二项展开式的系数

题型说明

• 常见问法：「已知 $(x+2)(x-1)^4=a_0+a_1x+\dots+a_5x^5$，则 $a_2=$ ____，$a_1+a_2+\dots+a_5=$ ____。」——两空常常各考一种方法。
• 多为填空题，分值不高，考的是「会不会只算要的那一项」和「会不会用赋值绕开展开」。

两问两法

前面挂一个因式时怎么办

题目常写成 $(x+2)(x-1)^4$ 这种「一次因式 × 二项幂」的模样。求 $x^k$ 的系数时，前面那个因式的每一项各配一次：

（$x$ 乘进去要降一次幂，所以取 $(x-1)^4$ 里的 $x^{k-1}$；常数 $2$ 乘进去不降幂，取 $x^k$。）两条通道都要算，漏一条就少一半。

常见陷阱

• 通道漏了一条：只算了常数项那一路，忘了 $x\cdot(\dots)$ 那一路（或反过来）。
• $(x-1)^k$ 的负号：通项带 $(-1)^k$，$k$ 的奇偶决定正负，最容易在这里丢号。
• 下标错一位：$T_{k+1}$ 是第 $k+1$ 项，$k$ 从 $0$ 起。
• 求 $a_1+\dots+a_n$ 时忘了减 $a_0$：$f(1)$ 是含 $a_0$ 的和。
• 「系数」与「二项式系数」混用：前者把数字因子都乘进去，后者只是 $\mathrm{C}_n^k$。