浙江 2010 · 数学 q14

冷启动之一：题面把绝对值号印丢了，先按解析的读法把题读对

原卷的题干写的是「将 $a_k\ (0\leq k\leq n)$ 的最小值记为 $T_n$」。照字面读，这道题连自己给的例子都对不上。

拿 $n=3$ 试一下就知道。后面会算出 $a_k=\mathrm{C}_3^k\left(2^{2k-3}-3^{2k-3}\right)$，四个数依次是

$$a_0=\frac{1}{8}-\frac{1}{27}=\frac{19}{216},\quad a_1=3\left(\frac12-\frac13\right)=\frac12,\quad a_2=3(2-3)=-3,\quad a_3=8-27=-19 .$$

按字面，「$a_k$ 的最小值」是 $-19$；可题面白纸黑字写着 $T_3=\dfrac{1}{2^{3}}-\dfrac{1}{3^{3}}=\dfrac{19}{216}$，那正是 $\left|a_0\right|$。同一页的解析算的也是

$$\left|a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\left|2^{\,n-2k}-3^{\,n-2k}\right| ,$$

而且给出的 $T_2=T_4=0$、$T_3>0$、$T_5>0$ 四个数据只在绝对值的读法下彼此相容。结论：原卷把绝对值号印掉了，这道题真正问的是

$$T_n=\min_{0\leqslant k\leqslant n}\left|a_k\right| .$$

（同目录的校订层 q14-fix.md 已把这件事记在案，正文照留原样、不代为补字。）这一步不是挑刺：读成 $\min a_k$，后面每一步都会跟着错——所以下面三条解法一律按 $T_n=\min\left|a_k\right|$ 处理，每条开头都会再点一次。

冷启动之二：题面白送四个值，是在请你先猜一个

题面把 $T_2=0$、$T_3=\dfrac{1}{2^{3}}-\dfrac{1}{3^{3}}$、$T_4=0$、$T_5=\dfrac{1}{2^{5}}-\dfrac{1}{3^{5}}$ 摆在那里，摆法本身就是提示：

左列看奇偶，右列看指数：偶数行全是 $0$；奇数行是同一个模子，把 $n$ 填进去就得到题面那两个值。于是得到猜想

$$T_{n}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & n\ \text{为偶数},\\[2pt] \dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{3^{n}}, & n\ \text{为奇数}. \end{array}\right.$$

作为填空题，考场上写到这里就能得分，原卷的解析也把本题归到「合情推理」。

但四个例子推不出通项。 特例能做的只有否掉一个猜想，不能确立它（易错点「特例成立当成恒成立」）——再补验 $n=6$、$n=7$ 也只是多两个特例，链条仍停在猜想上。下面三条解法各用一条不同的路把它证出来：

• 解法一把 $a_k$ 老实展开，按符号分段；
• 解法二把 $k$ 与 $n-k$ 配成一对，一步砍掉右半边；
• 解法三通分到 $6^{n}$，全化成整数，靠一次粗放的放缩。

解法一：原卷路线——展开求出 $a_{k}$，符号只看 $2k-n$，再分奇偶

（全程按冷启动之一定下的读法：$T_n=\min_k\left|a_k\right|$。）

第一步：一个括号的系数。 对 $\left(cx+\dfrac1c\right)^{n}$ 用二项式定理，$x^{k}$ 那一项是 $\mathrm{C}_n^k(cx)^{k}\left(\dfrac1c\right)^{n-k}$，系数为

$$\mathrm{C}_n^k\,c^{k}\cdot c^{-(n-k)}=\mathrm{C}_n^k\,c^{\,2k-n} .$$

指数 $2k-n$ 是这道题的全部内容：它既管大小，也管符号。

第二步：两个括号相减。 把 $c=2$ 与 $c=3$ 的结果相减：

$$a_{k}=\mathrm{C}_n^k\left(2^{\,2k-n}-3^{\,2k-n}\right),\qquad 0\leqslant k\leqslant n .$$

