浙江 2019 · 数学 q06

冷启动：先把「谁跟 $a$ 有关、谁跟 $a$ 无关」分开

题面在同一直角坐标系里画两条曲线：

$$y=\frac{1}{a^{x}},\qquad y=\log_a\!\left(x+\frac12\right).$$

四个选项都是「两条曲线的草图」，而底数 $a$ 是不知道的。所以这道题的第一步不是画图，是把 图上的信息切成两堆：

右边这一列有三条，一条也不许错——画图靠它们，刷选项也靠它们。不过先提一句：三条里 只有「零点在 $x=\dfrac12$」这一条在本题的四张草图上判得出来（横轴上正好印着刻度 $1$ 当基准），另两条本题判不动（下面各处会说明）。左边那一列虽然随 $a$ 变，但两条曲线的升降 被锁在一起（下面会证），所以它也不是自由的两位，而是一位——这一位就是第二把刀。

顺手把题面的一处笔误记下来：卷面印的是「$a>0$ 且 $a\neq 0$」。$a>0$ 已经蕴含 $a\neq 0$， 这句话是空的；而 $\log_a$ 的底数必须 $a\neq 1$，官方【详解】也正是按 $0<a<1$ 与 $a>1$ 两支讨论的。原卷这里应作「$a>0$ 且 $a\neq 1$」，本站照原样保留题面，只在这里点明。

先说明一件事：四张图不在文字里。 本站的题面转写是从扫描件抽出来的文字，四个选项是图， 一张也没抽出来（转写里连字母都只剩一个残片，见校订层）。下面这张表是照本页上方那张原卷扫描图 逐张放大读出来的，校订层的说明里逐字记着同一份读数。也就是说：这一段是读图，不是推理—— 它不参与任何一步推导，只在最后对号时用一次。两条解法各自把这份读数抄在自己那一步里， 好让每条路都自成一体。读者可以开图自核；核出与本表不符的地方，以图为准。

这张表只读一件事：对数那条的零点落在哪。 四张图的横轴都只印了一个刻度 $1$——这不是 省略，而是出题人给的唯一比对基准：有了它，「零点压在刻度上」「零点在刻度与原点的中间」 「零点在刻度右边」这三件事肉眼一望即分，用不着量数值，所以上表一个小数也没写。

竖直渐近线画在哪，这四张草图上读不出来，本站也就不拿它去淘汰任何选项。 理由要说清： 真正的 $\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)$，零点必在渐近线右侧恰好一个单位（$\log_a1=0$， 与底数无关）；而这四张图的笔画都是随手截断的，某一张没画出 $y$ 轴左边那一段， 既可能是它把渐近线取在了 $y$ 轴上或更右，也可能只是笔画截得早——图上这两种情形长得一样。 既然分辨不了，就不能拿「没伸到 $y$ 轴左边」判死谁。反过来，D 那张确实画出了 $y$ 轴左边 那一小段（与定义域 $x>-\dfrac12$ 相符），这算对 D 的一次正面确认，不承担淘汰。

顺带说一句四张图的造法：A 与 C 是同一个错法「忘了平移」的两个版本（一个配 $0<a<1$ 的升降、 一个配 $a>1$ 的升降），B 是另一个错法「两条画成同向」——三种典型错法加一张正确的， 这是选择题干扰项的常见造法。

解法一：按 $a$ 分两支，各把两条曲线画一次

怎么想到的。 唯一的未知量是 $a$，而 $a$ 只在「$>1$」与「$<1$」这两档上影响图象—— 底数越过 $1$ 时指数函数与对数函数同时翻转升降。于是照着这条唯一的分界线把 $a$ 分两支， 每支各画一次，四个选项里最多只能有一支对得上。

