ax_0+C|}{|A|}$，一致；
• $A = 0$ 时同理（水平线）。

所以公式对任何一般式方程都成立，只要 $A$、$B$ 不同时为零（同时为零就不是直线了）。 推导二其实压根不需要分这两种情形——它没用斜率。

三、用它之前的那一步：先化成一般式

课本例 5 是专门为这件事出的：求点 $P(-1,2)$ 到直线 $l: 3x = 2$ 的距离。

$3x = 2$ 不是一般式。要先写成 $3x - 2 = 0$，读出 $A = 3$、$B = 0$、$C = -2$，才能代入：

$d = \frac{|3 \times (-1) - 2|}{\sqrt{3^2 + 0^2}} = \frac{5}{3}.$

三条最常见的”没化就代”：

1. 等号右边不是 $0$（$3x = 2$、$y = 2x + 1$、$x = y$）——移到左边去。
2. 写成了斜截式或点斜式（$y - 1 = 2(x - 3)$）——展开并移项成 $2x - y - 5 = 0$。
3. 漏掉了缺项的系数是 $0$——$3x - 2 = 0$ 里 $B = 0$，分母是 $\sqrt{3^2 + 0^2} = 3$，不是 $\sqrt{3}$。

顺带一提，例 5 旁边的问号问”直线 $l$ 有什么特性？由此你能给出简便解法吗”——$3x - 2 = 0$ 是竖直线 $x = \frac{2}{3}$，点 $P$ 的横坐标是 $-1$，横向距离直接是 $\left|\frac{2}{3} - (-1)\right| = \frac{5}{3}$。 竖直线与水平线不必套公式，看横（纵）坐标差即可，这在填空题上省时间。

四、它在题目里的三副面孔

这条公式在高考里几乎不以”求点到直线的距离”这种原样出现。认出它的三种伪装比背公式重要得多。

面孔一：三角形的高（进而是面积）。 课本例 6 就是范本——求 $\triangle ABC$ 的面积， 先用两点间距离公式量出底 $|AB|$，再把”$AB$ 边上的高”翻译成”点 $C$ 到直线 $AB$ 的距离”， 一乘一半就是面积。“高”这个词是触发器：一旦题目里出现三角形面积、平行四边形面积、 点到某条边的距离，就该往这条公式上想。

面孔二：圆与直线的位置关系。 判断直线与圆相交/相切/相离， 只看圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的大小；求弦长用 $|AB| = 2\sqrt{r^2 - d^2}$； 求切线就是让 $d = r$ 列方程。整个 §2.5 都建立在这条公式上。

面孔三：把”距离等于某个值”变成一个方程。 第 77 页（page-0082）练习第 3 题就是最小的样板： 已知点到 $l: 4x - 3y + C = 0$ 的距离为 $1$，求 $C$。把公式写出来、去分母、解绝对值方程，两个解。 “距离已知、直线里带参数”这种题一定要留意绝对值带来的两解——直线可以在点的两侧各摆一条。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 没化成一般式就代系数（见第三节）。
2. 分母写错：是 $\sqrt{A^2+B^2}$，不是 $A^2+B^2$，也不带 $C$。用第二节那句”$(A,B)$ 是法向量、 要单位化”来记，就不会错。
3. 分子忘了绝对值，算出负距离。距离恒非负。
4. 解含参方程时漏掉一个解。 $|X| = k\ (k>0)$ 给出 $X = k$ 与 $X = -k$ 两支。
5. 两平行线间距离没先配平系数。 $3x+4y-1=0$ 与 $6x+8y+5=0$ 不能直接用 $|{-1}-5|/5$， 要先把第二条化成 $3x+4y+\frac{5}{2}=0$，再算 $\dfrac{\left|-1-\frac{5}{2}\right|}{5} = \dfrac{7}{10}$。
6. 点在直线上时不敢写 $0$。 代进去分子就是 $0$，距离就是 $0$，这是正确答案，不是”算错了”。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方「考过本节的真题」那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，都经由公式 点到直线的距离公式 连过来。这里给一个读的顺序，它同时也是这条公式的难度阶梯：

