浙江 2010 · 数学 q19

冷启动：这道题最难的一步，官方解析一个字都没写

翻开官方解析，第 (I) 问是这样开头的：

(Ⅰ) 解：由题意得 $\xi$ 的分布列为 ……

然后直接印出三个概率 $\dfrac{3}{16}$、$\dfrac{3}{8}$、$\dfrac{7}{16}$。它们从哪来？没有一行推导。

可这三个数就是这道题的全部难点。拿到它们之后，$E\xi$ 是一次加权平均、第 (II) 问是一个课本公式， 初学者两分钟能做完；拿不到它们，后面全是空的。所以这篇攻略把力气全花在前半段： 怎么从那张绕来绕去的管道图里，把三个出口的概率一个一个算出来。

题面只给了一句话可用：

已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。

一句话，两条规则：

• 过一个叉口，手里的概率对半分给左右两支——因为左右等可能；
• 两条管子汇到一起，概率相加——因为「从这条来」与「从那条来」是两件不会同时发生的事。

原卷那张图上一共有 $5$ 个叉口、$3$ 个汇合口，管子来回穿插，肉眼很难看出「哪两条最后汇到了一起」。 下面这张教学图把它重画成节点和箭头——形状变了，连法一条没变：

先把一个看起来很省事的错法掐死。 从 $M$ 到 $C$ 一共有 $3$ 条通路，到 $B$ 有 $2$ 条，到 $A$ 有 $2$ 条。 于是有人写 $P(C)=\dfrac{3}{7}$、$P(B)=P(A)=\dfrac{2}{7}$——三个数没有一个是对的（易错点「按路径条数当成等可能」）。 原因很简单：这些通路长短不一，有的只过 $2$ 个叉口，有的要过 $4$ 个， 过 $2$ 个叉口的那条路概率是 $\dfrac14$，过 $4$ 个的只有 $\dfrac1{16}$，相差 $4$ 倍，凭什么按条数平摊？ 注意错法算出来的三个数加起来也是 $1$——「概率和为 $1$」这条自查查不出它。

顺带说一句它和课本上高尔顿板的区别。 课本里小球每碰一次木钉都等可能左右落下， 最后落入的格号服从二项分布——那是因为每条路都恰好碰同样多次木钉、且格号只由「向右几次」决定。 本题的管子并不对称（有的支路多叉一次，还有「汇合之后再叉」）， 所以第 (I) 问那三个概率不是二项分布；真正的二项分布要等到第 (II) 问， 那里是 $3$ 个人次各自独立地玩一次，才凑齐了「重复、独立、每次成功率相同」三个条件。

解法一：顺着管子往下灌——每个叉口除以 $2$，每个汇合口相加

怎么想到的。 一个球从 $M$ 出发，它「走到某根管子里」的概率是多少？ 把这个数写在管子上，然后顺着水流往下推——这就是套路「按层把概率推到下一层」： 给每个节点记一个数（走到这里的概率），从 $M$ 的 $1$ 开始，一层一层往下算，每个节点只算一次。

第一层。 $M$ 手里是 $1$，第一个叉口把它对半分：

$$\text{左支}=\frac12,\qquad \text{右支}=\frac12 .$$

第二层。 左右两支各自再叉一次，各把手里的 $\dfrac12$ 对半分，四条管子各得 $\dfrac14$：

• 左支的外侧那条，一路向左，直奔 $C$：$\dfrac14$；
• 左支的内侧那条，折回中间：$\dfrac14$；
• 右支的内侧那条：$\dfrac14$（它下面还有一个叉口）；
• 右支的外侧那条，一路向右，直奔 $B$：$\dfrac14$。