① 先把第一条曲线换个写法。 由指数幂的运算性质，

$$y=\frac{1}{a^{x}}=\left(\frac1a\right)^{x},$$

它仍是指数函数，只是底数从 $a$ 换成了 $\dfrac1a$。这一步是本题的枢纽：换底数把「$a$ 大」 变成「$\dfrac1a$ 小」，于是它的升降与 $y=a^{x}$ 正好相反。

② $0<a<1$ 这一支。 此时 $\dfrac1a>1$，所以

• $y=\left(\dfrac1a\right)^{x}$ 单调递增，过 $(0,1)$；
• $y=\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)$ 的底 $0<a<1$，单调递减，零点在 $x=\dfrac12$， 渐近线 $x=-\dfrac12$。

一升一降，且升的那条是指数、降的那条是对数。

③ $a>1$ 这一支。 此时 $\dfrac1a<1$，两条全部翻过来：

• $y=\left(\dfrac1a\right)^{x}$ 单调递减，仍过 $(0,1)$；
• $y=\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)$ 单调递增，零点仍在 $x=\dfrac12$，渐近线仍是 $x=-\dfrac12$。

④ 两支合起来只说了一句话：升降永远相反。 把 ② ③ 的结论提炼一下：

$$y=\frac{1}{a^{x}}\ \text{递增} \iff \frac1a>1 \iff 0<a<1 \iff y=\log_a(\cdot)\ \text{递减}.$$

三个 $\iff$ 一路等价，所以两条曲线的升降永远相反——这就是冷启动里说的「不是自由的两位， 只是一位」。合起来，②③ 给出的全部可能只有两张「合法形状」：

注意零点与渐近线两列两支完全一样：它们与 $a$ 无关。所以判一张图，要核的是三件事—— 升降这一对、零点位置、渐近线位置。

到这里为止，全部推导结束——不看任何选项也成立的结论是：

$$\text{合法的图象只有两张：} \begin{cases} \text{(i)}\ 0<a<1:\ \text{指数递增、对数递减}, \\[2pt] \text{(ii)}\ a>1:\ \text{指数递减、对数递增}, \end{cases} \qquad\text{两张都满足：零点 } x=\tfrac12,\ \text{渐近线 } x=-\tfrac12 .$$

⑤ 最后一步才看图对号。 推导到此为止，剩下的是读图：拿 (i)(ii) 去比原卷那四张草图。 本站的题面转写一张图也没抽出来（图在本页上方的扫描件上），所以先把四张图照扫描图逐张读出来 ——这一段是读数，不是推理，读者可开图自核。只读两件事：两条曲线各自的升降， 以及对数那条的零点落在印出来的刻度 $1$ 的哪一侧（一个小数也不用量）：

为什么只读这两件事。 升降是走向，读不错；零点是曲线与 $x$ 轴的交点，横轴上又印着刻度 $1$ 当基准，「压在刻度上 / 在刻度与原点的中间 / 在刻度右边」三挡肉眼一望即分。至于竖直渐近线 画在哪，草图上读不出来——笔画是随手截断的，某张图没画出 $y$ 轴左边那一段，可能是它把渐近线 取在了 $y$ 轴上或更右，也可能只是截得早，两种情形长得一样。所以下面不拿渐近线淘汰任何选项， 只用零点这一条读数，加上 ④ 那条纯推理。逐张对号：

• A：指数递增 + 对数递减，升降这一对合 (i) 支；但零点正压在印出来的刻度 $1$ 上， 而两支都要求零点在 $x=\dfrac12$——那是原点与刻度 $1$ 的正中间。刻度 $1$ 是图上唯一的基准， 「压在刻度上」与「离刻度还有半格」不是读图误差能混掉的两件事 → 出局。
• B：两条都递增。(i) 支要求对数递减、(ii) 支要求指数递减，B 哪一支都不是—— 由 ④ 的等价链，同一个 $a$ 根本画不出同向的两条。这一刀不用看图上的任何位置，纯推理 （B 的零点其实画在 $\dfrac12$ 附近，那一处倒是对的，可惜救不了它）→ 出局。
• C：指数递减 + 对数递增，升降这一对合 (ii) 支，这一列是对的（所以 C 不是被 「没人画 $a>1$ 那一支」淘汰的）；淘汰它的是零点：落在刻度 $1$ 的右侧，比要求的 $\dfrac12$ 多出一格上下，比 A 偏得还远 → 出局。
• D：指数递增 + 对数递减（合 (i) 支），零点落在原点与刻度 $1$ 的中间（合）。 两件事都中 → 留下。（顺带一提：D 那张还画出了 $y$ 轴左边的一小段，与定义域 $x>-\dfrac12$ 相符——这是对 D 的正面确认，不参与上面任何一次淘汰。）

