分类加法计数原理

教材原文

完成一件事有两类不同方案

在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有

$N = m + n$

①两类不同方案中的方法互不相同.

要点

• 两个前提，缺一条结论就废：
  1. 每一类都能把这件事做完——不是做完一半。“选一个专业”里，选 A 大学的某个专业就已经完成了这件事。
  2. 类与类之间没有重复（课本那条脚注）。两所大学若有共同的强项专业，直接相加就把它数了两次。
• 推广到 $n$ 类：$N=m_1+m_2+\cdots+m_n$。类数变多，两个前提一条也不能松。
• 判据是”或”：题面里的关联词是”或”（是这一类或是那一类）时用加法。
• 分类的标准要自己定，而且必须”不重不漏”。同一道题往往有好几套分法，选让每类都好数的那一套。
• 它与分步乘法计数原理是这一章唯二的地基：后面的排列数、组合数、二项式定理，全部由这两条推出来，没有第三条。

常见用法

• 直接分类：按”某个特殊元素在不在里面""取到几个”之类的标准切开，每类内部分步相乘，最后相加。
• 间接法的骨架也是它：全体 $=$ 合条件 $+$ 不合条件，这本身就是一次两类分法，于是”合条件 $=$ 全体 $-$ 不合条件”（见套路正难则反用补集）。

关于上面那段引文

课本原句是「完成一件事有两类不同方案 ①，在第1类方案中有…」，「两类不同方案」后面挂着脚注号 ①，脚注内容即上面引的最后一行。上面把带上标的那个记号拆成两段引，是因为课本页里它写成行内公式，整段搬过来会被渲染成乱码。