指数幂的运算性质

教材原文

整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数 $r$ ， $s$ ，均有下面的运算性质.

(1) $a^r a^s = a^{r + s}$ $(a > 0, r, s \in \mathbf{Q})$;

三条规则

要点

• 三条各管一件事：同底相乘 → 指数相加、幂的幂 → 指数相乘、积的幂 → 各自取幂。
• 由 (1) 顺带得同底相除 → 指数相减：$\dfrac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$。
• 前提是 $a>0$。 负底数的分数指数幂没有意义（$(-8)^{1/2}$ 讲不通），所以这三条只在正底数上用。
• 教材写的是有理数指数，但指数拓展到实数后三条依然成立——高考里 $a^{\log_2 3}$ 这类无理指数照用不误。

换底：统一底数的那一招

这三条只在同底之间通行，所以处理混合底数的第一件事永远是把所有幂改写成同一个底：

底数统一之后，加减乘除全在指数上做，题目往往当场就化开了。

常见失手

• $(a^r)^s$ 记成 $a^{r^{s}}$：是指数相乘，不是再乘方。$(2^3)^2=2^6=64$，不是 $2^9$。
• $4^{x}$ 与 $2^{x}$ 差的是平方：$4^{x}=(2^{x})^{2}$。少平方一次，答案会变成正确值的平方根。
• 不同底直接合并：$2^a\cdot 3^b$ 合不成一个幂，得先想办法统一底数或改用对数。