排列数公式

教材原文

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1).$

这里， $m$ ， $n\in \mathbf{N}^*$ ，并且 $m\leqslant n$ .这个公式叫做排列数公式

$\mathrm{A} _ {n} ^ {m} = \frac {n !}{(n - m) !}.$

要点

• 两个写法各有各的用处：连乘式 $n(n-1)\cdots(n-m+1)$ 用来算（从 $n$ 起往下连乘 $m$ 个因数，数因数个数比数减到几更不容易错）； 阶乘式 $\dfrac{n!}{(n-m)!}$ 用来推（约分、化简、证恒等式）。
• 因数个数是 $m$，不是 $m+1$：$A_4^2=4\times 3=12$、$A_4^3=4\times 3\times 2=24$。最后一个因数是 $n-m+1$。
• 全排列：$m=n$ 时 $A_n^n=n!$，并约定 $0!=1$，阶乘式在 $m=n$ 处才接得上。
• 与组合数的差别只在”排不排”：$A_n^m=C_n^m\cdot A_m^m=C_n^m\cdot m!$。 先取出来（$C$），再把取出的 $m$ 个排个顺序（$m!$）——这一步分解是两者之间唯一的桥。

怎么认出该用它

题面里出现”排成一列""不同的座次""正副职务""三位数（数位有先后）“这类位置有区别的字眼时用 $A$； 只问”选出哪几个”、不问先后时用 $C$（见组合数公式）。判据只有一句：把取出的元素调换位置，算不算新的一种？ 算，就是排列。