第三步：读符号。 记 $m=2k-n$。因为 $2<3$：

底数小的那个，在负指数上反而大——这一行是整道题的机关。

第四步：分类讨论。

（甲）$n$ 为偶数。 此时 $k=\dfrac n2$ 是整数，取这个 $k$ 得 $m=0$，于是

$$a_{n/2}=\mathrm{C}_n^{\,n/2}\left(2^{0}-3^{0}\right)=0 .$$

绝对值不可能小于 $0$，所以 $T_n=0$，而且最小值就在正中间那一格取到。

（乙）$n$ 为奇数。 此时 $m=2k-n$ 恒为奇数，永远不等于 $0$——一格零都没有，只能老实比大小。把 $k$ 分成两半：

• 右半边（$2k>n$，即 $m\geqslant1$）：$\left|a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\left(3^{m}-2^{m}\right)\geqslant 1\times(3-2)=1$。

• 左半边（$2k<n$）：记 $t=n-2k\geqslant1$（奇数），则

  $$\left|a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\left(\frac{1}{2^{t}}-\frac{1}{3^{t}}\right) .$$

  取 $k=0$ 得 $\left|a_0\right|=\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{3^{n}}<\dfrac{1}{2^{n}}\leqslant\dfrac14<1$，已经比整个右半边都小，右半边可以全部扔掉。

  左半边内部再比一次。记 $h(t)=\dfrac{1}{2^{t}}-\dfrac{1}{3^{t}}$，只需说明 $t$ 越大 $h(t)$ 越小：

  $$h(t)>h(t+2) \iff \frac{1}{2^{t}}\left(1-\frac14\right)>\frac{1}{3^{t}}\left(1-\frac19\right) \iff \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2^{t}}>\frac{8}{9}\cdot\frac{1}{3^{t}} \iff \frac{27}{32}>\left(\frac{2}{3}\right)^{t} ,$$

  而 $t\geqslant1$ 时 $\left(\dfrac23\right)^{t}\leqslant\dfrac23=0.666\ldots<0.84375=\dfrac{27}{32}$，成立。于是在 $t=1,3,5,\dots$ 上 $h$ 严格递减。

  $t=n-2k$ 在 $k=0$ 处最大（$t=n$），所以 $h(t)$ 在 $k=0$ 处最小；同时 $\mathrm{C}_n^k\geqslant1=\mathrm{C}_n^0$。两个正因子同时在 $k=0$ 取到最小，故左半边的最小值就是 $\left|a_0\right|$。

  合起来：$T_n=\left|a_0\right|=\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{3^{n}}$。

冷启动里那个猜想至此证毕。

$\left|a_0\right|$ 其实不用展开就能写出来。 升幂写法下 $a_0$ 就是常数项，把 $x=0$ 代进原式：

$$a_0=\left(\frac12\right)^{n}-\left(\frac13\right)^{n}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}} .$$

题面给的 $T_3$、$T_5$ 长成那个样子，来历就在这里。

一个必须当心的下标坑。 原卷解析写的是 $\left|a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\left|2^{\,n-2k}-3^{\,n-2k}\right|$，并说「$n$ 为奇数时取 $k=n$」。那是把系数按降幂编号（第 $k$ 个配 $x^{\,n-k}$），与题面 $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^{n}$ 的升幂编号正好相反：同一个数 $\dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{3^{n}}$，升幂下在 $k=0$（常数项），降幂下在 $k=n$。两种写法都自洽，混着用就会把「最小值在哪一项」说反（易错点「系数下标与次数错位」）。本篇一律用题面的升幂编号。

解法二：左右配对——$k$ 与 $n-k$ 一比，右半边整块砍掉

（同样按 $T_n=\min_k\left|a_k\right|$ 读题。）

怎么想到的。 看一眼图上 $n=5$ 那排的六个数：$\dfrac{211}{7776}$、$\dfrac{95}{216}$、$\dfrac53$、$10$、$95$、$211$。左右两端的分子一模一样（$211$ 与 $211$、$95$ 与 $95$），只差一个分母。这不是巧合——把 $k$ 与 $n-k$ 配成一对就看清了。

