浙江 2022 年数学真题

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q01设集合 $A = \{1,2\}, B = \{2,4,6\}$ ，则 $A \cup B = (\quad)$
q02已知 $a, b \in R, a + 3\mathrm{i} = (b + \mathrm{i})\mathrm{i}$ （i为虚数单位），则（）
q03若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l} x - 2 \geq 0, \\ 2x + y - 7 \leq 0, \\ x - y - 2 \leq 0, \end{array} \right.$ 则 $z = 3x + 4y$ 的最大值是（）
q04设 $x \in R$ , 则“ $\sin x = 1$ ”是“ $\cos x = 0$ ”的（）
q05某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位： $cm^{3}$ ）是（）
q06为了得到函数 $y = 2\sin 3x$ 的图象，只要把函数 $y = 2\sin \left(3x + \frac{\pi}{5}\right)$ 图象上所有的点（）
q07已知 $2^{a} = 5, \log_{8} 3 = b$ ，则 $4^{a - 3b} = (\quad)$
q08如图，已知正三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}, AC = AA_{1}$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $BC, A_{1}C_{1}$ 上的点。记 $EF$ 与 $AA_{1}$ 所成的角为 $\alpha$ ， $EF$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $\beta$ ，二面角 $F - BC - A$ 的平面角为 $\gamma$ ，则（）
q09已知 $a, b \in R$ , 若对任意 $x \in R, a \mid x - b \mid + \mid x - 4 \mid - \mid 2x - 5 \mid \geq 0$ , 则 ( )
q10已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_1 = 1, a_{n+1} = a_n - \frac{1}{3} a_n^2 (n \in N^*)$ ，则（）
q11我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白。如果把这个方法写成公式，就是
q12已知多项式 $(x+2)(x-1)^{4}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+a_{5}x^{5}$ ，则 $a_{2}=$ ____， $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=$ ____。
q13若 $3\sin \alpha - \sin \beta = \sqrt{10}, \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ , 则 $\sin \alpha =$ ____, $\cos 2\beta =$ ____.
q14已知函数 $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2, & x \leq 1, \\ x + \frac{1}{x} - 1, & x > 1, \end{cases}$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right) =$ ____；若当 $x \in[a, b]$ 时， $1 \leq f(x) \leq 3$ ，则 $b - a$ 的最大值是 ____。
q15现有 7 张卡片，分别写上数字 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6. 从这 7 张卡片中随机抽取 3 张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $\xi$ ，则 $P(\xi = 2) =$ ____ ， $E(\xi) =$ ____ .
q16已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，过 $F$ 且斜率为 $\frac{b}{4a}$ 的直线交双曲线于点 $A(x_1, y_1)$ ，交双曲线的渐近线于点 $B(x_2, y_2)$ 且 $x_1 < 0 < x_2$ 。若 $|FB| = 3|FA|$ ，则双曲线的离心率是 ____.
q17设点 P 在单位圆的内接正八边形 $A_{1}A_{2}\cdots A_{8}$ 的边 $A_{1}A_{2}$ 上，则 $\overrightarrow{PA_{1}^{2}} + \overrightarrow{PA_{2}^{2}} + \cdots + \overrightarrow{PA_{8}^{2}}$ 的取值范围是 ____.
q18在 $\triangle ABC$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ 。已知 $4a = \sqrt{5}c, \cos C = \frac{3}{5}$ 。
q19如图，已知 ABCD 和 CDEF 都是直角梯形， $AB \parallel DC$ ， $DC \parallel EF$ ，AB = 5，DC = 3，EF = 1， $\angle BAD = \angle CDE = 60^{\circ}$ ，二面角 F - DC - B 的平面角为 $60^{\circ}$ ．设 M，N 分别为 AE, BC 的中点.
q20已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = -1$ ，公差 $d > 1$ 。记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ 。
q21如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{12} + y^{2} = 1$ 。设 A，B 是椭圆上异于 $P(0,1)$ 的两点，且点 $Q\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 在线段 AB 上，直线 PA, PB 分别交直线 $y = -\frac{1}{2}x + 3$ 于 C，D 两点。
q22设函数 $f(x) = \frac{\mathrm{e}}{2x} + \ln x (x > 0)$ .