对数

教材原文

一般地，如果 $a^{x}=N(a>0,\text{且}a\neq1)$ ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数（logarithm），记作

$x = \log_ {a} N,$

其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数.

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把 $\log_{10}N$ 记为 $\lg N$ 。另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数 $e=2.718\ 28\cdots$ 为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm），并把 $\log_{e}N$ 记为 $\ln N$ 。

根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：

当 $a > 0$ ， $a\neq 1$ 时， $a^x = N\Leftrightarrow x = \log_aN$

由指数与对数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

负数和 0 没有对数；

$\log_ {a} 1 = 0, \log_ {a} a = 1.$

定义

若 $a^x=N\ (a>0,\ a\neq 1,\ N>0)$，则称 $x$ 为以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x=\log_a N$。

要点

• 恒等式：$a^{\log_a N}=N$，$\log_a a^x=x$。
• 底数 $a>1$ 时 $\log_a x$ 关于 $x$ 单调递增；$0<a<1$ 时单调递减。
• 换底公式：$\log_a N=\dfrac{\ln N}{\ln a}$。