唯一性押在一条读数 + 一条推理上。 A、C 死于零点位置这一条读数，B 死于 ④ 这条纯推理， D 是四张里唯一两项全中的。要推翻结论，就得让「A 的零点压在刻度 $1$ 上」或「C 的零点在刻度 $1$ 右侧」读成「零点在半格处」，或让 B 那两条同向的曲线变成一升一降——前两种超出草图能有的模糊 范围（C 偏得比 A 还远），后一种与 ④ 矛盾。

故选 D。

这一步靠的是读图与「四选一」，不是证明。 ①—④ 挣到的只是「正确选项必须长成 (i) 或 (ii)」 这条必须满足的性质；⑤ 拿它去淘汰，用的是单选题「四张里必有一张对」这条题外保证，没有正面证明 D 画的就是某个具体 $a$ 的图象（草图上本来也没有数值可核）。所以这条路只在选择题里成立； 若题目改成「画出这两个函数的图象」，(i)(ii) 那两张才是要交的答案。

⑤ 用到的四组读数不可推导，只能开图核。 它们不是从题面文字推出来的——题面文字里没有图。 换句话说：本站在 ⑤ 之前不欠读者任何一步推理，在 ⑤ 这一步欠读者一次开图。上方扫描图就是那张图。

解法二：三处与底数无关的位置 + 一条升降关系，逐条去否选项

怎么想到的。 选择题不必把两支都画出来：只要找几条对任何合法 $a$ 都成立的性质， 逐条去筛四张图，能剩一张就够了。这样的性质本题一共攒得出四条——三条是位置 （过 $(0,1)$、零点 $\dfrac12$、渐近线 $x=-\dfrac12$），第四条是两条曲线升降的相对关系。 四条都不用知道 $a$ 具体是多少。先说清它们的分工：本题真正砍得动图的只有 ② 与 ④。 ① 一张也砍不掉（四张图的指数那条都画在 $x$ 轴上方、都过 $y$ 轴正半轴），只当兜底检查用； ③ 是一条真性质，可是在这四张草图上不可判（下面说明），因此本站只拿它做正面确认， 不用它淘汰。

① 筛子一：指数那条必过 $(0,1)$。 $\left(\dfrac1a\right)^{0}=1$ 对一切 $a>0$ 成立， 且指数函数的值域是 $(0,+\infty)$——图象整条在 $x$ 轴上方，不与 $x$ 轴相交。谁把指数那条画到 $x$ 轴下方、或让它穿过 $x$ 轴，谁就出局。

② 筛子二：对数那条的零点在 $x=\dfrac12$，不在 $x=1$。 令

$$\log_a\!\left(x+\frac12\right)=0 \iff x+\frac12=1 \iff x=\frac12 ,$$

因为 $\log_a 1=0$ 与底数无关。这一条是本题的送分点也是最大的坑：照着没平移的 $y=\log_a x$ 去画，零点会落在 $x=1$。四个选项里的横轴只标了一个刻度 $1$，正是为了让人 在「零点落在 $1$」与「零点落在 $1$ 与原点之间」这两件事上分辨。

