浙江 2014 · 数学 q14

冷启动：先把”要数的到底是什么”说死

题面里有三个数：$8$ 张券、$3$ 张有奖、$4$ 个人每人 $2$ 张。它们的分工完全不同，读错一个这道题就废了。

第一件事：五张无奖券是配角。 问的是「不同的获奖情况」——两种发牌方式，只要”谁得了一等奖、谁得了二等奖、 谁得了三等奖”完全一样，就算同一种获奖情况，哪怕手里那张无奖券换了一张。 所以要数的对象其实是：

把一、二、三等奖这三张互不相同的券，各自指派给 $4$ 个人中的一个，得到的指派方案有多少种。

用记号写：数的是三元组 $(p_1,p_2,p_3)$ 的个数，$p_i\in\{$甲,乙,丙,丁$\}$ 表示第 $i$ 等奖归谁。

第二件事：「每人 2 张」不是背景交代，是一条限制。 一个人手上总共只有 $2$ 张券， 所以他最多只能拿到 $2$ 张奖券——三张奖券全归同一个人，这种情况发不出来。 删掉这句话答案就会变，这就是它是限制而不是背景的判据（见易错点分配的容量上限漏当成限制）。

第三件事：限制恰好只禁掉这一种。 只要某人拿到的奖券不超过 $2$ 张，剩下的空位一定补得齐： 拿到 $k$ 张奖券的人再补 $2-k$ 张无奖券，四个人一共要补

$$(2-k_1)+(2-k_2)+(2-k_3)+(2-k_4)=8-3=5$$

张，正好是无奖券的张数。所以”发得出来”与”没有人拿到 3 张奖券”是同一件事，一条限制，不多不少。

于是原题被翻译成一句干净的话：

$\{1,2,3\}\to\{4\ \text{个人}\}$ 的映射里，不是常值映射的有多少个？

三条路就是数这句话的三种数法。

解法一：按有几个人获奖分类

这是原卷【解析 1】的路线，也是最”看得见”的一条：先按有几个人拿到了奖切开。

三张奖券分给至多 $2$ 张一人的人，获奖人数只能是 $2$ 或 $3$（$1$ 个人拿三张已被排除，$4$ 个人拿三张不够分）：

第一类：恰好 $2$ 人获奖，必是「一人两张、一人一张」。分两步：

• 哪两张奖券归同一个人——从三张里选两张，$C_3^2=3$ 种（选出来就完了，两张之间不分先后）；
• 这两张给谁、剩下那张给谁——从 $4$ 人里挑 $2$ 人并且分先后（谁是”拿两张的”、谁是”拿一张的”是有区别的），$A_4^2=4\times 3=12$ 种。

$$C_3^2\cdot A_4^2=3\times 12=36 .$$

第二类：恰好 $3$ 人获奖，三张奖券各归一人。等于把一、二、三等奖三个”位置”派给 $4$ 个人中的 $3$ 个， 位置有区别（拿一等奖和拿三等奖不一样），所以是排列：

$$A_4^3=4\times 3\times 2=24 .$$

两类不重不漏（获奖人数是 $2$ 还是 $3$，一个方案只可能落进一类），由分类加法计数原理相加：

$$N=36+24=60 .$$

这条路上有两个位置容易出错，都出在”该用 $C$ 还是该用 $A$”：

• 第一类里选券用 $C$（两张券给同一个人，谁先谁后没有意义），选人用 $A$（两个人的角色不同）；
• 第二类里若写成 $C_4^3=4$ 就丢了顺序——选出三个人之后，一、二、三等奖怎么分给他们还有 $3!=6$ 种， $4\times 6=24$ 才对。