第一步：写出一般项。 与解法一第二步同源（对 $\left(cx+\dfrac1c\right)^{n}$ 用二项式定理，$x^k$ 的系数是 $\mathrm{C}_n^k c^{\,2k-n}$）：

$$a_{k}=\mathrm{C}_n^k\left(2^{\,2k-n}-3^{\,2k-n}\right) .$$

第二步：配对公式。 由组合数公式的对称性 $\mathrm{C}_n^{\,n-k}=\mathrm{C}_n^{k}$，而把 $k$ 换成 $n-k$ 时指数 $2(n-k)-n=n-2k$ 与 $2k-n$ 恰好反号。记 $m=n-2k>0$，则

$$\left|a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\left(\frac{1}{2^{m}}-\frac{1}{3^{m}}\right) =\mathrm{C}_n^k\cdot\frac{3^{m}-2^{m}}{6^{m}}, \qquad \left|a_{n-k}\right|=\mathrm{C}_n^k\left(3^{m}-2^{m}\right) .$$

同一个因子 $3^{m}-2^{m}$，一个除以了 $6^{m}$，一个没有。于是

$$\frac{\left|a_{n-k}\right|}{\left|a_k\right|}=6^{\,m}=6^{\,n-2k}>1\qquad(2k<n) .$$

对称的两格里，左边那格永远更小。 右半边（$2k>n$）整块可以砍掉——它的每一格都被自己的镜像严格压着（$m>0$ 时 $3^m>2^m>0$，比值确实大于 $1$，不是「大于等于」）。

第三步：只剩左半边（含中点）。

• $n$ 为偶数：$k=\dfrac n2$ 是自己的配对（$m=0$），此时 $3^{0}-2^{0}=0$，$\left|a_{n/2}\right|=0$，直接就是最小，$T_n=0$。

• $n$ 为奇数：没有中点，只剩 $k=0,1,\dots,\dfrac{n-1}{2}$，这一段上 $m=n-2k\geqslant1$ 恒成立。两个正因子的走向是一致的：

  • $\mathrm{C}_n^k$ 在 $k\leqslant\dfrac n2$ 上随 $k$ 递增（相邻之比 $\dfrac{\mathrm{C}_n^{k+1}}{\mathrm{C}_n^{k}}=\dfrac{n-k}{k+1}>1$ 当且仅当 $2k<n-1$）；
  • $h(m)=\dfrac{1}{2^{m}}-\dfrac{1}{3^{m}}$ 随 $m$ 变小而变大（解法一里那条 $\dfrac{27}{32}>\left(\dfrac23\right)^{t}$，对 $t\geqslant1$ 成立），而 $m=n-2k$ 随 $k$ 增大而变小。

  两个正因子都在 $k=0$ 处取到最小，故

  $$T_n=\left|a_0\right|=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}} .$$

$6$ 是从哪来的。 $6=2\times3$，而 $\dfrac{1}{2^{m}}-\dfrac{1}{3^{m}}=\dfrac{3^{m}-2^{m}}{2^{m}3^{m}}=\dfrac{3^{m}-2^{m}}{6^{m}}$——两个底数一乘就是配对的缩放倍数。底数差得越远，右半边被压得越狠；这也解释了为什么最小值一定往最左端跑，而不是停在中间某一格。

解法三：通分到 $6^{n}$——全化成整数，一次粗放的放缩就够

（同样按 $T_n=\min_k\left|a_k\right|$ 读题。）

怎么想到的。 上面两条路都在跟负指数打交道（$2^{2k-n}$ 在 $2k<n$ 时是分数），比大小时总要小心方向。给每一项同乘一个 $6^{n}$，负指数就全没了——比较正整数比比较分数省心得多，而同乘一个正数不改变谁最小。

第一步：把 $6^{n}a_k$ 算出来，它是整数。 由 $a_{k}=\mathrm{C}_n^k\left(2^{\,2k-n}-3^{\,2k-n}\right)$（与解法一第二步同源），逐项乘 $6^{n}=2^{n}3^{n}$：

$$6^{n}\cdot 2^{\,2k-n}=2^{n}3^{n}2^{\,2k-n}=2^{2k}3^{n}, \qquad 6^{n}\cdot 3^{\,2k-n}=2^{n}3^{n}3^{\,2k-n}=3^{2k}2^{n},$$ $$\boxed{\,6^{n}a_{k}=\mathrm{C}_n^k\left(2^{2k}3^{n}-3^{2k}2^{n}\right)\,}$$

