浙江 2013 · 数学 q11

冷启动：「常数项」到底是什么条件

$$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{5}$$

展开后是六项之和，每一项都长成”一个数乘 $x$ 的某个次幂”。 常数项 = 那个次幂恰好是 $0$ 的那一项。

所以本题只有两步：

1. 把”第 $r+1$ 项里 $x$ 的次数”写成一个关于 $r$ 的式子；
2. 让它等于 $0$，解出 $r$，再把那一项的系数算出来。

第 2 步里最容易丢的是符号：括号里是减号，$b=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$， 它的 $r$ 次方带来一个 $(-1)^{r}$。答案是负数不是”因为原式有减号”， 而是因为解出来的 $r=3$ 恰好是奇数。

上块管”哪一项”，下块管”那一项是多少”。 两块合起来就是全部：指数定位置，$(-1)^{r}C_{5}^{r}$ 定大小和符号。

解法一：写通项，令 $x$ 的指数等于零

这是官方走的路，也是最短的一条。

第一步：把通项写全（负号一起写进去）

把 $\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)^{5}$ 看成 $(a+b)^{5}$，其中

$$a=\sqrt{x}=x^{\frac12},\qquad b=-\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=-x^{-\frac13} .$$

$b$ 里的负号必须一起搬进来，这是本题唯一的符号来源。于是

$$T_{r+1}=C_{5}^{r}a^{5-r}b^{r} =C_{5}^{r}\left(x^{\frac12}\right)^{5-r}\left(-x^{-\frac13}\right)^{r} =(-1)^{r}C_{5}^{r}\,x^{\frac{5-r}{2}}\,x^{-\frac{r}{3}} .$$

第二步：把两个指数并成一个

同底数幂相乘，指数相加；通分到 $6$：

$$\frac{5-r}{2}-\frac{r}{3} =\frac{3(5-r)-2r}{6} =\frac{15-3r-2r}{6} =\frac{15-5r}{6} .$$ $$\boxed{\ T_{r+1}=(-1)^{r}C_{5}^{r}\,x^{\frac{15-5r}{6}}\ }$$

第三步：令次数为零

$$\frac{15-5r}{6}=0\ \Longrightarrow\ 15-5r=0\ \Longrightarrow\ r=3 .$$

$r=3$ 落在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 里，合法（若解出来是分数或越界，就说明没有常数项）。

第四步：把这一项算出来

$$A=T_{4}=(-1)^{3}C_{5}^{3}=-C_{5}^{3}=-\frac{5\times4\times3}{3\times2\times1}=-10 .$$ $$A=-10 .$$

两处别踩：$r=3$ 对应的是第 $4$ 项（通项是 $T_{r+1}$），不是第 3 项； 以及那个负号是 $(-1)^{3}$ 给的，不是”看见减号就添”。

解法二：先换元去根号，$x=t^{6}$ 之后全是整数指数

上一条路里最容易算错的一步是通分 $\dfrac{5-r}{2}-\dfrac{r}{3}$。 换个元就能把分数指数整个消掉。

第一步：取两个根指数的最小公倍数

根指数是 $2$ 与 $3$，最小公倍数 $6$。令 $x=t^{6}$（$t>0$），则

$$\sqrt{x}=t^{3},\qquad \frac{1}{\sqrt[3]{x}}=t^{-2},$$

原式变成

$$\left(t^{3}-t^{-2}\right)^{5} .$$

第二步：把负指数提到括号外

$$t^{3}-t^{-2}=t^{-2}\left(t^{5}-1\right) \ \Longrightarrow\ \left(t^{3}-t^{-2}\right)^{5}=t^{-10}\left(t^{5}-1\right)^{5} .$$

括号里已经是一个整系数多项式了。

第三步：常数项就是括号里的 $t^{10}$ 项

$x^{0}=t^{0}$，而外面挂着 $t^{-10}$，所以要的是 $\left(t^{5}-1\right)^{5}$ 里 $t^{10}$ 的那一项：

$$\left(t^{5}-1\right)^{5}=\sum_{r=0}^{5}C_{5}^{r}\left(t^{5}\right)^{5-r}(-1)^{r} =\sum_{r=0}^{5}(-1)^{r}C_{5}^{r}\,t^{25-5r} .$$ $$25-5r=10\ \Longrightarrow\ r=3,\qquad \text{系数}=(-1)^{3}C_{5}^{3}=-10 .$$

同样得 $A=-10$。

这条路好在哪：全程只有整数指数，$25-5r=10$ 这种方程不会通分错； 而且 $t^{-10}(t^{5}-1)^{5}$ 这个写法一眼就看得出”六项的次数是 $-10,-5,0,5,10,15$”， 等差、公差 $5$——常数项存在且唯一，这件事根本不用解方程。

解法三：不解方程——六个指数成等差，摆出来数一遍

填空题只有六项，与其解方程，不如把六项直接摆出来。

第一步：六个次数

$e(r)=\dfrac{15-5r}{6}$ 是 $r$ 的一次函数，所以 $e(0),e(1),\dots,e(5)$ 是一个等差数列， 首项 $\dfrac{15}{6}=\dfrac52$，公差 $-\dfrac56$：

一次函数严格递减，至多穿过 $0$ 一次；这一列里第四个正好是 $0$。

第二步：六个系数

$C_{5}^{r}$ 是杨辉三角的第 $5$ 行 $1,5,10,10,5,1$，配上 $(-1)^{r}$：

两张表对齐，次数为 $0$ 的那一列写着 $-10$：

$$A=-10 .$$

顺手自查：六个系数相加应为 $(1-1)^{5}=0$，而 $1-5+10-10+5-1=0$ ✓。 这一条能同时抓住”漏了一项”和”某一项符号写反”两种错。

这条路真正的价值：回答变式

• “有没有常数项？” ——看 $e(r)=0$ 有没有落在 $\{0,1,\dots,n\}$ 里的整数解。 一次函数最多一个解，所以答案永远是”至多一个”。
• “有几个有理项？” ——那是另一个条件（次数为整数）， 在这六个次数 $\frac52,\frac53,\frac56,0,-\frac56,-\frac53$ 里只有 $0$ 一个，故只有一项有理。 这里两个条件恰好给出同一项，但它们判据不同，换一道题就会分开。

三条提醒

1. 通项是 $T_{r+1}$，不是 $T_{r}$。 $r=3$ 给的是第 $4$ 项。填空题不问项数， 但一旦题目问”第几项”，这里就是唯一的失分点。
2. 负号跟着 $r$ 走。 $(a-b)^{n}$ 的第 $r+1$ 项是 $(-1)^{r}C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$。 本题答案为负，是因为 $r=3$ 是奇数；若解出来的是 $r=2$，答案就该是 $+10$。
3. “常数项”与”有理项”是两个条件。 前者要次数 $=0$，后者要次数是整数。 本题它们碰巧同指一项，别把这当成通例。