浙江 2010 · 数学 q14

题面

(14) 设 $n \geq 2, n \in N, (2x + \frac{1}{2})^n - (3x + \frac{1}{3})^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots a_nx^n$，将 $a_k (0 \leq k \leq n)$ 的最小值记为 $T_n$，则 $T_2 = 0, T_3 = \frac{1}{2^3} - \frac{1}{3^3}, T_4 = 0, T_5 = \frac{1}{2^5} - \frac{1}{3^5}, \ldots, T_n, \ldots$ 其 $T_n =$ ____。

解析

本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题

14. $\left\{\begin{array}{ll}0 & n\text{为偶数}\\ \frac{1}{2^n} -\frac{1}{3^n} & n\text{为奇数} \end{array} \right.$ 解析：本题考查了二项式定理、函数的单调性

$\left|a_{k}\right|=C_{n}^{k}\left|2^{n-2k}-3^{n-2k}\right|$ ，当 n 为偶数时，取 $k=\frac{n}{2}$ ，此时 $T_{n}=0$ ；当 n 为奇数时，取 k=n， 此时 $T_{n}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}$

观察条件，在 $n \geq 2$ 的情况下，当 $n$ 为偶数时，$T_n = 0$；当 $n$ 为奇数时，$T_n = \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n}$。故填 $\left\{\begin{array}{ll}0 & n = 2k, \\ \frac{1}{2^n} - \frac{1}{3^n} & n = 2k + 1, \end{array} \right. (k \in \mathbb{N}^*)$.