第三层：右内侧那条再叉一次。 它手里的 $\dfrac14$ 再对半分：

$$\text{去中间}=\frac18,\qquad \text{去 }B=\frac18 .$$

第四层：中间那个汇合口。 左支内侧的 $\dfrac14$ 与右内侧分来的 $\dfrac18$ 在这里汇到一起， 两条边相加：

$$\frac14+\frac18=\frac38 .$$

第五层：汇合之后还要再叉一次。 这是整张图最容易看漏的一步——中间那条粗管子往下并没有直接进洞， 它又分成了左右两支，各得一半：

$$\frac38\div 2=\frac{3}{16}\quad(\text{左支汇进 }C),\qquad \frac38\div 2=\frac{3}{16}\quad(\text{右支就是 }A) .$$

收网：三个出口各自把汇进来的边加起来。

$$P(C)=\underbrace{\frac14}_{\text{左外侧直达}}+\underbrace{\frac{3}{16}}_{\text{中间分来}}=\frac{4}{16}+\frac{3}{16}=\frac{7}{16},$$ $$P(B)=\underbrace{\frac14}_{\text{右外侧直达}}+\underbrace{\frac18}_{\text{右内侧分来}}=\frac{2}{8}+\frac18=\frac38, \qquad P(A)=\frac{3}{16} .$$

自查（免费的一步）：$\dfrac{7}{16}+\dfrac38+\dfrac3{16}=\dfrac{7+6+3}{16}=1$ ✓。

但要知道这条自查的边界：它只查「有没有把某条边的概率算丢」，查不出「把某个叉口看漏了」—— 比如把第五层那次分叉看漏、让中间那条 $\dfrac38$ 整根进 $A$，得到的 $P(A)=\dfrac38$、$P(B)=\dfrac38$、$P(C)=\dfrac14$ 照样加起来是 $1$，这条自查一声不吭。

真正能兜住读图的是后面那个 $E\xi$：命题人把折扣率取成 $50\%,70\%,90\%$，配上这三个概率， 期望恰好是 $\dfrac34$ 这样一个干净的数——这种整齐是设计出来的。 按上面那个读漏一个叉口的版本算，期望立刻变成 $0.675$ 这样的零碎值。 所以：看图算完，一定要回头看一眼期望好不好看。

第 (I) 问。 落到 $A$、$B$、$C$ 分别是 $1$、$2$、$3$ 等奖，折扣率依次是 $50\%$、$70\%$、$90\%$， 所以 $\xi$ 的分布列就是把上面三个概率换个名字：

（注意对应关系别错位：$50\%$ 是 $1$ 等奖，对应的是出口 $A$ 的 $\dfrac3{16}$，不是最大的那个数。）

按定义加权平均：

$$E\xi=\frac{3}{16}\times\frac12+\frac38\times\frac7{10}+\frac7{16}\times\frac9{10} =\frac{15}{160}+\frac{42}{160}+\frac{63}{160}=\frac{120}{160}=\frac34 .$$

第 (II) 问：把两个奖并成一个「成功」。 $\eta$ 数的是「$1$ 等奖或 $2$ 等奖」的人次， 所以一次抽奖只要分成「成功 / 不成功」两类就够了。$A$ 与 $B$ 是两个互斥的结果，概率直接相加：

$$p=P(A)+P(B)=\frac3{16}+\frac38=\frac{9}{16} .$$

$3$ 个人次各投一球，互不影响，每次成功率都是这个 $p$——三个条件齐了，$\eta\sim B\left(3,\dfrac9{16}\right)$：

$$P(\eta=2)=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac9{16}\right)^{2}\left(1-\frac9{16}\right) =3\times\frac{81}{256}\times\frac{7}{16}=\frac{1701}{4096} .$$

「恰好 $2$ 人次」不是「至少 $2$ 人次」（易错点「恰好几个当成至少几个」）： $\eta=3$ 那一项 $\left(\dfrac9{16}\right)^{3}=\dfrac{729}{4096}$ 不能算进来； 若题目问的是「至少 $2$ 人次」，答案才是 $\dfrac{1701+729}{4096}=\dfrac{1215}{2048}$。

