浙江 2010 · 数学 q19

题面

(19) (本题满分 14 分) 如图, 一个小球从 M 处投入, 通过管道自上面下落到 A 或 B 或 C, 已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式

2, 3 等奖.

(I) 已知获得 1, 2, 3 等奖的折扣率分别为 50%, 70%, 90%, 记随机变量 $\xi$ 为获得 $k(k=1,2,3)$ 等奖的折扣率, 求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$ .

（Ⅱ）若有 3 人次（投入 1 球为 1 人次）参加促销活动，记随机变量 $\eta$ 为获得 1 等奖或 2 等奖的人次，求 $P(\eta = 2)$ .

（19）本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。

(Ⅰ) 解: 由题意得 $\xi$ 的分布列为

则 $E\xi = \frac{3}{16}\times 50\% +\frac{3}{8}\times 70\% +\frac{7}{16}\times 90\% = \frac{3}{4}.$

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为 $\frac{3}{16}+\frac{3}{8}=\frac{9}{16}$ . 由题意得 $\eta-B(3,\frac{9}{16})$

则 $P(\eta=2)=C_{1}^{2}\left(\frac{9}{16}\right)^{2}\left(1-\frac{9}{16}\right)=\frac{1701}{4096}.$