解法二：每张奖券各自挑主人，再扣掉发不出来的

原卷【解析 2】的路线，也是三条里最短的一条。不分类，直接分步。

一、二、三等奖是三张互不相同的券，让每张券各自挑一个主人：第 $1$ 张有 $4$ 种挑法， 第 $2$ 张有 $4$ 种，第 $3$ 张有 $4$ 种——而且每一步的种数都不随前面的选择而变 （前面谁拿了不影响后面还有几个人可挑），正合分步乘法计数原理的前提：

$$4\times 4\times 4=4^{3}=64 .$$

这 $64$ 种里混进了发不出来的：三张奖券全归同一个人。这样的方案由”那个人是谁”唯一决定，共 $4$ 种。 按正难则反用补集，减掉：

$$N=64-4=60 .$$

为什么这条路最短：它把”三张券的归属”当成三次互不影响的选择，从头到尾不需要知道”有几个人获奖”。 代价是必须把限制单独拎出来扣一次——而这一步恰恰是全题唯一的坑，扣忘了就交 $64$。

解法三：一张一张地发，发到第三张才需要分叉

上一条是”先算多、再扣掉”，这一条是”边发边守规矩”，一次也不多算。

• 发一等奖：$4$ 个人随便挑，$4$ 种。
• 发二等奖：此时还没有人拿到 $2$ 张，谁都能拿，$4$ 种。
• 发三等奖：这一步的种数取决于前两张发给了谁，于是在这里分叉：
  • 前两张给了同一个人（$1$ 种走法）：那个人已经满 $2$ 张，三等奖只能给另外 $3$ 人，$3$ 种；
  • 前两张给了不同的人（$3$ 种走法）：谁都还没满，$4$ 种。

把中间那两步合起来数：

$$N=4\times\left(\underbrace{1\times 3}_{\text{前两张同人}}+\underbrace{3\times 4}_{\text{前两张不同人}}\right)=4\times 15=60 .$$

这条路值得单独练，因为它演示了分步乘法计数原理那条脚注前提在什么时候会破： 第三步的方法数随前面的选择而变（$3$ 或 $4$），所以不能直接乘。 处理办法不是放弃分步，而是在破掉的那一步就地分类——先按”前两张同不同人”分两类， 每一类内部的第三步方法数就又稳定了，于是每一类可以分步相乘，最后按分类加法计数原理加起来。

分步走不通就地分类、分类之后接着分步，这是计数题最常用的一套组合拳，比死记公式管用。

三条路怎么选

• 考场上求快 → 解法二。三步一乘、一减完事，$10$ 秒。前提是你读题时抓住了那条容量限制。
• 要写过程、或者限制不止一条 → 解法一。分类写出来最清楚，改条件也最好改（比如”每人 2 张”换成”每人 3 张”， 第一类里就要再添一类”一人三张”）。
• 限制会随进度变化（发到一半有人满员、有人退出） → 解法三。它是唯一一条”边走边看还剩几种”的路， 也是往后学条件概率、树状图计数时的原型。

把数字换一换，看谁在管事

• 只放宽容量：改成 $12$ 张券、$4$ 人每人 $3$ 张（其中仍是一、二、三等奖各 $1$ 张）。 这时三张奖券可以全归一人，限制失效，答案就回到 $4^{3}=64$。
• 人多券少：改成 $8$ 张券发给 $8$ 个人、每人 $1$ 张。这时谁都拿不到两张奖券， 三张奖券必归三个不同的人，答案是 $A_8^3=8\times 7\times 6=336$。
• 奖券之间没有区别（三张同等的纪念券，其余不变）：三元组换成多重集， 答案变成”把 $3$ 个相同的球放进 $4$ 个盒子、每盒至多 $2$ 个”的方案数 $=C_6^3-4=20-4=16$。 注意这里减掉的 $4$ 与前面那个 $4$ 是同一件事——都是”全归一人”的四种。

三次改动各动了一个零件：容量上限、人数、券之间有没有区别。看清哪个零件在管事，比记住 $60$ 有用得多。

一句话带走

「获奖情况」只由三张奖券的归属决定，无奖券只负责把每人的两张凑满； 于是答案是 $\{1,2,3\}\to\{4\ \text{人}\}$ 的映射数 $4^{3}=64$ 减去三张全归一人的 $4$ 种， $N=60 .$ 全题的分量都压在一句话上——「每人 2 张」是限制，不是背景。