• 先做 2025 年第 7 题（圆上到直线距离为 $1$ 的点恰好 $2$ 个）。它是第四节”面孔二”的正面考法： 把”圆上有几个点到 $l$ 的距离为 $1$“翻译成”圆心到 $l$ 的距离 $d$ 落在哪个区间”，一条不等式就完事。 这道题练的是把点数问题换成一个 $d$ 的取值范围。
• 接着看 2015 年第 14 题（圆盘上 $|2x+y-2|+|6-x-3y|$ 的最小值）。它把这条公式当符号探测器用： 圆心到 $x+3y=6$ 的距离是 $\dfrac{6}{\sqrt{10}}\approx 1.90>1$，整个圆盘落在这条直线同一侧， 于是 $6-x-3y$ 不变号，那个绝对值是假的、直接脱掉；而圆心到 $2x+y-2=0$ 的距离 $\dfrac{2}{\sqrt 5}\approx 0.894<1$，这条线割进圆盘，两侧符号相反，那个绝对值就非分区不可。 同一条公式，这里回答的不是”距离多少”，而是”变不变号”——$d$ 与 $r$ 比一次大小， 就决定了后面是写一个式子还是写两个式子。
• 再做 2019 年第 12 题（直线与圆相切于给定点，求圆心与半径）与 2020 年第 15 题 （一条直线同时与两个等半径的圆相切）。这两道用的是反过来的读法：$d = r$ 是已知条件， 未知的是圆心或直线本身，于是距离公式变成一个待解的方程（15 题要联立两个）。
• 然后是 2023 年第 6 题（圆外一点的两条切线的夹角）。切线的条件仍是 $d = r$， 但要的不是参数而是角，得先由 $d$ 与 $r$ 算出半角的正弦。
• 2018 年第 9 题（$|a-b|$ 的最小值）是一次伪装：$b$ 的终点在一个圆上、$a$ 的终点在两条射线上， 两个点集的最短距离等于圆心到射线的距离减去半径，那个”圆心到射线的距离”正是本节的公式。 认出圆来，是这道题唯一的坎。
• 最后是 2024 年第 11 题（丝带曲线四命题逐项判）、2024 年第 16 题（椭圆上两点、面积为 $9$ 反求直线 $l$）与 2021 年第 16 题、2022 年第 16 题（圆锥曲线里的切线条件与到渐近线的距离）。 前两道是第四节的”面孔一”：面积 $=$ 底 $\times$ 高 $\div 2$，而高就是点到直线的距离； 16 题还要反过来由面积定出 $l$ 的截距，正是第五节第 4 条说的两解情形。 后两道是这一节的上限：公式本身仍是那一条，难在你得先意识到”到切线的距离""到渐近线的距离” 是可以直接卡住参数的一个量。

本节目录下这四页上共印着两组「练习」，合计 6 道，逐题全做。第 74 页（page-0079）那一组 3 道印在 「2.3.3 点到直线的距离公式」这个标题之前，练的是上一小节的两点间距离公式与坐标法；它与本节同页同目录， 而两点间距离公式又正是本节公式的推导起点（课本推导一就是先求垂足再量 $|PQ|$），所以一并收在这里。 第 77 页（page-0082）那一组 3 道是本节自己的练习。这四页上没有「习题 2.3」——那一组印在 §2.3.4 的页上， 归它自己那一节。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 74 页）第 1 题

1. 求下列两点间的距离： (1) $A(6, 0)$ , $B(-2, 0)$ ; (2) $C(0, -4)$ , $D(0, -1)$ ; (3) $P(6, 0)$ , $Q(0, -2)$ ; (4) $M(2, 1)$ , $N(5, -1)$ .

四小问都用两点间的距离公式

$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$

前两问的两点分别在同一条坐标轴上，可以直接看坐标差；这里两种算法各写一遍，互相印证。

(1) $A(6,0)$ 与 $B(-2,0)$ 的纵坐标都是 $0$，两点都在 $x$ 轴上，

$|AB| = \sqrt{(-2-6)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{64} = 8.$

直接看横坐标差也是 $|6 - (-2)| = 8$，一致。

(2) $C(0,-4)$ 与 $D(0,-1)$ 的横坐标都是 $0$，两点都在 $y$ 轴上，

$|CD| = \sqrt{(0-0)^2 + \big(-1-(-4)\big)^2} = \sqrt{3^2} = 3.$

纵坐标差 $|-1 - (-4)| = 3$，一致。注意 $-1 - (-4) = 3$ 是正的，别把两个负号约丢一个。

(3) $P(6,0)$，$Q(0,-2)$，

$|PQ| = \sqrt{(0-6)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \times 10} = 2\sqrt{10}$，根号要化到最简。

(4) $M(2,1)$，$N(5,-1)$，

$|MN| = \sqrt{(5-2)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.$

$13$ 无平方因数，$\sqrt{13}$ 已是最简。

公式里两个差谁减谁都行，横、纵两处也不必用同一个方向——平方之后符号被彻底吃掉， $(x_2-x_1)^2 + (y_1-y_2)^2$ 与 $(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$ 是同一个数。真正要盯住的只有两条： 每一项都必须平方（漏了平方就成了坐标差之和，那是另一回事），以及同一个差里的两个坐标要取自同一对点 （别把 $A$ 的横坐标和 $C$ 的横坐标凑一块）。

练习（第 74 页）第 2 题

2. 已知 $A(a, -5)$ 与 $B(0, 10)$ 两点间的距离是 17，求 $a$ 的值.