解法二：逐条数通路——一条路过几个叉口，它的概率就是 $\left(\frac{1}{2}\right)$ 的几次方

怎么想到的。 小球最终落到 $C$，可能是走这条路来的，也可能是走那条路来的—— 不同的路是互斥的，概率相加（分类加法计数原理的概率版）； 而一条路要接连通过好几个叉口，每个叉口都得「恰好拐对」，概率相乘（分步乘法计数原理的概率版）。 于是只要把每条通路列出来，各算一个 $\left(\dfrac12\right)^{m}$（$m$ 是这条路经过的叉口数），再相加。

落到 $C$ 的通路有三条：

$$P(C)=\frac14+\frac18+\frac1{16}=\frac{4+2+1}{16}=\frac{7}{16} .$$

落到 $A$ 的通路有两条（都必须先汇到中间那条管子，再从那个叉口向右）：

$$P(A)=\underbrace{\frac18}_{m=3}+\underbrace{\frac1{16}}_{m=4}=\frac{2+1}{16}=\frac{3}{16} .$$

落到 $B$ 的通路有两条：

$$P(B)=\underbrace{\frac14}_{m=2:\ \text{右}\to\text{外侧}}+\underbrace{\frac18}_{m=3:\ \text{右}\to\text{内侧}\to\text{再叉向右}}=\frac{2+1}{8}=\frac38 .$$

三个数与解法一逐位相同，且 $\dfrac7{16}+\dfrac3{16}+\dfrac38=1$ ✓—— 这里的「和为 $1$」比解法一那次有力：$\sum\left(\frac12\right)^{m}=1$ 要求通路一条不漏、一条不重， 所以它同时查了「有没有数漏一条路」。

第 (I) 问照旧收尾：$\xi=50\%,70\%,90\%$ 分别对应出口 $A,B,C$，概率 $\dfrac3{16},\dfrac38,\dfrac7{16}$，

$$E\xi=\frac3{16}\times\frac12+\frac38\times\frac7{10}+\frac7{16}\times\frac9{10}=\frac34 .$$

顺便看清了前面那个错法错在哪：$C$ 的三条路的权重是 $4:2:1$ 而不是 $1:1:1$， 按条数平摊等于把这三条路当成一样重。

第 (II) 问也可以不背公式。 记第 $i$ 个人次成功为 $S_i$（概率 $p=\dfrac9{16}$），失败为 $F_i$（概率 $\dfrac7{16}$）。 「恰好 $2$ 次成功」这件事，按哪一次失败分成三类，彼此互斥：

$$S_1S_2F_3,\qquad S_1F_2S_3,\qquad F_1S_2S_3 .$$

三人次相互独立，每一类的概率都是 $\left(\dfrac9{16}\right)^{2}\cdot\dfrac7{16}$，三类相加：

$$P(\eta=2)=3\times\left(\frac9{16}\right)^{2}\times\frac7{16}=\frac{1701}{4096} .$$

那个 $3$ 正是组合数 $\mathrm{C}_3^2$——从 $3$ 个人次里挑出成功的那 $2$ 个。 把这一段一般化，就是课本上二项分布的那个公式；考场上写 $\mathrm{C}_3^2$ 更快， 但明白 $3$ 是怎么来的，才不会在「恰好 / 至少」这类变形上翻车。

解法三：倒过来问——「从这个口出发，最后掉进 $C$ 的概率是多少」

怎么想到的。 前两条路都是从 $M$ 往下算。可第 (II) 问其实只要一个数： $p=P(A)+P(B)=1-P(C)$。能不能只算 $P(C)$ 一个，而且比灌满整张图更省？