③ 筛子三（真性质，但本题不可判）：对数那条的渐近线是 $x=-\dfrac12$，在 $y$ 轴左边。 定义域 $x+\dfrac12>0$ 即 $x>-\dfrac12$，所以函数在 $y$ 轴左侧仍有定义（$-\dfrac12<x<0$）， 在 $x=0$ 处取的是有限值 $\log_a\dfrac12$，且贴着直线 $x=-\dfrac12$ 冲向无穷。

这一条数学上无懈可击，可拿它去判这四张草图判不了，理由要讲明白：草图的笔画都是随手截断的 （画到哪儿算哪儿），所以「图上没画出 $y$ 轴左边那一段」既相容于「渐近线取在了 $y$ 轴上或更右」， 也相容于「渐近线在 $-\dfrac12$、只是笔画截在了 $y$ 轴右边」——两种情形在图上长得一样。 既然分辨不了，本站就不用 ③ 淘汰任何一张。它仍有用：D 那张画出了 $y$ 轴左边那一小段， 这是对 D 的一次正面确认；而画图题里它是必须交出来的细节。

④ 筛子四（升降的相对关系）：两条必须一升一降。 这一条自带证明，也不用知道 $a$ 是多少。 由 $\dfrac{1}{a^{x}}=\left(\dfrac1a\right)^{x}$，

$$y=\frac{1}{a^{x}}\ \text{递增} \iff \frac1a>1 \iff 0<a<1 \iff y=\log_a(\cdot)\ \text{递减}.$$

三个 $\iff$ 一路等价，所以两条曲线的升降永远相反，画成同向的图当场出局。

⑤ 筛下来只剩 D。 ①—④ 四条的推导到上面就结束了，它们都不看选项。下面这张表的每一格是 「拿某条筛子去比某张图」的结果；用到的读图只有两种，都是不必量数值的粗读数——两条曲线的升降， 以及对数那条的零点落在印出来的刻度 $1$ 的哪一侧（照原卷扫描图读出，本身不可推导，读者开图自核）：

（③ 不在表里：如上所说，它在这四张草图上不可判，故不承担淘汰。D 那张另外画出了 $y$ 轴左边 那一小段，与 ③ 相符，算一次正面确认。）

这张表要照实读，别把它读成「四条各有各的活干」。 事实是：

• ② 砍掉 A、C（零点没随平移挪到 $\dfrac12$：一张压在刻度 $1$ 上、一张还在刻度 $1$ 右边）， 砍不掉 B（B 的零点画对了）。
• ④ 只砍掉 B（唯一画成同向的一张），砍不掉 A、C（这两张的升降都是合法组合之一）。
• ① 一张也砍不掉，如前所说只是兜底；③ 本题不可判，只作正面确认。

所以刷掉三张的走法只有一条：② 配 ④（②→A、C，④→B），剩下 D。四条筛子里能干活的就这两条 ——这也是本题的一个教训：性质真不等于图上判得出，判据得挑「图上确实画得清楚」的那几条。

两条路差在哪。 解法一是正面画图：把 $a$ 分两支，每支都把两条曲线的形状完整定下来， 再去认哪张图是它。好处是画完心里有底，连「C 只对上了 $a>1$ 那一支的升降、位置全没跟着平移」 这种半对的图也当场看穿；代价是要画两遍。 解法二是反过来筛：先攒几条与 $a$ 无关的硬性质，再拿它们去否选项——本题「零点在原点与 刻度 $1$ 的中间」一条砍两张、「两条必须一升一降」一条砍一张，两刀刷到唯一答案，是考场上最快的路。

代价也在这儿：筛子够不够用、判不判得出，都得自己心里有数。四条里 ①（过 $y$ 轴正半轴） 在本题一张也砍不掉；③（渐近线在 $y$ 轴左边）性质为真却在草图上判不出来（笔画随手截断， 没画出来不等于没有）。刷到只剩两张图时别硬猜，回到解法一把那一支老老实实画出来。