把距离公式列成关于 $a$ 的方程：

$|AB| = \sqrt{(0-a)^2 + \big(10-(-5)\big)^2} = \sqrt{a^2 + 225} = 17.$

因为等号两边都非负，平方是同解变形：

$a^2 + 225 = 289 \;\Longrightarrow\; a^2 = 64 \;\Longrightarrow\; a = \pm 8.$

两个值都要取。 $A$ 的横坐标是 $8$ 还是 $-8$，对应的两个点关于 $y$ 轴对称，到 $B(0,10)$ 的距离相同， 题目没有别的条件把其中一个排掉。所以 $a = 8$ 或 $a = -8$。

回代核一遍：$a = 8$ 时 $\sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$；$a = -8$ 时 $\sqrt{(-8)^2 + 225} = \sqrt{289} = 17$。两个都对。

只写 $a = 8$ 是这道题唯一的错法：$a^2 = 64$ 的解不是 $a = 8$，是 $a = \pm 8$。

练习（第 74 页）第 3 题

3. 用坐标法证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等.

证明。 坐标法的第一步是建系，而建系是可以挑的：距离在平移、旋转下都不改变， 所以把这个直角三角形先摆到一个方便的位置，不损失一般性。

设 $\triangle ABC$ 中 $\angle C = 90^\circ$。以直角顶点 $C$ 为原点、两条直角边所在直线为坐标轴 建立平面直角坐标系（这总办得到：两条直角边本来就互相垂直）。于是可设

$C(0,\, 0), \qquad A(a,\, 0), \qquad B(0,\, b), \qquad a \neq 0,\; b \neq 0.$

（$a$、$b$ 是两条直角边的长度带上方向的记法；$a \neq 0$、$b \neq 0$ 是”三角形不退化”这个前提， 下面用不到它们的符号，所以不必再分正负讨论。）

斜边是 $AB$，它的中点

$M\left(\frac{a+0}{2},\, \frac{0+b}{2}\right) = M\left(\frac{a}{2},\, \frac{b}{2}\right).$

三段距离逐个算：

$$|MA| = \sqrt{\left(a - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2};$$ $$|MB| = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(b - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2};$$ $$|MC| = \sqrt{\left(0 - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{a^2 + b^2}.$$

（每一步都用了 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{4}} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$，这里 $\sqrt{4} = 2 > 0$， 不需要绝对值。）

三者都等于 $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$，即

$|MA| = |MB| = |MC|,$

也就是斜边中点到三个顶点的距离相等。证毕。

顺带读出一条结论：这个公共值 $\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}$ 恰好是斜边 $|AB|$ 的一半 （$|AB| = \sqrt{a^2+b^2}$）。所以这道题证的其实是初中那条”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”， 而 $M$ 就是它外接圆的圆心、$AB$ 是直径。

这道题的关键动作：建系时把直角顶点放到原点、直角边放到坐标轴上。这样两个顶点各有一个坐标为 $0$， 后面三次开方里的式子完全相同，一眼就能看出相等；若随手把三角形斜着摆，同样能证出来，但要多算十几步。

练习（第 77 页）第 1 题

1. 求原点到下列直线的距离：

(1) $l: 3x + 2y - 26 = 0;$ (2) l: x = y.

原点到直线的距离，就是把 $(x_0, y_0) = (0, 0)$ 代进点到直线的距离公式：

$d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2+B^2}} = \frac{|C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$

(1) $l: 3x + 2y - 26 = 0$ 已是一般式，$A = 3$，$B = 2$，$C = -26$，

$d = \frac{|-26|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{26}{\sqrt{13}} = \frac{26\sqrt{13}}{13} = 2\sqrt{13}.$

（分母有理化：$\frac{26}{\sqrt{13}} = \frac{26\sqrt{13}}{13} = 2\sqrt{13}$。）

(2) $l: x = y$ 不是一般式，先移项写成

$x - y = 0,$

于是 $A = 1$，$B = -1$，$C = 0$，

$d = \frac{|0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0.$

$d = 0$ 是正确答案，不是算错：$x = y$ 这条直线过原点（把 $(0,0)$ 代进方程，$0 = 0$ 成立）， 点在直线上时距离当然是 $0$。这一小问的意义正在这里——公式对”点在直线上”这种情形照样成立。

练习（第 77 页）第 2 题

2. 求下列点到直线的距离：

(1) $A(-2, 3)$, $l: 3x + 4y + 3 = 0$;

(2) $B(1,0)$, $l: \sqrt{3} x + y - \sqrt{3} = 0$;

(3) $C(1, -2)$, $l: 4x + 3y = 0$.

