6.1 平面向量的概念

本节页面上只有一页，但它承担的是整章的开头：向量是什么，为什么要有它。 课本在这一页里做了两件事——从物理量里抽象出”向量”这个概念（§6.1.1）， 并开始交代它怎么画出来（§6.1.2 的开头）。有向线段、相等向量、共线向量那几段接在下一节的页上。

这一节没有课本习题，所以本页面上没有习题详解那一块。

一、一句话的定义，和它背后的那次抽象

既有大小又有方向的量，叫做向量；只有大小、没有方向的量，叫做数量。

定义本身两行就完了，值得多花点力气的是它是怎么来的。课本给的三个例子——力、位移、速度—— 各有各的物理内容：力有作用点、位移有起终点、速度有瞬时性。把这些各自的特性全部丢掉， 只留下两者共有的那一条”既有大小、又有方向”，剩下的东西就是向量。

这次抽象与初中那次是同一个动作：从一支笔、一棵树、一本书里抽掉全部具体内容， 只留下”有多少个”，就得到了数量 $1$。数学里的每一个新对象几乎都是这么造出来的： 先找一批不同的东西，再问它们共有的结构是什么。

值得记住的对照：

判断一个量是不是向量，只看一条：它有没有方向。 温度有正负，但”零上 $5$ 度”里的正负说的是 大小的方向性刻度、不是空间中的方向，所以温度是数量；海拔、角度同理。 而”东南方向、$15$ n mile”这样的位移必须两个数据一起说才完整，它是向量。

二、为什么向量要用带箭头的线段画

数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量能画成数轴上的点。向量呢？

课本的答案是从位移借来的：小船从 $A$ 到 $B$，连接两点的线段的长度代表走了多远， 在终点 $B$ 处加个箭头代表朝哪走。于是这条”带方向的线段”恰好装下了向量的两个要素。

由此引出有向线段：在线段 $AB$ 的两个端点中规定一个顺序，$A$ 为起点、$B$ 为终点， 就说线段 $AB$ 具有方向。它记作 $\overrightarrow{AB}$，长度记作 $|\overrightarrow{AB}|$。

写的时候起点一定在终点前面——$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 是方向相反的两条有向线段， 顺序不是排版习惯，是内容。

有向线段有三个要素：起点、方向、长度。知道了这三样，终点就唯一确定了。

这里有一个非常要紧、却极容易滑过去的区别：有向线段与向量不是一回事。 有向线段有起点，向量没有——向量只由模与方向确定。同一个向量可以由平面上任何位置的 一条”方向相同、长度相等”的有向线段来表示，画在哪里都行。 这就是下一节”相等向量与起点无关”那句话的来源，也是向量能被自由平移、 从而在高考题里”接起来算”的根据。

三、几个记号与两个特殊向量

• 向量 $\overrightarrow{AB}$ 的大小叫做它的长度（或模），记作 $|\overrightarrow{AB}|$。
• 零向量：长度为 $0$ 的向量，记作 $\mathbf{0}$。它没有确定的方向（或者说方向是任意的）， 这一条在后面判断”平行""夹角”时会反复用到——凡是涉及方向的结论，都要先问一句是不是零向量。
• 单位向量：长度等于 $1$ 个单位长度的向量。方向可以任意，只要模是 $1$。
• 向量也可以用字母表示：印刷体用黑体 $\boldsymbol{a}$、$\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{c}$，手写时在字母上加箭头写作 $\vec{a}$。

注意零向量与数 $0$ 的写法：向量的零是 $\mathbf{0}$（粗体或带箭头），数的零是 $0$。 写 $\overrightarrow{AB} = 0$ 是把一个向量与一个数划等号，形式上就不对。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 把”有正负”当成”有方向”。 温度、海拔、角度都不是向量。
2. $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 混写。 起点写前面；两者模相等、方向相反。
3. 把向量与有向线段等同。 有向线段有起点，向量没有；同一个向量有无穷多条有向线段表示。
4. 零向量当成”没有向量”。 它是一个合法的向量，只是模为 $0$、方向任意。
5. 单位向量以为只有一个。 模为 $1$ 的向量有无穷多个，方向各异。
6. 模写成负数。 $|\overrightarrow{AB}| \geqslant 0$ 恒成立，它是长度。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单。这一节只是概念的入口， 真题不会单考”什么是向量”，但每一道向量题的第一步都要用到本节的两件事： 向量由模与方向确定，以及它可以自由平移。给一个读的顺序：

• 先看 2025 年第 6 题（帆船视风求真风）。它是本节概念最直白的一次考查： 风速、船速、视风速都是”既有大小又有方向”的量，题目要求的正是把三支箭头接起来。 这道题读懂题意就赢了一半，而读懂题意靠的就是本节那句定义。
• 再看 2023 年第 3 题与 2024 年第 3 题：两道向量垂直求参数的小题， 用到的是后面几节的坐标运算，但”向量与它的坐标一一对应”这件事的前提，是本节的”模 + 方向”。
• 最后是 2022 年第 17 题（正八边形上八段距离平方和）：它的一条解法把顶点配成四条直径， 用的正是”方向相反、长度相等的两个向量之和为零向量”——本节讲的两个特殊向量在那里各出场一次。