浙江 2022 · 数学 q07

冷启动：三件事就够了

假设你刚学完对数的定义。这道题要用的全部知识就是下面三条。

① 指数式与对数式是同一句话的两种写法。

$$a^{x}=N\iff x=\log_a N\qquad(a>0,\ a\neq1,\ N>0)$$

「$2$ 的几次方等于 $8$」与「以 $2$ 为底 $8$ 的对数是几」问的是同一件事。这道题的两个条件恰好一个是指数式、一个是对数式——第一件事就是把它们翻到同一种语言里。

② 指数幂的三条运算性质。

$$a^{r}a^{s}=a^{r+s},\qquad \frac{a^{r}}{a^{s}}=a^{r-s},\qquad (a^{r})^{s}=a^{rs}$$

注意最后一条：$(2^{2})^{x}=2^{2x}$，指数是相乘。由它得到本题最要紧的一条改写：

$$4^{x}=(2^{2})^{x}=2^{2x}$$

③ 换底公式的一个特例。 底数是某个数的 $n$ 次幂时，对数缩成 $\dfrac1n$：

$$\log_{a^{n}}b=\frac{1}{n}\log_a b\qquad\Longrightarrow\qquad \log_8 3=\log_{2^{3}}3=\frac13\log_2 3$$

注意方向是反的：幂那边底数取 $n$ 次方，指数要乘 $n$；对数这边底数取 $n$ 次方，值要除以 $n$。这一对反向系数是本题唯一需要小心的地方。

④ 题目问什么。 已知 $2^{a}=5$、$\log_8 3=b$，求 $4^{a-3b}$。两个条件里出现的底数是 $2$ 与 $8$，要求的式子底数是 $4$——三个都是 $2$ 的幂。所以整道题的路线是：全部换成以 $2$ 为底。

解法一：把条件都翻成「2 的多少次幂」，直接代

怎么想到的。 所求 $4^{a-3b}$ 是一个幂，那就让手上的两个条件也都长成幂的模样——「$2$ 的某次方等于某个数」。这样代进去只是把两个已知的数相除，全程一个 $\log$ 都不用写。

① 第一个条件已经是幂了。

$$2^{a}=5$$

② 把第二个条件翻成幂。 $\log_8 3=b$ 按定义就是「$8$ 的 $b$ 次方等于 $3$」：

$$8^{b}=3$$

再把底数 $8$ 换成 $2$：$8=2^{3}$，所以 $8^{b}=(2^{3})^{b}=2^{3b}$，即

$$\boxed{2^{3b}=3}$$

这一步是全题的枢纽：条件里的 $b$ 从此以 $3b$ 的形式出现，而所求的指数恰好是 $a-3b$——两者严丝合缝。（官方解析走的是另一条等价的路：先 $b=\dfrac13\log_2 3$，两边乘 $3$ 得 $3b=\log_2 3$，再翻成 $2^{3b}=3$。殊途同归。）

③ 把所求也换成以 $2$ 为底。

$$4^{a-3b}=(2^{2})^{a-3b}=2^{2(a-3b)}=2^{2a-6b}$$

这里最容易漏掉那个 $2$。 写成 $2^{a-3b}$ 就会得到 $\dfrac53$——正是选项 D。

④ 拆成两个已知的幂。 指数上的减法就是幂的除法，指数上的 $\times 2$ 就是整体平方：

$$4^{a-3b}=\frac{4^{a}}{4^{3b}}=\frac{(2^{a})^{2}}{(2^{3b})^{2}}$$

⑤ 代入。 $2^{a}=5$、$2^{3b}=3$：

$$4^{a-3b}=\frac{5^{2}}{3^{2}}=\frac{25}{9}$$

故选 C。

解法二：把 a、b 都写成以 2 为底的对数再合并

怎么想到的。 上一条路把两个条件都翻成了指数式。反过来也行：把它们都翻成对数式，让 $a$ 和 $3b$ 都变成「以 $2$ 为底的某个对数」，那么 $a-3b$ 就是两个对数相减——而对数相减可以合并成一个对数（$\log_a M-\log_a N=\log_a\frac MN$）。合并完再指数回去即可。