能。对每个节点 $X$ 定义

$$f(X)=\text{（小球此刻在 }X\text{，最终落入 }C\text{ 的概率）} ,$$

在一个叉口处按「向左 / 向右」这两个互斥且必居其一的情形拆开，正是全概率公式：

$$f(X)=\frac12 f(X_{\text{左}})+\frac12 f(X_{\text{右}}) .$$

三个出口是边界：$f(C)=1$，$f(A)=f(B)=0$。从底下往上推：

• 中间那个「汇合后再叉」的口：左支汇进 $C$、右支就是 $A$，

  $$f=\frac12\times 1+\frac12\times 0=\frac12 ;$$

• 右内侧那个叉口：一支去中间、一支去 $B$，

  $$f=\frac12\times\frac12+\frac12\times 0=\frac14 ;$$

• 左边那个叉口：外侧直达 $C$（$f=1$）、内侧去中间（$f=\frac12$），

  $$f=\frac12\times 1+\frac12\times\frac12=\frac34 ;$$

• 右边那个叉口：内侧去上面那个 $\frac14$、外侧直达 $B$（$f=0$），

  $$f=\frac12\times\frac14+\frac12\times 0=\frac18 ;$$

• 第一个叉口（也就是 $M$）：

  $$P(C)=f(M)=\frac12\times\frac34+\frac12\times\frac18=\frac38+\frac1{16}=\frac{7}{16} .$$

第 (II) 问到此已经做完——用对立事件一步跨过去，$A$、$B$ 的概率根本不必分开求：

$$p=1-P(C)=1-\frac7{16}=\frac9{16} \quad\Longrightarrow\quad P(\eta=2)=\mathrm{C}_3^2\left(\frac9{16}\right)^2\cdot\frac7{16}=\frac{1701}{4096} .$$

第 (I) 问要整张分布列，就把同一套递推对 $A$ 再跑一遍（边界换成 $g(A)=1$、$g(B)=g(C)=0$）： 中间那个口 $g=\dfrac12$，右内侧 $g=\dfrac14$，左叉口 $g=\dfrac12\times 0+\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$， 右叉口 $g=\dfrac18$，于是

$$P(A)=g(M)=\frac12\times\frac14+\frac12\times\frac18=\frac{3}{16} ,$$

最后一个用概率和补齐：$P(B)=1-\dfrac7{16}-\dfrac3{16}=\dfrac{6}{16}=\dfrac38$。 把三个数按 $1,2,3$ 等奖配上折扣率，就是解法一那张分布列，$E\xi=\dfrac3{16}\times\dfrac12+\dfrac38\times\dfrac7{10}+\dfrac7{16}\times\dfrac9{10}=\dfrac34$。

这条路的性价比在哪。 问「落到某一个指定出口」的概率时，倒推只需扫一遍节点， 而且天然绕开了「汇合口要等所有入边算完」那个坑——倒着走时汇合口变成了普通的一段管子， 不需要任何汇总。代价是：想要整张分布列，得对每个出口各跑一遍。 正推一次给全部出口，倒推一次给一个出口——按问的是什么挑。

答案

$$\boxed{ \begin{aligned} \text{(I)}\ & \xi\ \text{的分布列见上表},\quad E\xi=\frac34 ;\\ \text{(II)}\ & P(\eta=2)=\frac{1701}{4096} . \end{aligned}}$$

两处原卷的排印错误，读解析时别被带偏（本站照留不改）：

1. 解析写「由题意得 $\eta-B\left(3,\dfrac9{16}\right)$」，那个连字符应是 $\sim$（服从）；
2. 末式的组合数印成 $\mathrm{C}_{1}^{2}$，应是 $\mathrm{C}_{3}^{2}$——$\mathrm{C}_1^2$ 根本没有意义（上标大于下标）， 而算出来的 $\dfrac{1701}{4096}=3\times\dfrac{81}{256}\times\dfrac7{16}$ 用的正是 $\mathrm{C}_3^2=3$， 所以错的只是那个下标。

最后把这道题的骨架抽出来。 它考的根本不是二项分布的公式，而是两句话：

• 叉口除以 $2$，汇合口相加——这两条规则把一张看不懂的图变成一串加减乘除；
• 「$1$ 等奖或 $2$ 等奖」可以缩成一次成功——把三个出口压成两类之后， 一次抽奖就退化成了一次伯努利试验，第 (II) 问才有资格叫二项分布。

图越绕，越要先重画成节点和箭头；概率不看路径条数，只看分叉次数。