浙江 2022 · 数学 q17

题面

17. 设点 P 在单位圆的内接正八边形 $A_{1}A_{2}\cdots A_{8}$ 的边 $A_{1}A_{2}$ 上，则 $\overrightarrow{PA_{1}^{2}} + \overrightarrow{PA_{2}^{2}} + \cdots + \overrightarrow{PA_{8}^{2}}$ 的取值范围是 ____.

答案

$[12+2\sqrt{2},16]$

解析

分析

根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， $A_{7}A_{3}$ 所在直线为 x 轴， $A_{5}A_{1}$ 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 $P(x,y)$ ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到 $\overrightarrow{PA_{1}^{2}} + \overrightarrow{PA_{2}^{2}} + \cdots + \overrightarrow{PA_{8}^{2}} = 8(x^{2} + y^{2}) + 8$ ，然后利用 $\cos 22.5^{\circ} \leq |OP| \leq 1$ 即可解出.

以圆心为原点， $A_{7}A_{3}$ 所在直线为 x 轴， $A_{5}A_{1}$ 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则

$A_{1}(0,1), A_{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{3}(1,0), A_{4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{5}(0, -1), A_{6}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_{7}(-1,0),$

$A_{8}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ ，设 $P(x,y)$ ，于是 $\overrightarrow{PA_{1}^{2}}+\overrightarrow{PA_{2}^{2}}+\cdots+\overrightarrow{PA_{8}^{2}}=8\left(x^{2}+y^{2}\right)+8$

因为 $\cos22.5^{\circ}\leq|OP|\leq1$ ，所以 $\frac{1+\cos45^{\circ}}{2}\leq x^{2}+y^{2}\leq1$ ，故 $\overrightarrow{PA_{1}^{2}}+\overrightarrow{PA_{2}^{2}}+\cdots+\overrightarrow{PA_{8}^{2}}$ 的取值范围是 $[12+2\sqrt{2},16]$ .

故答案为： $[12+2\sqrt{2},16]$ .