这条路多绕一步，但它把「指数上那个别扭的 $a-3b$」变成了一个具体的对数值 $\log_2\dfrac53$，中间过程看得见摸得着。

① 把 $a$ 写成对数。 由 $2^{a}=5$ 得

$$a=\log_2 5$$

② 把 $b$ 写成以 $2$ 为底的对数。 用换底公式的那个特例：

$$b=\log_8 3=\log_{2^{3}}3=\frac13\log_2 3 \qquad\Longrightarrow\qquad 3b=\log_2 3$$

（系数是 $\dfrac13$ 不是 $3$。快速自查：$\log_8 8=1$，而 $\dfrac13\log_2 8=\dfrac13\cdot3=1$ ✓。）

③ 相减并合并。 两个对数同底，可以并成一个：

$$a-3b=\log_2 5-\log_2 3=\log_2\frac53$$

④ 指数回去。 先算 $2^{a-3b}$，再平方：

$$2^{a-3b}=2^{\log_2\frac53}=\frac53$$

（这里用了恒等式 $2^{\log_2 N}=N$——它就是对数定义本身：「$2$ 的（以 $2$ 为底 $N$ 的对数）次方」当然等于 $N$。）

$$4^{a-3b}=\left(2^{a-3b}\right)^{2}=\left(\frac53\right)^{2}=\frac{25}{9}$$

故选 C。

注意第 ④ 步的两行：第一行的 $\dfrac53$ 正是选项 D。它是 $2^{a-3b}$，不是 $4^{a-3b}$——在这条路上，「还差一次平方」这件事被摆到了明面上，反而不容易漏。

这两条路差在哪

• 解法一全程在指数式里走：把两个条件都变成「$2$ 的某次幂 = 某个数」，代进去只是相除再平方。一个 $\log$ 都不出现，步骤最少。
• 解法二全程在对数式里走：把 $a$、$3b$ 都写成 $\log_2$，用对数减法合并成 $\log_2\dfrac53$，再指数回去。它造出了一个解法一里根本不存在的中间量——$a-3b$ 的确切值 $\log_2\dfrac53$。

第一个实质动作就分岔了（把 $b$ 翻成 $2^{3b}=3$ vs 把 $a$、$b$ 翻成 $\log_2$），依赖的公式也不同（幂的运算性质 vs 对数的运算性质），所以是两条路。

考场上怎么选：所求是幂就走解法一（本题正是），少绕一圈也少一次出错机会；若题目改成问 $a-3b$ 的值、或问 $\log_2(\text{某式})$，那走解法二更顺——往哪种语言翻，看所求是什么语言。

🕳️ 避坑

• $4^{x}=2^{2x}$，那个 $2$ 不能漏。 漏了就算成 $2^{a-3b}=\dfrac53$，正是选项 D。规律记住：正确答案的平方根（或平方）几乎必定被摆进选项。
• $\log_{a^{n}}b=\dfrac1n\log_a b$，系数是 $\dfrac1n$ 不是 $n$。 $\log_8 3=\dfrac13\log_2 3$。方向与幂那边恰好相反（幂是乘 $n$），是最容易记串的一对。
• 指数上的减法是除法。 $4^{a-3b}=\dfrac{4^{a}}{4^{3b}}$，不是 $4^{a}-4^{3b}$，也不是 $\dfrac{4^{a}}{4^{b}}$（指数上的 $3b$ 要整个搬下去）。
• 本题特有的一处：条件给的是 $b$，而所求的指数里出现的是 $3b$——题目故意让 $\log_8$ 的那个 $3$ 与指数里的 $3$ 对上。看到 $\log_8=\log_{2^3}$ 与 $a-3b$ 里的 $3$，就该意识到它们是配好对的，$2^{3b}=3$ 是设计好的落点，不是巧合。
• 顺带看清另外两个干扰项：A. $25$ 是只算了 $(2^{a})^{2}=25$、把分母整个漏掉；B. $5$ 就是 $2^{a}$ 本身，连平方都没做。四个选项恰好是「漏平方 / 漏分母 / 什么都没做 / 全对」四档。