浙江 2014 · 数学 q05

冷启动：先把 $f(m,n)$ 认出来

$(1+x)^{6}(1+y)^{4}$ 里，$x$ 只从前一个括号来，$y$ 只从后一个括号来，两个括号各选各的、互不牵扯。 所以要凑出 $x^{m}y^{n}$，就是「前一个括号里取 $m$ 个 $x$」和「后一个括号里取 $n$ 个 $y$」两件独立的事：

$$f(m,n)=C_{6}^{m}\cdot C_{4}^{n} .$$

是乘积，不是和——这是全题的起点，也是最容易在慌乱中写成加号的地方。

再看要求的是哪四项：

$$f(3,0),\quad f(2,1),\quad f(1,2),\quad f(0,3) .$$

四对 $(m,n)$ 的和都是 $3$。而且它们把 $m+n=3$ 的分法穷尽了： $m$ 最多能取 $3$（$3\leqslant 6$），最少能取 $0$（此时 $n=3\leqslant 4$），中间的 $1$、$2$ 都在—— 一个不多、一个不少。

这句「不多不少」不是废话，它是解法二能用的唯一理由。 记住它，下面会用到。

解法一：四项各算一次，加起来

四个组合数都是小数，硬算最省心：

$$\begin{aligned} f(3,0)&=C_{6}^{3}\cdot C_{4}^{0}=20\times 1=20 ,\\ f(2,1)&=C_{6}^{2}\cdot C_{4}^{1}=15\times 4=60 ,\\ f(1,2)&=C_{6}^{1}\cdot C_{4}^{2}=6\times 6=36 ,\\ f(0,3)&=C_{6}^{0}\cdot C_{4}^{3}=1\times 4=4 . \end{aligned}$$

$C_{4}^{0}=1$、$C_{6}^{0}=1$ 这两个「取 $0$ 个」的因子最容易被忘掉不写——它们是 $1$，不是 $0$， 乘上去不改变结果，但漏掉时人往往顺手把整项也扔了。

加起来：

$$20+60+36+4=120 .$$ $$\boxed{\text{选 C}}$$

四项里 $f(2,1)=60$ 最大，而 $60$ 恰好也摆在选项 B 上——只算了中间那一项就交卷，正好中招。

解法二：令 x=y，四项自动并成一个系数

第一步：为什么可以令 $x=y$

$(1+x)^{6}(1+y)^{4}$ 展开后是一堆 $f(m,n)x^{m}y^{n}$。把 $y$ 也换成 $x$，每一项就变成

$$f(m,n)\,x^{m}\cdot x^{n}=f(m,n)\,x^{\,m+n} .$$

于是 $x$ 的次数只记得 $m+n$，原来 $(m,n)$ 不同但 $m+n$ 相同的项，全被归到同一次幂底下加了起来：

$$(1+x)^{6}(1+x)^{4}\ \text{里}\ x^{3}\ \text{的系数} =\sum_{m+n=3}f(m,n) =f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3) .$$

右边正好是题目要的那个和——因为冷启动里说过，那四项把 $m+n=3$ 穷尽了。 这是这一步的全部前提：

• 若题目只给 $f(3,0)+f(2,1)$，令 $x=y$ 得到的系数会多出 $f(1,2)+f(0,3)$，答案就错了；
• 反过来，若给的项里混进一个 $m+n=4$ 的，它会落到 $x^{4}$ 那一堆里去，根本合不进来。

第二步：合并、取系数

$$(1+x)^{6}(1+x)^{4}=(1+x)^{10} ,$$

所求就是 $(1+x)^{10}$ 展开式里 $x^{3}$ 的系数。按二项展开式，取 $3$ 个 $x$ 的取法数是

$$C_{10}^{3}=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120 .$$ $$\boxed{\text{选 C}}$$

标准答案写的是 $C_{10}^{7}=120$，和 $C_{10}^{3}$ 是同一个数。 $C_{10}^{3}$ 数的是「取哪 $3$ 个」，$C_{10}^{7}$ 数的是「剩下哪 $7$ 个」——一一对应，当然一样多。 看见上标是 $7$ 不必怀疑印错，但自己写的时候只用一种记法，中途换会数错一位。

第三步：顺手把这条路看成一句恒等式

把上面两步连起来，得到的其实是一条一般的式子：

$$\sum_{m+n=k}C_{a}^{m}C_{b}^{n}=C_{a+b}^{k} .$$

它有一句一眼就懂的说法——把两堆东西（$a$ 个、$b$ 个）合成一堆，从里面取 $k$ 个， 按「左边取了几个」分类，就得到左边那个和。 教学图上四行方格画的正是这件事：

• 每一行是一种分法（左 $3$ 右 $0$、左 $2$ 右 $1$、左 $1$ 右 $2$、左 $0$ 右 $3$）；
• 四行互不重叠（左边取的个数不同，就不是同一种取法）， 又把所有取法穷尽（左边取的个数只能是 $0,1,2,3$）；
• 所以四行的数目加起来 $=$ 「$10$ 个里取 $3$ 个」的总数 $=C_{10}^{3}=120$。

本题里 $a=6$、$b=4$、$k=3$，代进去就是答案。记住这条式子，这类题以后一步就完。

四个选项各对应一种错法

A 与 D 一左一右夹着正解，这是出题人在等「上标差一位」这个错。 所以算完 $C_{10}^{3}$ 之后，值得回头再念一遍「我要的是 $x$ 的三次方，所以取 $3$ 个」—— 比重算一遍那个分数值钱。

两条路怎么选

考场上这道题走解法二：一个组合数就出答案，还不容易算错。 但动手之前那一眼检查是必须的——看一眼题目给的项是不是把某个 $m+n$ 的分法列全了。 列全了才敢合并；没列全就退回解法一逐项算。

一句话带走

$x$ 与 $y$ 各来自一个括号，所以 $f(m,n)$ 是两个组合数的乘积； 而当要求和的那些项恰好把某个 $m+n=k$ 穷尽时，令 $x=y$ 就把它们并成了一个系数。 四项 $\Rightarrow$ $(1+x)^{10}$ 里 $x^{3}$ 的系数 $\Rightarrow C_{10}^{3}=120$。 上标是 $3$（取几个），不是 $4$（第几项）——选项 A、D 就等在这一位上。