对数函数

教材原文

一般地，函数 $y = \log_a x (a > 0,$ 且 $a \neq 1)$ 叫做对数函数（logarithmic function），其中 $x$ 是自变量，定义域是 $(0, +\infty)$.

如图4.4-4，选取底数 $a$ 的若干值，用计算工具画图，发现对数函数 $y = \log_a x$ 的图象按底数 $a$ 的取值，可分为 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种类型。因此，对数函数的性质也可以分 $0 < a < 1$ 和 $a > 1$ 两种情况进行研究。

一般地，对数函数的图象和性质如表4.4-2所示.

定义

形如 $y=\log_a x\ (a>0,\ a\neq 1)$ 的函数叫做对数函数，定义域为 $(0,+\infty)$。

要点

• $a>1$ 时单调递增，$0<a<1$ 时单调递减；图象都过点 $(1,0)$。
• 与指数函数 $y=a^x$ 互为反函数，图象关于直线 $y=x$ 对称。
• 底数只分两支：$a>0$ 且 $a\neq 1$，于是只有 $0<a<1$ 与 $a>1$ 两种图象，没有第三种。 含参的识图题就靠这一条把可能性穷举干净。

定点 $(1,0)$ 是共有的，不能当判据

$\log_a 1=0$ 对任何合法的底数都成立，所以「图象过 $(1,0)$」是全体对数函数共有的性质—— 它区分不了底数，也就区分不了选项。识图题里能刷掉选项的，永远是几张图彼此不同的那几处 （对数这一侧就是升降），不是它们都满足的那几处。