右边每一项都是正整数的加减，所以 $6^{n}a_k\in\mathbf{Z}$。于是

$$T_n=\frac{1}{6^{n}}\min_{0\leqslant k\leqslant n}\left|6^{n}a_k\right| ,$$

问题变成了在一串整数里找绝对值最小的那个。

第二步：把括号因式分解，两端各得一个干净形状。 令 $t=n-2k$：

• $t>0$（左半边）：$2^{2k}3^{n}-3^{2k}2^{n}=2^{2k}3^{2k}\left(3^{\,n-2k}-2^{\,n-2k}\right)=6^{2k}\left(3^{t}-2^{t}\right)>0$；
• $t=0$（只在 $n$ 偶时出现）：括号为 $0$；
• $t<0$（右半边），记 $s=-t=2k-n>0$：$2^{2k}3^{n}-3^{2k}2^{n}=2^{n}3^{n}\left(2^{\,2k-n}-3^{\,2k-n}\right)=6^{n}\left(2^{s}-3^{s}\right)<0$。

合起来（取绝对值）：

$$\left|6^{n}a_k\right|= \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{C}_n^k\,6^{\,2k}\left(3^{t}-2^{t}\right), & t=n-2k>0,\\[4pt] 0, & 2k=n,\\[4pt] \mathrm{C}_n^k\,6^{\,n}\left(3^{s}-2^{s}\right), & s=2k-n>0. \end{array}\right.$$

核对一下 $n=5,k=1$：$t=3$，$\mathrm{C}_5^1\cdot6^{2}\cdot(27-8)=5\times36\times19=3420$；而 $6^{5}\left|a_1\right|=7776\times\dfrac{95}{216}=3420$，对得上。

第三步：$n$ 为偶数。 $k=\dfrac n2$ 那一格直接是 $0$，而其余各格的绝对值都是正整数，所以 $T_n=0$。

第四步：$n$ 为奇数——一次粗放的放缩就够。 此时没有 $t=0$ 的格。基准是最左那格：

$$\left|6^{n}a_0\right|=\mathrm{C}_n^0\cdot 6^{0}\left(3^{n}-2^{n}\right)=3^{n}-2^{n}<3^{n} .$$

现在证明其余每一格都比它大。注意下面每一步都只往小放（要证「别人够大」，就把别人换成更小但更好算的量）：

• 右半边（$s\geqslant1$）：$\left|6^{n}a_k\right|=\mathrm{C}_n^k\,6^{n}\left(3^{s}-2^{s}\right)\geqslant 1\times6^{n}\times1=6^{n}>3^{n}>3^{n}-2^{n}$。

• 左半边且 $k\geqslant1$（$t=n-2k\geqslant1$）：先把括号往小放。由 $t\geqslant1$ 有 $\left(\dfrac23\right)^{t}\leqslant\dfrac23$，即 $2^{t}\leqslant\dfrac23\cdot3^{t}$，于是

  $$3^{t}-2^{t}\geqslant 3^{t}-\frac23\cdot 3^{t}=\frac{3^{t}}{3} .$$

  代回去（再把 $\mathrm{C}_n^k$ 往小放成 $1$）：

  $$\left|6^{n}a_k\right|\geqslant 6^{\,2k}\cdot\frac{3^{\,n-2k}}{3} =\frac{2^{2k}3^{2k}3^{\,n-2k}}{3} =\frac{4^{k}}{3}\cdot 3^{n} \geqslant\frac{4}{3}\cdot3^{n}>3^{n}>3^{n}-2^{n} .$$

  最后一个 $\geqslant$ 用的是 $k\geqslant1$。

两半都比基准大，所以最小值就在 $k=0$：

$$T_n=\frac{3^{n}-2^{n}}{6^{n}}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}} .$$

这条路便宜在哪。 它没有用到任何单调性引理——$h(t)$ 到底是增是减根本不必知道，只要「$3^{t}-2^{t}$ 不小于 $\dfrac{3^{t}}{3}$」这一句就把左半边全压住了。代价是放得比较粗，只能回答「谁最小」，答不了「第二小是谁」；但本题只问最小，够用。

答案

$$T_{n}=\left\{\begin{array}{ll} 0, & n\ \text{为偶数},\\[2pt] \dfrac{1}{2^{n}}-\dfrac{1}{3^{n}}, & n\ \text{为奇数}. \end{array}\right.$$