三小问的直线都已经是一般式（等号右边是 $0$），直接代

$$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \qquad \big(l: ax + by + c = 0,\ \ \text{点 } (x_0, y_0)\big).$$

这里刻意把系数写成小写的 $a$、$b$、$c$：这三小问的点分别叫 $A$、$B$、$C$，再用大写就分不清 "$A$"说的是点还是 $x$ 的系数了。

(1) 点 $(x_0, y_0) = (-2, 3)$，直线 $3x+4y+3=0$ 的系数 $a = 3$、$b = 4$、$c = 3$：

$d = \frac{|3 \times (-2) + 4 \times 3 + 3|}{\sqrt{3^2+4^2}} = \frac{|-6+12+3|}{\sqrt{25}} = \frac{9}{5}.$

(2) 点 $(x_0, y_0) = (1, 0)$，直线 $\sqrt{3}x + y - \sqrt{3} = 0$ 的系数 $a = \sqrt{3}$、$b = 1$、 $c = -\sqrt{3}$。分母 $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$（根号系数照样先平方， $(\sqrt{3})^2 = 3$）：

$d = \frac{|\sqrt{3} \times 1 + 1 \times 0 - \sqrt{3}|}{2} = \frac{|0|}{2} = 0.$

分子为 $0$ 说明点正好落在这条直线上（把 $(1,0)$ 代回方程：$\sqrt{3} \times 1 + 0 - \sqrt{3} = 0$， 成立）。点在直线上时距离就是 $0$，这是正确答案，不是算错。

(3) 点 $(x_0, y_0) = (1, -2)$，直线 $4x + 3y = 0$ 的系数 $a = 4$、$b = 3$， 常数项缺省即 $c = 0$（缺常数项不影响公式可用）：

$d = \frac{|4 \times 1 + 3 \times (-2) + 0|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|4 - 6|}{5} = \frac{2}{5}.$

分子里的 $|-2| = 2$——别把负号带出绝对值，距离恒非负。

练习（第 77 页）第 3 题

3. 已知点 $P(-1, 2)$ 到直线 $l: 4x - 3y + C = 0$ 的距离为 1，求 $C$ 的值.

这一次距离是已知的、直线里带一个参数，所以把公式当方程列出来解。

$l$ 中 $A = 4$、$B = -3$（常数项就叫 $C$，与公式里的记号同名，代的时候看清位置）， 分母 $\sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{25} = 5$，它是一个与 $C$ 无关的正数，可以直接乘过去。 由题设

$$\frac{|4 \times (-1) - 3 \times 2 + C|}{5} = 1 \;\Longrightarrow\; |C - 10| = 5.$$

（分子里 $-4 - 6 + C = C - 10$。）

绝对值方程 $|X| = 5$ 有两支：

$C - 10 = 5 \;\Longrightarrow\; C = 15, \qquad\qquad C - 10 = -5 \;\Longrightarrow\; C = 5.$

两个值都要留：$4x - 3y + 15 = 0$ 与 $4x - 3y + 5 = 0$ 是两条平行直线，分别在 $P$ 的两侧， 到 $P$ 的距离都是 $1$。而且无论 $C$ 取哪个值，$A$、$B$ 都不同时为零，$l$ 始终是一条直线， 没有需要排除的取值。

回代核一遍：

• $C = 15$：$\dfrac{|4(-1) - 3(2) + 15|}{5} = \dfrac{|5|}{5} = 1$ ✓
• $C = 5$：$\dfrac{|4(-1) - 3(2) + 5|}{5} = \dfrac{|-5|}{5} = 1$ ✓

顺带核一条几何事实：这两条平行线之间的距离是 $\dfrac{|15-5|}{5} = 2$，正好等于 $2 \times 1$， 与”$P$ 夹在两条线正中间”相符。

这道题的关键动作：距离已知 + 直线含参 $\Rightarrow$ 去分母得绝对值方程 $\Rightarrow$ 拆两支。 只解出一个 $C$ 是最常见的失分。