组合数公式

教材原文

$\mathrm{C} _ {n} ^ {m} = \frac {\mathrm{A} _ {n} ^ {m}}{\mathrm{A} _ {m} ^ {m}} = \frac {n (n - 1) (n - 2) \cdots (n - m + 1)}{m !}.$

这里 $n$ ， $m\in \mathbf{N}^*$ ，并且 $m\leqslant n$ ，这个公式叫做组合数公式

$\mathrm{C} _ {n} ^ {m} = \frac {n !}{m ! (n - m) !}.$

另外，我们规定 $C_{n}^{0}=1$ .

公式

用法

• 手算走第一种写法：分子从 $n$ 起往下乘 $m$ 个，分母 $m!$。$\mathrm{C}_7^3=\dfrac{7\times6\times5}{3\times2\times1}=35$，比阶乘写法快得多。
• 对称性 $\mathrm{C}_n^m=\mathrm{C}_n^{\,n-m}$：取 $m$ 个等于「留下 $n-m$ 个」。$\mathrm{C}_{10}^7$ 按 $\mathrm{C}_{10}^3$ 算。
• 「不同元素」这四个字是前提。 元素若有重复（两张都写着 $2$ 的卡片），要么把它们当成不同的个体照常用公式，要么就不能直接套——两条路里，前者几乎总是对的那条。
• 与排列的分工：要不要计较顺序。取到谁就算数 → 组合；取出来还要排位置 → 排列。