🕳️ 避坑

选项	站不站得住	为什么
A	对数那条的零点正压在刻度 $x=1$ 上	那是没平移的 $y=\log_a x$；括号里的 $+\dfrac12$ 被漏掉了
B	两条画成同向（都递增）	违反「$1/a^x$ 递增 $\iff a<1 \iff \log_a$ 递减」——同一个 $a$ 不可能让两条同向。它把零点画对了，最容易骗人
C	升降这一对没错，但对数那条整体右移了：零点落在刻度 $1$ 的右侧	同 A 的病：只记住了「$a>1$ 时对数递增」，忘了平移把零点挪到了 $\dfrac12$
D	正确	指数递增过 $(0,1)$、对数递减、零点 $\dfrac12$、渐近线 $x=-\dfrac12$——正是 $0<a<1$ 那一支

• $\dfrac{1}{a^{x}}$ 不是 $a^{x}$。 它等于 $\left(\dfrac1a\right)^{x}$，升降与 $a^{x}$ 相反。把它当成 $a^{x}$ 来判，两支的升降就整个记反：会把 D（指数递增 + 对数递减） 当成「$a>1$ 那一支」而判它不合，转去找一张指数递减的图。 官方【详解】也是先说 $y=a^x$ 递减、再翻成 $y=\dfrac{1}{a^x}$ 递增，这一步不能省。
• 官方【详解】那句「$a>1$ 时各选项均不符合」不等于「没人画 $a>1$ 那一支」。 C 画的正是 $a>1$ 那一支的升降（指数降、对数升），它错在零点没跟着平移。把这句读成「$a>1$ 一支 没人画」，下次遇到同类题就会漏掉「升降对了但位置错了」这种最像的干扰项。
• 对数的零点靠「令括号里等于 $1$」定，不是靠印象。 $\log_a\!\left(x+\dfrac12\right)=0$ 给 $x=\dfrac12$；换成 $\log_a\!\left(x-\dfrac12\right)$ 就给 $x=\dfrac32$。 括号里加什么，零点就往反方向挪多少（左加右减）。
• 渐近线与定义域是同一件事。 $x>-\dfrac12$ 的端点就是渐近线 $x=-\dfrac12$。 图上「曲线在 $y$ 轴左边还有一小段」是这道题最容易被画丢的细节——D 那张图的左端正有这么一段。
• 「图上没画出来」不等于「图上没有」——这是选图题最容易犯的越权判断。 草图的笔画随手截断， 真正的对数曲线零点必在渐近线右侧恰好 $1$ 个单位，而本题几张图的笔画止处与零点只差 零点几格，可见都截在渐近线右边老远。所以「某张没画出 $y$ 轴左边那一段」判不出它的渐近线在哪， 拿它淘汰选项就是越权。真正判得出的是曲线与坐标轴、与已标刻度的交点：本题的零点靠刻度 $1$ 做基准，是四张图里唯一读得准的位置。挑判据要挑图上画得清楚的那几条。
• 两条曲线的升降只有一位自由度。 别把它当成两位去数「四种组合」：合法的只有两种 （指数增 + 对数减、指数减 + 对数增），另外两种在任何 $a$ 下都不存在。
• 题面的 $a\neq 0$ 是原卷笔误，别跟着推。 真正的限制是 $a>0$ 且 $a\neq 1$： $a=1$ 时 $\log_1$ 没有定义（而 $y=\dfrac{1}{1^x}\equiv1$ 是条水平线）， 所以两支讨论恰好覆盖了全部合法的 $a$，中间没有第三支。

两条路殊途同归：正面画是「$0<a<1$ 给一升一降，再拿零点 $\dfrac12$ 与渐近线 $x=-\dfrac12$ 把两条曲线定死，去认哪张图是它」，反面筛是「拿与 $a$ 无关的位置去否选项——本题『零点在原点与 刻度 $1$ 的中间』砍掉 A、C，『必须一升一降』砍掉 B」。故选 D。